基于新版教材下，一道月考試題的命制過程及感悟

基于新版教材下，一道月考試題的命制過程及感悟

☉南京師范大學附屬中學新城初中何君青

2011年中華人民共和國教育部制定《義務教育數學課程標準》，針對此次課程標準的實施，蘇科版教材內容進行了相應的更改和調整.圓和相似作為“圖形與幾何”兩大重要部分，編排的順序進行了調整，舊版教材中“圓”為九年級上學期第五章內容，在此之前的初二下學期學生學習了圖形的相似等相關知識，而新版教材“圓”調整為九年級上學期第二章內容，圖形的相似則調整到九年級下學期學習.面對編排順序的大幅度調整，給九年級上學期考試的命題工作產生了很大的困難，在此之前，很多有關圓的考題在求線段長的時候經常用到相似的求解方法，這樣的調整使得許多經典考題不能再考，在此種背景下，筆者命制了一份學校的九年級上學期月考試卷，其中一道考題打破常規，題目得到了眾多老師的稱贊，故撰文與同行分享.

一、原題呈現

圖1

圖2

題目如圖1，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=60°，AB=10，AC=6，AM平分∠BAC，且與⊙O相交于點M，過點M作直線DE，使DE∥BC.

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求AM的長.

解析：（1）直線DE與⊙O相切，利用切線的判定定理可以證明.

（2）如圖2，連接MB、MC，過點M分別作MH⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為點H、F，則∠MHA=∠MHB=∠MFA=90°.

在⊙O中，因為AM平分∠BAC，所以MB=MC.

因為AM平分∠BAC，MH⊥AB，MF⊥AC，所以MH= MF.

所以Rt△AMH≌Rt△AMF，所以AH=AF.

在Rt△HMB和Rt△FMC中，MH=MF，MB=MC，所以Rt△HMB≌Rt△FMC，所以BH=CF.

因為AB=10，AC=6，且AB-BH=AC+CF，所以10-BH= 6+CF，即BH=CF=2，所以AH=AF=8.

因為AM平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠HAM=30°.

評注：本題考查了圓及其有關概念、直線與圓的位置關系、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質，同時本題注重思想方法的考查，包含了數形結合、轉化的思想，統籌兼顧、相互配合，合理覆蓋相關知識、技能和思想方法.此題的考法是常見的中考題考法，中考中第一問常判斷直線與圓的位置關系，第二問常求圓中某條線段的長度，以此題為載體，能較好地區分學生學習數學的能力，更好地讓學生逐漸適應中考.

二、命題過程

1.初步設想

月考是學校組織的階段性檢測，命題必須以當地中考及《新課標》的要求作為標準，其功能是評價學生一個階段中對知識的掌握情況，同時這類考試還對教師的后繼教學起到指導性作用，所以這類考試無論教師還是學生都要高度重視.

筆者在命題前首先查閱了《新課標》，上面明確規定：理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念，注重學生對所學知識的理解，體會數學知識間的關聯.

接著筆者翻閱近幾年南京中考試題，發現在近3年中考試題中均出現有關圓的解答題，試題不僅考查了圓的有關性質、直線與圓的位置關系，也考查了學生分析問題、解決問題的能力及綜合運用知識的能力，試題的呈現方式經常涉及三角形、平行四邊形等幾何圖形，在求線段的長度時，考題主要運用垂徑定理、勾股定理及相似的相關性質.

基于《新課標》的要求，考慮到南京近幾年中考試題考查的方式，同時鑒于我校分層教學的情況，筆者決定命制一道難度系數為0.45，考查知識覆蓋面廣的試題，題目預設為兩問，第一問考查直線與圓的位置關系，第二問結合三角形，求圓中某條線段的長度.

2.初稿形成

試題的改編、創作離不開“題源”，而課本卻是最好的“題源”地.本著“根在書內，題在書外”這一理念，筆者翻閱新版教材，試圖找到突破點，可在“圓”一章中無論是例題還是練習題都未尋找到合適的題目，于是筆者決定把尋找范圍擴大，在新版八年級“全等三角形”一章發現有如下這樣一道習題：

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，MB＝MC，AB＝10，AC＝6，求AM的長.

初看此題，條件很多，感覺應當不難，可是仔細思考后發現并不能快速判斷出用何種方法解決此題，于是筆者斟酌再三，決定以此題為背景，加以改編，讓題目“穿個馬甲”，煥然一新.

筆者曾多次命制期中、期末統考試卷，清楚地認識到在幾何題目改編的過程中，常會給幾何圖形賦予“新的生命”，把幾何圖形放在平面直角坐標系或圓中，這樣會使題目的結論更加豐富，題目更具難度，而且賦予“新生命“后，圖形原先所具有的結論仍然存在，筆者命制的試題雛形很快產生了.

在命題初稿時，值得肯定的是本題取材合理：立足基礎知識、基本技能，源于課本，高于課本；角度新穎：著眼于幾何證明和圓中的相關結論；題型豐富：既有說理又有求值.

3.修訂定稿

學生對于圓的相關題目一直有較強的畏懼感，經常看到圓的題目就無從下手，本著尊重學生的原則，筆者將題目的題干、圖形盡可能地反復修改，使其盡可能的簡潔，以減輕學生的恐懼感.

《新課標》明確提出應當注重發展學生的幾何直觀、運算能力、推理能力，以往中考試題往往都是比較單一的試題，考查學生對知識的掌握情況，而近3年南京中考試題更多地考查學生的發散思維能力，讓不同層次的學生都有展示的空間，凸顯出學生應用數學的能力.筆者在修訂的過程中，曾試圖在第一問鋪設臺階，讓題目變簡單，但為了利用此題拉開學生差距，體現更高的區分度，筆者最終沒有鋪設臺階降低難度.從試題的發展過程看，第一問考查本學期圓中的相關結論，第二問卻結合曾經學習的三角形方面的相關結論進行考查.

4.總結反思

此題的命題角度獨特，用全等三角形的背景構建出新題，從八年級的知識考查到九年級的知識，貫穿初中3年，很具典型性，但筆者認為此題還能加以發展，若將該題再發展到平面直角坐標系領域，運用數形結合的思想解決更多的初中數學問題就更完美了，介于時間有限，未曾拓展，確實可惜.

若作為中考前的復習題，此題還可以進一步推廣：以BC所在直線作為x軸，BC的垂直平分線作為y軸建立平面直角坐標系，將原圖形放在平面直角坐標系內，再將線段的長度換為點的坐標.

圖3

三、命題感悟

1.試題評價標準

衡量數學試題質量的高低，要看在符合考試性質的前提下，其試題立意的高低、基本價值立場、價值態度，以及所表現出來的基本價值傾向和對教學的引導與促進作用，即試題的價值取向.一道高質量的試題，反映了命題者對課程改革精神的深度領悟、對數學本質的準確把握和對教學的高期待.對于教師的命題首先應以《新課標》為理念，再查閱多年中考試題，最后找到合適的“題源”，加以模仿，爭取創新，這樣才能命制出經典好題.區分度和難度是命制試題時特別要控制好的標準，一份試卷必然要有較好的區分度，鑒別優劣，同時難度要控制在一定的范圍內，建議月考試卷根據學校學生的情況，難度控制在0.7左右.

2.命題指引教學

在當今教學實踐中，仍然存在一定的問題：其一，過程性認識偏淺——事實性現象和事實性知識之間缺少思想方法，缺少邏輯推理的聯系、體驗，探究活動存在著時間、空間引導與安排上的問題，雖然課堂在探索，但僅局限于淺層次的探索，并未獲得該有的深層次的結論，認識較淺；其二，課堂基于“題”的教學——缺少結構性遷移，教師在課堂教學中對題目的開放性不夠，常常就題論題，導致題目淺嘗輒止，只關注答案的生成，并未關注學生對一類題的解決方法的指導，或者互動、自主設計、學習探究指導不足，故而解題教學過度，學生缺乏基本的經驗，并未形成常規的思路，對于題目達不到舉一反三，靈活解答.這些教學中的負面價值取向嚴重遏制了學生數學的發展，所以通過考試試題的命制應當讓教師清醒地認識到這點，故在教學時教師應讓學生通過自己的思考，理解知識之間的相互聯系，建立知識網絡，重視對數學知識的理解和數學方法的感悟.H