落實“四基四能”：例題教學可以先行先試*

落實“四基四能”：例題教學可以先行先試*

☉江蘇省揚州市廣陵區教育局教研室 石樹偉

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程目標中將傳統“雙基”擴充為“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，將傳統“兩能”擴充為“四能”，即分析和解決問題的能力、發現和提出問題的能力.［1］目前，數學界對基本思想、基本活動經驗等概念的內涵和外延還有爭議，但作為一線教師不必等待觀望，可以摸石頭過河邊實踐邊研究，其中例題教學可以先行先試.

一、例題的選擇編排

吃什么永遠比怎么吃更重要，教什么永遠比怎么教更重要.［2］例題是知識應用、技能示范的范例，是思想方法滲透、能力素養培養的載體，如果沒有好的例題，再怎么講也是事倍功半.例題編選是例題教學中落實“四基四能”的基礎性工作，其要求隨著時代的發展也在不斷地與時俱進.

1.傳統要求夯基礎

重視例題編選的適切性、層次性、典型性是我國數學教學的優良傳統.“適合的才是最好的”，適切性既要切合不同能力基礎的班級學情，也要切合新授或復習等不同學習階段；要遵循學生的認知規律，例題編選就必須由易到難具有層次性；笛卡兒說過：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其他問題”，在寶貴的課堂教學時間內，教師示范講解的例題應是典型的：既要鞏固應用當前所學知識、滲透重要數學思想方法，也應是某種規律的代表，能由“個”及“類”.

例題編選的傳統要求永遠不會過時，因為它們是落實傳統雙基的必然要求，而傳統雙基又是其他目標包括基本思想、基本活動經驗落實的載體.如圖1，在數學學習過程中，傳統雙基與基本活動經驗是相互依存、相互促進的，二者通過不斷融合、反思提煉而形成的一種具有奠基作用和普遍指導意義的知識經驗便是數學基本思想.

圖1“四基”之間的關系結構

蘇科版九年級下冊“銳角的正弦和余弦”一節三道例題的編排.

例1如圖2，根據圖中條件，分別求出直角三角形中銳角的正弦、余弦值.

例2在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB，cosB的值.

例3在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求sinA，cosB的值.

圖2

評析：例1鞏固概念，例2拓展提升，例3綜合應用，在一堂課的不同學習階段使用，符合適切性要求；例1的三個圖之間從標準圖形到非標準圖形，從常規條件到非常規條件，幫助學生變式鞏固基本概念，例1～例3求三角函數值，從提供直角三角形到自己構造直角三角形，從直接提供邊長到提供邊長之間的關系，思維層次不斷遞進，符合層次性要求；例2、例3既鞏固應用基本概念，又代表了兩類模型：例2是無直角三角形需構造直角三角形解決三角函數問題，例3是已知兩邊關系求其他三角函數值，符合典型性要求.

2.新增要求為創新

時代的快速發展對創新的需求越來越強烈，為了呼應這種需要，例題編選要注重開放性和問題性.

（1）開放性.

例題編選的開放性體現在兩個方面：①問題本身的開放性，即常說的開放題，一般有條件開放題（條件缺少需補充，多余需選擇）、策略開放題（即一題多解）、結論開放題、綜合開放題.②問題來源的開放性，可以來源于生活、其他學科、教學中的生成或封閉性例習題的改造.開放題的解決策略具有非常規性、發散性和創新性，有利于培養學生的創新意識和創新思維能力.

例4請你為函數關系式y=5+1.2x設計一個生活背景，并提出一個相關問題.

例5已知△ABC中，∠C=90°，BC=6，可以求出AB或AC嗎？若不能，還應添加什么條件？如何求？

評析：例4是一道一次函數應用的綜合開放性例題，由來源于生活的常見數學模型尋求豐富多樣的現實背景，還要提出問題，有利于學生充分感受函數的應用性；例5是勾股定理教學的一道由教材封閉性例題改造而來的條件開放性例題，可以再添加一邊長（AB或AC），也可以添加兩邊之間的關系（如AB和AC之間的和、差、倍分關系）.通過發散思考，一道例題相當于多道題，學生對解決這樣的問題感興趣.

（2）問題性.

好的例題應該是好的問題情境.例題編選應加強問題性，主要體現在以下兩個方面：

①以問題激發學生動手操作、動腦思考.問題是數學的心臟，可以將一些常規的課本例題改造為問題，讓學生經歷問題解決的機會.這里的問題不是常規的習題，而是對學生具有智力挑戰特征的，沒有現成的方法、程序或算法的待解問題情境，問題具有挑戰性、探究性、啟發性等特征.常規的習題主要是為夯實雙基設計的，而問題解決的目標則指向學習如何思考，讓學生在操作思考的過程中積累操作和思維的經驗.

②以情境引發學生發現并提出新的問題.“發明千千萬，起點在一問.”陶行知的這句話充分說明學生自己發現和提出問題對于創新能力培養的重要性.例題應創設好的情境，激發學生發現并提出問題，培養創新意識和能力，積累數學“原始”發現的經驗.

例6將教材常規例題改造為數學問題.

（教材原例）已知：如圖3，點A′、B′、C′、D′分別在正方形的邊AB、BC、CD、DA上，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.

圖3

圖4

（改造問題）如圖4，若把正方形ABCD的四個角剪掉，試問怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形？請在圖上畫出一個可行的方案，并說明理由.

例7用兩種方法因式分解：a6-b6.

解法一：a6-b6=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+ a2b2+b4）.

解法二：a6-b6=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2-ab+ b2）（a2+ab+b2）.

例8如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于點D.請以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O.（不寫作法，保留作圖痕跡）

圖5

圖6

評析：例6改造后的問題需要學生先動手操作嘗試再理性分析思考，從而讓學生經歷問題解決的全過程.例7～例8得出結果不是主要目的，主要目的是創設了一個生發問題的情境，在得出結果后教師應“留白”，靜心期待學生直覺感知數量關系（如例7）或位置關系（如例8），耐心等待學生發現并提出問題：例7中兩種方法的結果為什么不一樣？（a4+a2b2+b4）等于（a2-ab+b2）（a2+ab+b2）嗎？例8中⊙O與直線BC是不是相切（如圖6）？進而繼續探究解決問題.

二、例題的教學實施

一道好菜應既有營養又易入口，其中好的食材是前提，如何烹飪是關鍵.例題的教學實施應避免單純的教師講解、學生聽記，避免就題論題、題海教學.為充分挖掘例題的教學價值，使“四基四能”目標落到實處，例題的教學實施過程中應突出以下幾個關鍵詞.

1.嘗試

操作、思維的過程是基本活動經驗的源泉.嘗試的目的就是讓學生經歷操作、思維的過程，積累基本活動經驗.學生力所能及時要引導學生自己去做，必須堅信：學生能在嘗試中學習，并在嘗試中有所悟、有所得.在兩個環節應放手讓學生去嘗試：①例題教學開始，提供足夠的時間讓學生獨立操作探究，嘗試尋求問題的解決思路；②解題思路形成后，讓學生獨立嘗試書寫解題過程，因為學生的解題思路從想出來到說出來再到寫出來，其實是一個思維不斷清晰、條理化的過程，也是一個應用數學語言進行表達與交流的訓練過程.

2.交流

愛德加·戴爾的學習金字塔表明，兩周后的學習保持率聽講僅5%，而討論達50%，實踐達70%，教授他人高達90%.因此在學生嘗試后可以組織學生小組交流討論，相互啟發、相互碰撞，也可以“以兵教兵，兵兵相長”.因為有前面獨立思考的基礎，學生的交流討論就不是無源之水、無本之木，而是可行的、有效的.主要交流兩個方面的內容：①交流解題思路；②交流解題思路的形成過程.交流的過程既是以學生為主體、提高例題教學效率的有效形式，也是學生基本活動經驗通過交流由模糊向明晰轉化的過程.

3.示誤

錯誤也是寶貴資源.例題教學要展示暴露典型錯誤，反思錯在哪里、為什么錯，充分利用錯誤資源，變個別同學的典型錯誤為全班同學的經驗教訓.示誤有兩種方式：①展示學生在嘗試過程中暴露出來的典型錯誤；②教師在示范講解過程中有意“出錯”，把學生中可能存在的錯誤或模糊認識“擠”出來，讓學生發現錯誤、糾正錯誤，從而規避錯誤.示誤是夯實基礎知識基本技能的需要，知曉并能規避“暗礁險灘”也是學生必備的寶貴經驗.

4.示范

G.波利亞曾經說過：“解題是一種實踐性的技能，就好像游泳一樣.在學習解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學會解題.”“當教師在班上解一個題目時，他應當對他的思路稍加渲染，而且向自己提出那些他在幫助學生時同樣使用的一些問題.”［3］例題教學中教師的示范是技能訓練、能力培養不可缺少的環節，示范主要體現在兩個方面：①示范老師拿到題目是怎么想的，碰壁是如何轉向的，讓學生學習如何數學地思考；②示范如何書寫規范完整的解題過程，讓學生學習如何數學地表達.

5.變式

G.波利亞有過一個形象的比喻：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都成串生長.找到一個以后，我們應該四處看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”［3］例題可以適當變式，讓問題由易到難有層次地推進，為學生搭建適當的“腳手架”，不斷提升思維層次.例題變式的基本方法有普遍化、特殊化、類比、分解和重組等.變式既能夯實鞏固基礎知識、基本技能，又具有一定的創新成分，有效避免機械重復訓練，實現“在堅實的基礎上有所發展”.［4］

例9（垂徑定理運用的例題變式）（1）如圖7，以點O為圓心的同心圓中，大圓的直徑AB交小圓于C、D兩點. AC與BD相等嗎？為什么？（解題小結：等量減等量差相等）

（2）如圖8，以點O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.猜想AC與BD有什么關系？并說明理由.（解題小結：常用輔助線：遇弦→作垂徑→構造等量）

（3）如圖9，隱藏大圓，連接OA、OB，OA=OB，AC與BD還相等嗎？為什么？（解題小結：還有哪些途徑能得到等量）

圖7

圖8

圖9

評析：教學實施中，例9的3個小題逐題演變，層層遞進，準備“等量”的難度不斷提升；層層鋪墊，變化之中有不變，證明線段相等的策略，即“等量減等量差相等”不變，有利于經驗策略的遷移應用，體現“重復依靠變式，在變化中求得重復，在重復中獲取變化”.［4］

6.反思

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不復也.”即學習要舉一反三、觸類旁通.例題教學中反思環節不可缺少.主要反思兩方面內容：①反思解決問題的思維過程，解決問題的思路是怎么產生的，關鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的，培養學生的“元認知”體驗和調控能力，積累思維的經驗；②將例題由“個”的階段“類化”上升至“類”的階段，反思提煉蘊含的數學思想方法，總結解題規律和策略.反思有利于學生感悟基本思想，積累數學思維活動經驗，是提升例題教學效益的重要環節.

如上述例9，在變式訓練后應及時引導學生對本例的解決過程進行反思小結，反思證明線段相等的重要策略：等量減等量差相等；反思解決本例的關鍵：如何構造等量；反思解決本例的常見問題：思維定勢，證明線段相等只知道通過三角形全等，缺少優化意識；反思本例所蘊含的數學思想：模型思想、轉化思想；反思本例所蘊含的解題規律：遇弦作垂徑得等量，學生通過一道問題的變式和反思學會解決一類問題（證明線段相等問題）.

7.留白

中國畫的留白藝術讓“方寸之地顯天地之寬”，例題教學也應適時留白.布置學生獨立嘗試探究、獨立書寫解題過程都不是留白，沒有布置任何任務、真正讓學生獨立自主支配時間才是留白.教師應善于等、敢于等：①示范講解過程中、過程后應適時停頓，讓學生有理解、回味、整理、感悟的時間，“教之道在于度，學之道在于悟”，數學學習“悟”很重要，一定要讓學生有悟的時間；②示范講解后，非教師引導下，給學生自我反思質疑、發現并提出問題的時間和機會，如例7、例8問題解決后應留白，靜待學生發現并提出問題.留白是為學生留“發現創造”的機會.

三、結束語

不同內容、不同學情的例題教學在例題編選和實施上會不盡相同，不要求也不可能做到面面俱到.古人云“取法乎上，僅得其中”，例題教學應以上述要求為努力方向，落實“四基四能”，提升例題教學效益.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.張奠宙，趙小平.教什么永遠比怎么教重要［J］.數學教學，2007（10）.

3.G.波利亞.怎樣解題——數學教學法的新面貌［M］.上海：上海科技教育出版社，2002.

4.張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.H

*本文系單位科研基金“廣陵基礎教育行動創新與理論探索”項目資助、自主課題“本色數學教育主張的理論與實踐研究”成果之一.