理清基本經驗，為新知探究夯實基礎
——以“數軸”為例

理清基本經驗，為新知探究夯實基礎
——以“數軸”為例

☉江蘇省張家港市兆豐學校陳浩

學生的數學認知活動一般都應有著豐富的知識基礎和經驗鋪墊，在教學實施前，我們應充分梳理學生的已有經驗，為新知的探究與生成夯實基礎.初中階段，數軸是“數形結合”的起點，是學習平面直角坐標系、函數等知識的基礎.對這一知識的教學，原始經驗的梳理顯得尤為重要.“數軸概念的教學，關鍵是要用好教科書中的具體實例、學生生活中的具體事例，引導學生進行觀察、比較、分析和綜合等思維活動”.因此，為了讓學生很好地認知數軸，我們應在前面的學習中，幫助他們梳理出與數軸相關的基本活動經驗，夯實認知的基礎，為有效的課堂探究做好準備.

一、為“數軸”認知鋪墊的經驗

1.作“缺少單位長度和正方向的數軸”的經驗

例1甲、乙兩地間的鐵路長300 km.一列客車和一列貨車分別從甲乙兩地同時出發，相向而行，貨車的速度是客車的.相遇時客車和貨車各行駛了多少千米？

解法分析：根據題意可作線段圖，如圖1.設客車行駛的路程為x km，則貨車行駛的路程為x km.根據線段圖可得方程x＋x＝300，解得x＝180，則x＝120.所以，客車行駛的路程為180 km，則貨車行駛的路程為120 km.

圖1

經驗分析：在小學階段，畫線段圖是學生經常用來

2.應用“沒有作出負半軸的數軸”解決問題的經驗

例2作一條長3 cm的線段.

解法分析：如圖2，取帶刻度的直尺從“0”刻度出發，向右作至刻度“3”處停下，即可.

圖2

圖3

例3圖3中的正數和負數的含義是什么？

解法分析：以海平面為基層準（即圖3中的“海拔0 m”），點A，4600 m，表示的是比海平面高4600 m；點B，-100 m，表示的是比海平面低100 m.

經驗分析：在不同的學習階段，畫線段都是常見的，借助帶刻度的直尺，學生是完全可以作出相應的符合要求的線段，所以，能順利解決例2是很正常的.而例3是人教版七年級上學期學習數軸前的教材中的一道思考題，“海拔圖”看似十分復雜，實則看懂圖3右下方的圖示即可理清其實際含義.在這兩個案例中，刻度尺和海拔圖示都是“沒作出負半軸的數軸”，學生的認知都是從零開始，例2中畫線從零刻度開始；例3中，讀懂海拔圖也是從零刻度（海平面記為0 m）開始.這些認知都在學生的數學活動中不斷被強化，成為學生數學問題解答的潛在經驗.例2是學生潛在的解題經驗，對數軸的生成影響極大；例3是認知數軸前，教材有意編排的題目.基于這樣的分析，我們應在數軸教學前，用好教材題目，設計探究活動，將識圖和作圖融入到數軸的引入教學中，以喚醒學生“應用‘沒有作出負半軸的數軸’解決問題的經驗”.

3.應用“豎著的數軸”解決問題的經驗

例4北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃.“-3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？

解法分析：根據溫度計，如圖4.我們不難發現-3℃表示的是比0℃低3℃，3℃表示比0℃高3℃.

圖4

圖5

例5某蓄水池的標準水位記為0 m，如果正數表示水面高于標準水位的高度，那么0.08 m和-0.2 m各表示什么？

解法分析：根據生活中的經驗，學生可以作出水位的變化圖，如圖5.蓄水池的標準水位記為0 m，則0.08 m表示比標準水位高0.08 m，而-0.2 m表示比標準水位低0.2 m.

經驗分析：這兩道題目都來之于人教版七年級上冊認知數軸前的練習之中，無論是溫度變化，還是水面落差，學生生活中都有著豐富的經驗.這些經驗都指向了數軸的認知，由于學生生活接觸到的溫度計都是豎著擺放的，且不僅有“正的溫度”，還有“負的溫度”；水面的變化是豎著的，標準水位的設置，讓水面的變化有了正負之分.所以，我們在教學中應充分關注這些學生的經驗基礎，將溫度計帶入課堂，讓學生觀察“豎著的數軸”；讓學生結合自身的生活經驗，作出水面變化的過程，畫出“豎著的數軸”.這樣的過程經歷，學生能明確感知到生活中積累的“用‘豎著的數軸’解決問題的經驗”對數軸認知的貢獻.

4.應用“橫著的數軸”解決問題的經驗

例6如果把一個物體向右移動1 m記作+1 m，那么這個物體又移動-1 m是什么意思？如何描述這時物體的位置？

解法分析：很明顯原始位置可以記作為0 m，所以題中的-1 m應是在向右移動1 m后，又向左移動了1 m，也就是回到了“起點”，如圖6.

例7如果把一個物體向后移動5 m記作-5 m，那么這個物體又移動+5 m是什么意思？這時物體離它兩次移動前的位置多遠？

解法分析：根據題意，如果該物體的右邊記為前面，則后面為其左方，其出發位置為0 m.所以，在向后移動5 m后，再又移動+5 m，圖略.從所作出的圖形看，該物體最終回到了起點，所以“物體又移動+5 m”表示的是向前移動了5 m，物體回到了它兩次移動前的位置.

圖6

經驗分析：無論是物體的左右移動，還是前后移動，在學生的經驗中，都可以轉化為平面中的“橫向移動”.由于有了具體單位長度的引入，如1 m、5 m等，這樣的移動變化是基于學生已有生活經驗的簡單應用，是一種隱形的橫向數軸.這兩題均來自人教版“1.1正數和負數”中，學生在解題中，很多人會作出實際運動變化的線段圖，這實際上就是數軸的原形，我們在教學中應關注學生的作圖，并有意識地引導他們喚醒潛在的數學經驗，為數軸認知中將“事實數學”變為“數學事實”提前鋪墊.

二、教學啟示

1.強化探究過程經歷，不斷積累活動經驗

數學的基本活動經驗一般蘊藏在數學的探究活動之中，是隱形的.只有經歷了完整的探究活動，并對活動中所用到的知識、技能和數學思想方法有了充分認識后，才能生成與之匹配的基本活動經驗，為問題的解決和新知的探究打下基礎.所以，在我們的教學活動中，應讓學生經歷完整的探究活動.讓學生從自主猜想結論入手，在小組合作中探究結論，在互動交流中矯正探究方向，最后通過嚴格的推理論證得到正確的結論.整個探究過程中，學生的全程參與，強化了他們對探究過程的體驗，不同的數學知識與技能在探究中得到了反復“推敲應用”，知識與技能的應用通道就在此過程中得到“固化”，成為學生認知經驗中不可缺失的一部分.完整探究過程的經歷，學生在獲得知識的同時，漸進中積累下的寶貴的數學基本活動經驗，為后續學習做好鋪墊.以數軸認知為例，需要從學生的認知網絡中提取的經驗很多，不僅包括上面所列出的這些基本活動經驗，還包括很多來自學生生活中的數學的基本活動經驗，比如方向上的經驗、單位長度的經驗等，這些都是學生建構數軸表象的基礎經驗，它們合理分布在學生不同的學段中.這就告訴我們，經驗的積累不只是初中階段的數學教學任務，在小學中，我們同樣應讓學生經歷完整的數學探究歷程，積累與數軸概念建構有關的基本經驗.

2.設置有效活動情境，指向認知經驗喚醒

經驗是潛在的數學知識處在學生認知網絡的“角落”里.在新知探究和問題解決過程中，這些數學基本活動經驗的喚醒并非易事.因為經驗的隱性特征，我們就要實現有效提取設置學生易于接受的數學的活動情境，形成經驗提取與應用的“溫床”.比如，為了喚醒“作‘缺少單位長度和正方向的數軸’的經驗”，我們可以在課前將例1提供給學生進行探究；為了能喚醒學生“應用‘橫著的數軸’解決問題的經驗”，在“1.1正數和負數”學習時，我們應讓學生經歷化解例5和例6的過程，不僅讓他們感知正負數的意義，同時，通過自主作圖（如圖6）.這些數學經驗的喚醒，應在數軸學習之前，通過不同數學問題的解答為數軸認知從經驗上進行鋪墊.在教學數軸時，我們為了喚醒所有對數軸學習有利的數學基本活動經驗，還應設計相應的數學探究活動，讓這些基本經驗蘊含在這一數學活動之中.為此，我們可以將教材中的引入問題作為學生探究的一個引入活動，讓學生自己將問題中的東西像馬路上的“汽車站牌”、“柳樹和楊樹”、“槐樹和電線桿”分別“畫圖表示”，形成圖7.要知道，教材中“問題”的情境是學生所熟知的，在生活中有著豐富的感知，而教學期待的圖7將本文中所陳述的幾種為“數軸”認知鋪墊的經驗全部包含其中，一次性喚醒了很多與數軸學習有關的經驗，這與教材提供的問題情境是有著重要的關系.

圖7

3.梳理重復數學經驗，適時合并適度共享

在學生的數學探究活動中，不同的數學活動經驗充斥其中.不同的活動經驗之間自然銜接，也就組成了探究活動這個整體.正是這些經驗的有序疊加，推動了數學知識的有序生成.然而，在學生的認知活動中，不可避免地出現很多重復的數學活動經驗.為了將這些經驗有序融入到學生已有的認知網絡中，我們應引導學生發現經驗的疊合并梳理出重復的數學經驗，在探究活動中適時合并，并在全班范圍內通過交流對話適度共享，讓個體的、重復的經驗成為全員的經驗.以數軸教學為例，在學生前面的學習中，不同階段的畫線段、畫線段圖教學都會讓學生體會到數軸的相關經驗，在教學過程中，我們理應將不同時段的這些經驗進行認真梳理，在數軸學習前合并為“作部分數軸的經驗”；在“1.1正數和負數”的學習中，學生先后接觸到了溫度變化、水面升降、物體移動等用于鞏固“正數、負數的意義”的數學問題，這些情境中都蘊含著“應用‘不同向’的數軸解決問題的經驗”，我們應引導學生從這些問題中抽取出重復的數學活動經驗，為學生認知數軸提前鋪墊.

三、寫在最后

數學的基本活動經驗，是學生化解數學問題，獲取數學知識的重要工具.為了推動數學活動經驗在問題解決中的作用，我們應關注常態課堂中的總結歸納，將不同階段的共性經驗梳理成“型”，使之成為每一個個體的基本活動經驗；我們還應關注探究活動的設計，要緊貼學生認知，設置利于經驗提取和應用的問題情境，以便激活已有經驗為問題解決服務；當然，不同的學生積累活動經驗的途徑和方法也不同，在相同的時間內經驗內化的程度也不盡相同，所以，必須讓學生自主經歷探究活動的全程，讓經驗的應用與積累成為個體的自覺行為.本文中，初步梳理了為“數軸”認知鋪墊的幾個簡單經驗，并談了筆者的一些教學啟示，僅為一些不成熟的做法與看法，不足之處，敬請各位同行專家批評指正.