經典試題魅力無窮
——以一組中考試題為例

經典試題魅力無窮
——以一組中考試題為例

☉江蘇省鹽城市郭猛實驗學校 劉瑞祥

2011年，中華人民共和國教育部頒布《義務教育數學課程標準》（以下簡稱《標準（2011年版）》.在新課標的指引下，各地的中考進行了相應的改革，各省市結合新課標推廣使用新教材，故2012年至2014年南京中考試題是新課標下的智慧結晶，試題不僅能公平、公正地評價學生，也對學生的長遠發展有促進的作用.本文立足于2012年至2014年南京中考試題，總結近三年中考試題特點的同時展望南京2015年中考.

一、近三年中考試題的回望

1.試題類型分析

2012年至2014年的試題題量、題型保持一致，共27題，分選擇題、填空題、解答題三種題型，全卷滿分120分，考試時間120分鐘.選擇題6道，填空題10道，解答題11道.考查的知識內容如下表所示：

題號考查內容題型2 0 1 2年2 0 1 3年2 0 1 4年軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別2科學記數法的表示方式冪的運算冪的運算1負數的識別（絕對值、平方、平方根的意義）有理數的運算選擇題3冪的運算無理數的概念、算術平方根的意義及估算無理數的大小相似三角形的性質4估算無理數的大小兩圓的位置關系估算無理數的大小5一次函數、反比例函數的運用（交點問題）正比例函數、反比例函數的運用（交點問題）平方根的意義6圖形變換、菱形的性質及解直角三角形圖形的展開與折疊矩形的性質、點的坐標的表示

7相反數、倒數的意義二次根式的意義相反數、絕對值的意義8二次根式的化簡函數自變量的取值范圍科學記數法的表示方式9分式方程函數自變量的取值范圍1 0眾數、極差的意義1 1點與一次函數圖像的關系多邊形的外角和與補角的性質填空題科學記數法的表示方式反比例函數的性質1 2二次函數圖像的平移圖形的翻折、菱形的性質圖形的旋轉、矩形的性質等腰三角形、多邊形內角的性質正多邊形的性質、等腰三角形的性質1 3平均數與中位數的運用圓的相關性質一元二次方程的實際應用與圓有關的計算1 4銳角三角函數的計算平行四邊形、等腰三角形、相似三角形的性質1 5不等式在生活中的應用1 6平移及規律探究二次根式的運算梯形的性質、點的坐標的表示用字母表示數二次函數圖像的性質1 7解二元一次方程組代數式的化簡解不等式組1 8代數式的化簡及解不等式解分式方程代數式的化簡、求值解答題1 9 2 0常見統計圖的應用全等三角形的判定、旋轉及尺規作圖全等三角形的性質、正方形的判定三角形中位線的性質、平行四邊形、菱形的判定等可能條件下的概率、樹狀圖或列表格求概率、概率的實際應用等可能條件下的概率及樹狀圖、列表格求概率

2 1等可能條件下的概率及樹狀圖、列表格求概率抽樣調查的要求、常見統計圖的應用抽樣調查的要求、常見統計圖的應用2 2正方形的判定、等腰梯形、中位線的性質，菱形的判定三角函數的實際應用一元二次方程的實際應用2 3一次函數的實際應用（圖像）三角函數的實際應用一次函數的實際應用（圖像）2 4切線的性質、扇形面積的計算、解直角三角形及二次函數的最值問題二次函數的應用2 5一次函數的實際應用（圖像）一元二次方程的實際應用直線與圓的位置關系、相似三角形、平行四邊形的性質操作性問題與方程的結合二次函數的應用2 6 2 7不等式（組）在生活中的應用與圓有關的計算、圓與圓的位置關系圓的相關知識、勾股定理的逆定理（探究問題）相似三角形（新定義下的閱讀題）全等三角形的性質及判定

2.試題特點分析

（1）注重能力的考查，凸顯知識的靈活應用.

近三年試卷的全卷難度控制在0.7左右，試題中容易題、中等題和較難題的比例控制在7∶2∶1左右，符合全體學生考查的要求.試卷有一定的把關題，具有一定的區分度，每年都有一部分試題凸顯知識的靈活應用，能選拔出較優秀的學生.貫徹《標準（2011年版）》對培養目標的要求：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展.

例1（2013年江蘇中考第16題） 計算的結果是

分析：本題作為填空題的壓軸題有一定的難度，考查學生用字母表示數的能力.本題對普通學生而言，易于死算，耗時較長，但對于優秀的學生，能用簡便的方法解決此題，讓優秀的學生利用更少的時間解決此題，凸顯出優秀學生的優勢.

（2）注重課本的拓展，重視數學基本活動經驗的考查.

《標準（2011年版）》明確指出：“數學在應用方面需要大力加強，鼓勵學生發現數學的規律和問題解決的途徑，使他們經歷知識的形成過程.”中考題很多源于課本、高于課本，考查學生的閱讀理解能力、知識遷移能力、類比猜想能力、數學探究能力、數學創新意識等，這類題型是“用數學”的直接體現，必成為2015年中考數學的熱點問題.

例2（2014年江蘇中考第27題）【問題提出】

學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一條邊的對角對應相等”的情形進行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.

【深入探究】

第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF.

（1）如圖1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

圖1

第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF.

（2）如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角.求證：△ABC≌△DEF.

圖2

第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等.

（3）在△ABC和△DEF中，AC= DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接填寫結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若______，則△ABC≌△DEF.

分析：本題是學生在三角形全等學習過程中遇到的疑惑的探索，是學生自主學習的延伸，題目解決了教與學過程中教師與學生均“意猶未盡”的問題，即“邊邊角”能否說明兩個三角形全等.此題的設計打破常規，分四個小問呈現，層次分明，綜合程度高，探索性強，有較好的區分度，而且答案有開放性，有利于區分不同層次學生的學習水平，題目的考查也符合學生的認知規律，從特殊到一般、從易到難.

（3）注重思維的發展，題目中滲透數學思想.

數學思想是數學的本質、精華所在，初中階段，常見的有四大思想：數形結合思想、分類討論思想、函數與方程的思想、類比和化歸思想.教師在平時的數學教學中教給了學生一些數學的思想和本質，但往往學生并不會自己歸納，只會“被學”，不會“去學”，而一份有價值的試卷往往要突出數學的本質，讓學生在比較、分析、歸納、類比、抽象中體現數學思想.

例3（2013年江蘇中考第27題）對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似.例如，如圖4，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環繞的方向相同，因此，△ABC與△A′B′C′互為順相似；如圖5，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA與A′B′C′A′環繞的方向相反，因此，△ABC與△A′B′C′互為逆相似.

圖3

圖4

圖5

（1）根據圖6、圖7、圖8滿足的條件，可得下列三對相似三角形：①△ADE與△ABG；②△GHO與△KFO；③△NQP與△NMQ.其中，互為順相似的是______；互為逆相似的是______.（填寫所有符合要求的序號）

圖6

圖7

圖8

圖9

（2）如圖9，在銳角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，點P在△ABC的邊上（不與點A、B、C重合）.過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似.請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明理由.

分析：本題以相似三角形為生長點，題干給予相似中順相似、逆相似的新定義，融概念辨析、畫圖、說理為一體，讓學生在探索中形成分類的標準，全面展現了新情境下的學習過程，蘊含了轉化、分類等基本思想.本題對以往學習過程中積累的方法與經驗進行考查，也是對學生繼續學習能力的考查，對教學的引導作用明顯.

（4）注重數學的應用意識，讓題目更現實化.

《標準（2011年版）》特別強調數學背景的“現實化”、“數學化”.倡導能用數學的眼光認識世界，并能運用數學知識和數學方法處理解決周圍的實際問題.近些年來中考多次考到數學以生活為背景的考題，逐年呈上升趨勢，主要體現在方程與函數、概率統計等內容.

例4（2013年江蘇中考第20題） （1）一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各1個，這些球除顏色外都相同.求下列事件的概率：

①攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球；

②攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球.

（2）某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的，如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么6道選擇題小明全部選擇正確的概率是（）.

分析：本題的第（1）問實際上是一個典型的摸球實驗，概率比較好求，第（2）問等同于：一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各1個，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，連續摸球6次，均為紅球的概率.若考生在做題的過程中發現第（2）問就是第（1）問的一個變形、延伸，便會快速而正確地解決問題.概率問題在南京以往的中考中主要以單一的形式出現，此題以概率的問題拓展到生活中屬于創新，此類問題值得關注.

二、反思與建議

中考，肩負著導向教學和選拔人才的重要功能.在當今教學過程中，普遍存在著重教輕學、重訓練輕理解、重知識輕思想、重結果輕過程的現象.這些教學中的不良價值取向都將嚴重遏制學生的數學發展.所以筆者認為教師要在教學后反思、中考后歸納，要讓學生知道，如何去思考和解決一個數學問題，才算得上高效，才對中考有作用.

1.以課本為載體，注重“雙基”的訓練

縱觀近三年的中考題，不難發現，很多考題來源于課本，只是進行了適當的修改，故建議教師在教學的過程中重視課本的教學，要以課本為載體，讓學生熟練掌握基本知識、基礎技能的同時，逐步提升難度，以保證所有的學生在數學上都有所發展.與此同時，在教學的過程中教師還要與學生一起研究近幾年的中考試題，共同歸納出中考的必考題，比如筆者預測南京2015年的必考解答題可以歸納為：“數與代數”部分5道：2道計算，1道一次函數的應用，1道二次函數的應用，1道一元二次方程的實際應用；“圖形與幾何”部分4道：1道特殊四邊形的性質與證明，1道圓的相關知識，1題三角函數的應用，1道幾何綜合（新定義題型）；“概率與統計”部分2道.這樣學生就會形成有針對性的復習策略，在考試中也會胸有成竹.

2.突出課堂的提煉，注重數學思想的生成

心理學研究表明：“教師要重視概括、抽象、歸納和總結.應用同質不同形的各種問題的變式來突出本質特征，加強對不同類型的問題的區分與辨別，提高學生對所學內容的理解水平.通過提供多種變式，促進學生深刻領會和理解，這樣掌握的知識才能被牢固地記憶和有效地應用.”故教師在課堂教學的過程中應將相類似的問題進行整合、環環相扣地進行提問，滲透數學思想，發展學生數學的思維，如此才能提高學生的數學能力.

3.感受過程，注重數學活動經驗的獲得

近幾年的中考試卷的趨勢是數學活動經驗的考查越來越重要，故讓學生自己去探索數學問題的過程肯定是以后中考的趨勢.所以教師在教學的過程中，應該注重這方面的培養，讓學生多去經歷知識的形成過程，讓學生會從“被學”到“會學”.對于水平較高的學生使用“放”，為他們提供更為廣泛的獨立思考的時間和空間；對于中等生采取“激”，為他們提供難度適中的問題，逐步養成探究問題的習慣；對于學習能力較差的學生則采用“誘”，為他們提供適度的幫助，多給一些鼓勵和啟發，促進他們經驗的獲得.H