重溫探尋之路
——從“探索確定物體位置的方法”一課說起

重溫探尋之路
——從“探索確定物體位置的方法”一課說起

☉浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué) 余利英

2014年11月17日，“柯城區(qū)學(xué)為中心研討活動”在石梁中學(xué)成功舉辦.本次活動的主題是“學(xué)為中心”.活動中筆者承擔(dān)了“探索確定位置的方法”研究課的任務(wù).筆者始終努力踐行“學(xué)為中心”這個理念，課堂上師生合作所走的探索之路，受到聽課專家與教師的一致好評.現(xiàn)重返這節(jié)“探索”之課，與各位同行共同分享探尋過程的幸福與快樂！

一、了解學(xué)情，探尋課堂教學(xué)之起點

了解學(xué)情，是備課的起點，是課堂教學(xué)的起點.對于“確定物體的位置”這部分內(nèi)容，筆者了解到學(xué)生早在小學(xué)四年級就已初步感受、六年級進一步深入學(xué)習(xí).對于初中教材中指出的兩種方法：有序數(shù)對法，方向、距離法，小學(xué)教材中已經(jīng)詳細介紹過，學(xué)生也都能通過實例理解有序數(shù)對中的“有序”；都能度量方位角，結(jié)合比例尺用方向、距離表示物體的位置.通過提前讓學(xué)生先做課后練習(xí)的情況來看，學(xué)生的確掌握得不錯.八年級學(xué)生再次面對“似曾相識”的知識，“如何激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣？如何提升對數(shù)對的認識？”以實現(xiàn)對同一概念在不同時期的認識，呈現(xiàn)螺旋上升的態(tài)勢，是課堂教學(xué)必須要突破的問題.

二、認識教材，探尋教材編寫之意圖

針對這部分內(nèi)容，小學(xué)已在兩個不同年級學(xué)習(xí)過，為什么在八年級又重新編排這個內(nèi)容呢？筆者做了細致的分析和思考.首先，從教學(xué)內(nèi)容上看，這節(jié)內(nèi)容應(yīng)該是后繼學(xué)習(xí)“平面直角坐標系”“一次函數(shù)”的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)知識是生活實際高度抽象的結(jié)果，平面直角坐標系下點的坐標，以及函數(shù)的圖像亦如此.所以這節(jié)課應(yīng)該是小學(xué)內(nèi)容與平面直角坐標系的“跳板”.其次，從學(xué)生的知識水平上看，八年級的學(xué)生對數(shù)的認識早已從小學(xué)里的非負有理數(shù)拓寬到實數(shù)范圍，對于有序數(shù)對下的“數(shù)”也不例外，在有序?qū)崝?shù)對的背景下尋求突破，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一個支點，讓學(xué)生有老歌新唱的感覺.再次，從學(xué)生技能發(fā)展角度看，在數(shù)軸、不等式解集等知識背景下，學(xué)生不斷地接受著“數(shù)形結(jié)合”思想方法的“熏陶”，本節(jié)內(nèi)容將是接受這一重要思想方法“熏陶”的契機，使學(xué)生感受兩者結(jié)合之美妙.最后，用發(fā)展的眼光看，在日后解決問題的過程中，常常要建立平面直角坐標系，學(xué)生需要積累為什么要建系以及怎么建系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，本節(jié)課的教學(xué)需要給學(xué)生積累這樣的學(xué)習(xí)起點.可見教材通過拉長學(xué)生的學(xué)習(xí)進程，從實例到抽象，讓學(xué)生的認知水平從點點滴滴到涓涓細流再到江河湖泊，體現(xiàn)了知識、能力的螺旋上升的有序進階，符合學(xué)生的認知特點.

三、努力踐行，探尋化理想為現(xiàn)實的課堂教學(xué)

1.教學(xué)目標、重點、難點

教學(xué)目標如下所示.

（1）探索確定平面上物體位置的方法.

（2）經(jīng)歷用有序?qū)崝?shù)對、方向和距離表示平面內(nèi)點的位置和由點寫出相應(yīng)數(shù)對的過程，體會、加深對數(shù)形結(jié)合思想的認識.

（3）體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，發(fā)展應(yīng)用意識.

教學(xué)重點如下所示.

（1）探索在平面上確定物體位置的方法.

（2）經(jīng)歷數(shù)對從整數(shù)對到實數(shù)對的體驗過程.

教學(xué)難點如下所示.

（1）在小學(xué)的基礎(chǔ)上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣，激發(fā)學(xué)生的求異思維.

（2）經(jīng)歷數(shù)對從整數(shù)對到實數(shù)對的體驗過程，探索不同的方法確定物體的位置.

2.教學(xué)部分實錄及點評

片斷1：導(dǎo)入新課.

開場白：同學(xué)們，在小學(xué)我們就已經(jīng)學(xué)過確定物體位置的方法了，在你身邊一定聽過、看過、經(jīng)歷過需要我們?nèi)ゴ_定物體位置的例子，我們的生活離不開它，因為它重要，所以這節(jié)課我們繼續(xù)來探索確定物體位置的方法.

意圖：生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)離不開生活，開門見山，老師加重探索的語氣，直接揭題.

片斷2：開啟探索方向.

通過課本做一做1和2，簡要回顧小學(xué)的有序數(shù)對法.

做一做2中，棋子都是落在格點上的，如果棋子不是落在格點上，而是落在方格子內(nèi)，我們又該怎么用有序數(shù)對描述它的位置呢？

意圖：通過“做一做”，首先通過回憶喚醒舊的認知，同時也為下面的探索之路墊定堅實基礎(chǔ).“如果棋子不在格點上，而是落在方格內(nèi)，我們怎么描述它的位置？”這個問題的提出，讓學(xué)生的心理處在“憤、悱”狀態(tài)，開啟了探索方向，讓學(xué)生感到再也不是簡單的知識再現(xiàn)，激起他們的求知欲，為實數(shù)對的“到來”提供了良好的開端，為過點作坐標軸的垂線段提供了必要的“土壤”.

片斷3：有序數(shù)對的拓展.

圖1是某市局部示意圖（各地點用點表示），請借助刻度尺完成下面的問題.規(guī)定列在前，行在后.（比例尺1∶400 000）

問題1：請用有序數(shù)對的方法描述圖中石梁中學(xué)的位置.

生1：（3，4）.

師：3、4這兩個數(shù)是怎么得到的？

生2：順著網(wǎng)格線，我可以找到3和4這兩個數(shù).

圖1

圖2

圖3

問題2：圖1中的白云山的位置又該如何用有序數(shù)對表示？

課堂上，通過類比處在格點上的石梁中學(xué)的位置的確定方法，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)由白云山出發(fā)也可以作兩條垂線段，得到它的行與列所對應(yīng)的數(shù)，如圖2.

師：我們發(fā)現(xiàn)過白云山這個點向東西方向的線作垂線，垂足在4-5之間，它一定不是整數(shù)，可能是什么數(shù)？

生3：是小數(shù).

生4：可能是無理數(shù)，4與5之間有無理數(shù).師：太好了，總之都可以看成什么數(shù)？生眾：肯定是一個實數(shù).

師：這樣我們發(fā)現(xiàn)，我們的數(shù)對不一定都是小學(xué)里顯而易見的整數(shù)對，而是實數(shù)對了，顯然我們的視野更寬了.

師：如果老師隱藏網(wǎng)格，對于平面內(nèi)任意一個點，你能表示它的位置嗎？

生5：通過這個點作過參照點東西方向的垂線段，得到水平距離；然后作過參照點南北方向的垂線段，得到豎直距離.然后按規(guī)定書寫，最后描述，如圖3.

意圖：由石梁中學(xué)到白云山，借助學(xué)生熟悉的實例，從特殊點位置的確定到一般任意點的確定，實現(xiàn)了從整數(shù)對到實數(shù)對的成功提升.

片斷4：探索提升1.

師：剛才老師是以點O為參照點標記行與列的，那么如果我不以點O為參照點，把點O移到點O′，過點O′作水平線，然后過點O′作它的垂線，把點O′標記為0，由數(shù)軸可知：0的右邊為正方向，依次標記第1、2、3列，0的左邊為-1列，同樣豎直方向上0的上面依次標記第1行、第2行，…，0的下面標-1行，如圖4所示，此時石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對又可表示為什么？

圖4

圖5

圖6

生齊答：（1，2）.

師：這是老師的方法，你也可以確立自己的參照點，看看在你的參照點下又可用怎樣的有序數(shù)對表示石梁中學(xué)的位置.

生6：如圖5所示，得到石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對表示為（-2，-2）.

生7：如圖（圖略），得到石梁中學(xué)的位置用有序數(shù)對表示為（-3，2）.

師：為什么同樣是石梁中學(xué)的位置，可是表示出來的結(jié)果卻不一樣呢？

生眾：參照點不同.

師：這說明：我們在用有序數(shù)對確定物體的位置時，首先要做什么？

生眾：首先要確定參照點.師：現(xiàn)在再來看另一同學(xué)的，他還是以原來的參照點為參照點，但是他標記的行與列是用什么數(shù)標記的？如圖6，此時石梁中學(xué)的位置怎么表示？

生8：用小數(shù)標記的，可表示為（1.5，2.0）.

意圖：在多媒體的演示幫助下，結(jié)合數(shù)軸，學(xué)生很順暢地理解用負數(shù)標記行與列，繼而得到用負數(shù)對表示物體的位置.學(xué)生在參照點不同的選取中，在不同的單位長度下，感受著同一位置有著不同的表示方法，感受著數(shù)對的擴充.學(xué)生通過這一數(shù)學(xué)活動，不僅感受著數(shù)系的擴充對點的位置的影響，更在解決問題的過程中，積累建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担x取適當?shù)膯挝婚L度的活動經(jīng)驗.從理解數(shù)學(xué)的角度看，這一教學(xué)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)王國里，變中有不變、不變中有變的辯證思想，體現(xiàn)了數(shù)和形的和諧統(tǒng)一.

師：在剛才這位同學(xué)的建法下，如圖6所示，假如七里鄉(xiāng)用有序數(shù)對表示為（2.5，0.5），請你在圖中找到七里鄉(xiāng)的位置，并說說你是怎么做的.

生9：2.5表示它在第2.5列，通過第2.5列處往上可以作一條豎直的射線，然后根據(jù)它在第0.5行，通過第0.5行作一條水平的向右射線，兩線的交點就是七里鄉(xiāng)的位置.（投影展示）

師：看來兩線相交也能確定一個點的位置.

意圖：前面的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)都是通過數(shù)對表示點的位置，是由“形”定“數(shù)”的過程，這一環(huán)節(jié)是由數(shù)對描繪點所在的位置，由“數(shù)”找“形”，從另一視角體現(xiàn)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，暗隱著平面直角坐標系下的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)的關(guān)系，這也為數(shù)學(xué)方法“交軌法”種下了“一顆種子”.

片斷5：探索提升2.

借助課本做一做3簡要復(fù)習(xí)用方向、距離表示物體位置的相關(guān)知識.

問題：如圖7所示的石梁中學(xué)相對于衢州城的位置怎樣描述？衢州城相對于石梁中學(xué)呢？（比例尺1∶400 000）

意圖：復(fù)習(xí)也是完善確定點的位置的方法（是極坐標系的“種子”）.在變式中，體會改變參照點，相應(yīng)地用方向和距離確定物體的位置時結(jié)果也不一樣，落實課標中的相對性.

片斷6：歸納總結(jié).

師：你認為這兩種確定點的位置的方法有什么共同點、不同點嗎？

生10：都要先確定參照點、要度量兩個數(shù)據(jù)，還要規(guī)定順序.一個是用兩數(shù)來表示，一個是用數(shù)和角度.

師：與小學(xué)相比，你有什么新的收獲？

生11：把小學(xué)中的有序整數(shù)對拓展到初中的有序?qū)崝?shù)對.

圖7

生12：小學(xué)里的參照點都是固定的，而初中里對平面內(nèi)的物體，可以考慮選擇不同的參照點，標記不同的行與列，對同一個物體的位置，就會有不同的表示方法.

意圖：在比較中歸納出兩種方法的聯(lián)系與區(qū)別，挖掘共性，分離個性，解剖個性，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在對比中得以提升.培養(yǎng)學(xué)生反思、總結(jié)的習(xí)慣和能力.

四、幾點實踐之感

1.理解數(shù)學(xué)，保障數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的前提

本節(jié)課是對小學(xué)所學(xué)知識的延伸與拓展.針對這個內(nèi)容，課標對小學(xué)的要求：（1）了解比例尺，在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算；（2）能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置；（3）會描述簡單的路線圖；（4）在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上的點對應(yīng).課標對初中的要求：（1）結(jié)合實例進一步體會有序數(shù)對可以表示物體的位置；（2）在平面上，能用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置.

課前我們要認真學(xué)習(xí)課標對小學(xué)和初中不同學(xué)段的要求；細心研讀小學(xué)教材，仔細解答小學(xué)練習(xí)和作業(yè)中的每一道題，體會小學(xué)教材對學(xué)生的要求.從宏觀與微觀上精讀本節(jié)、本課時教材在知識的發(fā)生和發(fā)展過程中所蘊含的價值，分析它在整冊乃至整套教材中的編排地位與作用.出于這些考慮，筆者把本堂課的目標牢牢鎖定在4個字上——“探索、提升”.

兩種確定物體位置的方法中，有序數(shù)對法對初中階段尤為重要，因為它是后續(xù)學(xué)習(xí)平面直角坐標系與函數(shù)知識的基礎(chǔ).為了使學(xué)生透徹掌握這種方法，筆者在教學(xué)時先用這一方法講，所以在探索提升1中表示石梁中學(xué)的位置時，規(guī)定學(xué)生只用有序數(shù)對法表示，在透徹掌握這一種方法后，學(xué)生很自然地把學(xué)習(xí)方法遷移到另一種方法上，探索提升2環(huán)節(jié)中，課堂上學(xué)生一個個會意的微笑、眉宇間所流露出的那份自信與欣喜，無不證明了這一正確做法.

2.理解教學(xué)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的保障

知識是螺旋上升的，試想本堂課若僅僅停留在讓學(xué)生不斷地操練用兩種方法表示物體位置上，學(xué)生會覺得小學(xué)時就已學(xué)過，產(chǎn)生厭煩感.當然也不能過度拔高，如一開始的網(wǎng)格圖筆者有意隱去了相應(yīng)的正方向，避免了把平面直角坐標系知識置前.另外在選擇不同參照點表示石梁中學(xué)的位置時，筆者都是把它放置在網(wǎng)格中探討，這樣既減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，也凸顯了本堂課“探索”的目標.在正確目標的指引下，備課時才有可能想學(xué)生所想，課堂教學(xué)中才能真正做到“到位”而不“越位”，學(xué)生才能在輕松快樂中一步步達成學(xué)習(xí)目標.

課標告訴我們：課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的生活，有利于學(xué)生體驗、思考與探索.為此，本堂課筆者以學(xué)生所在的學(xué)校位置作為探索題材，既豐富了教材的內(nèi)涵，又延伸了教材的教育功能.課標還指出：內(nèi)容的組織要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系，直觀與抽象的關(guān)系，生活化、情境化與知識系統(tǒng)性的關(guān)系，整堂課上，筆者給足了探索時間，學(xué)生在探索過程中才步步為營，美不勝收.

3.理解學(xué)生，確立數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本

課堂上，當老師拋出問題而學(xué)生不知所措時，我們應(yīng)該以我們的仁愛靜待花開.比如課堂上，當學(xué)生完成做一做1與2后，老師請學(xué)生回顧小學(xué)期間用有序數(shù)對法確定物體位置的步驟時，學(xué)生一下子不知所措，老師一句：“沒關(guān)系，我們先進行下面的學(xué)習(xí)，等下我們一起解決這個問題”，一下子拉近了師生間的距離，讓學(xué)生感受到了老師的溫暖.再如：當學(xué)生確定白云山位置遇到困難時，老師及時追問：你認為確定白云山的位置比確定石梁中學(xué)的位置難在哪里？學(xué)生馬上發(fā)現(xiàn)白云山不在格點上.通過老師有效的追問，學(xué)生的遷移能力悄無聲息地得以提升——把格點上的做法牽移到非格點上，思維頓時開朗；而從特殊的格點位置到任意位置的確定，從特殊到一般的思想也在無聲地向?qū)W生滲透著，學(xué)生在思想方法的推動下自我前行.

4．理解反思、探尋數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的不足

每一次的課堂總給我們留下點兒遺憾.比如，教材中提到的“在一定范圍內(nèi)每一個有序數(shù)對就能確定一個物體的位置”，倘若在課堂中揭示有序數(shù)對與平面內(nèi)的點一一對應(yīng)之后，與學(xué)生一起探討解讀，當學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)自變量的范圍時，再次回憶起這個內(nèi)容，那又是怎樣的欣喜呢？所以唯有更加深入地鉆研我們的教材與課標，才可以知道更多，了解更充分，才能把課堂真正還給學(xué)生.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.姜鴻雁.追求自然生長的課堂教學(xué)——聽“平方差公式”有感［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（9）.Z探究解題思路的工具，尤其在很多應(yīng)用題中應(yīng)用十分廣泛.在教學(xué)中，我們不能僅停留在就題解題的教學(xué)層面上，應(yīng)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進行長期鋪墊.因為，線段圖實際上就是初中階段數(shù)軸的原始狀態(tài)，學(xué)生在作線段圖的過程中，能感知到線段的長短和題目中各個數(shù)量之間的關(guān)系，雖然沒有呈現(xiàn)單位長度和正方向，但他們在無形中已經(jīng)積累下了“缺少單位長度和正方向的數(shù)軸”的經(jīng)驗.對數(shù)軸的學(xué)習(xí)來說，畫線段圖無疑是極為寶貴的活動經(jīng)驗，在展開學(xué)習(xí)前應(yīng)采取有效方式加以喚醒.