基于數學實驗的勾股定理教學實踐
——蘇科版數學教材八上3.1勾股定理教學設計

基于數學實驗的勾股定理教學實踐
——蘇科版數學教材八上3.1勾股定理教學設計

☉江蘇省揚州大學附屬中學東部分校 萬廣磊

一、教材分析

1.本課的地位與作用

勾股定理是反映自然界規律的一條重要結論，它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有價值的定理之一，被譽為“幾何明珠”，它在數學的發展歷程中占有舉足輕重的地位，在現實生活中也有廣泛的應用.

本節課是《九年制義務教育課程標準實驗教科書》（蘇科版2013年版）八年級上冊3.1“勾股定理”的第一課時，勾股定理的實質是從邊的角度進一步對直角三角形的特征進行刻畫.此前學生已經學習了三角形的有關知識，如三角形的三邊不等關系、三角形內角和定理、三角形全等的性質與判定、直角三角形的斜邊上中線性質、等腰三角形的性質與判定、軸對稱圖形等，初步感受到了公理化的思想.此外，在七年級下學期，學生也學過利用圖形面積來探究數式運算規律的方法，如單項式乘多項式法則、多項式乘多項式法則、乘法公式、因式分解等知識和方法，初步感受了數形結合的思想.

本節課是在學生原有的認知水平基礎上，進一步研究直角三角形的三邊之間的二維等量關系.通過數學實驗的系列開展，學生自主探索和發現勾股定理，構建知識鏈，數學活動經驗和數學思維能力得到豐富和發展.此外，探求勾股定理的過程也蘊含了豐富的數學思想：把直角三角形“形”的特點轉化為三邊之間“數”的關系，體現了數形結合思想；用“割”、“補”的方法探究三個正方形面積的關系，體現了轉化思想；從特殊直角三角形到一般直角三角形，從直角三角形到銳角三角形和鈍角三角形，都體現了特殊到一般的思想和數學哲學的辯證思想.另外，從數學文化史的角度看，勾股定理的發現、驗證也蘊含著文化價值和理性精神.

2.教學目標

（1）知識與技能：能利用實驗探究驗證勾股定理，理解勾股定理并會簡單應用.

（2）過程與方法：通過系列化數學實驗引導學生經歷觀察、思考、猜想、實驗、驗證、反思的全過程，發展合情推理、歸納和概括能力，體會數形結合、轉化等數學思想.

（3）情感態度與價值觀：培養學生獨立思考、合作交流的意識，體驗成功喜悅，了解勾股定理歷史，感受其文化價值，增強民族自豪感，激發學習熱情.

3.教學重點、難點

董林偉主任在《初中數學實驗教學的理論與實踐》一書中說：“數學實驗不是學生被動地接受課本上的或老師敘述的現成結論，而是學生從自己的‘數學現實，出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，逐步建構并發展自己的數學認知結構的活動過程”.［1］

結合以上關于數學實驗的論述，特制定教學重點、難點如下：

（1）教學重點：通過數學實驗發現和驗證勾股定理，引導學生獲得研究問題的方法經驗，并簡單應用勾股定理.

（2）教學難點：運用轉化的思想，通過“割”、“補”的方法探索、驗證勾股定理.

二、教法學法

孫朝仁所長指出：“數學實驗課在教學設計時既要遵循目標性、整體性、多樣性和簡約性等原則，還要融入微觀的經驗元素、直觀元素、普適元素及創造元素，方能釋放數學實驗的內在力量”.［2］

據此，教法設計和學法指導如下.

1.教法設計

采用探究發現式教學，通過系列數學實驗，提供自主探究交流的空間，充分調動學生的學習積極性，有目的地探索和應用勾股定理.

2.學法指導

網格紙和拼圖實驗為學生設計計算面積的數學實驗平臺，結合多媒體課件演示，引導學生探索勾股定理.

3.教學準備

實驗用的網格紙，課件（含幾何畫板文件）.

三、教學過程

1.創設情境，導入新課

圖1

圖2

圖3

圖4

（1）展示1955年希臘為紀念2500年前的畢達哥拉斯學派而發行的郵票，如圖1所示.

思考：學生說出圖中三角形的形狀，指出三個正方形的面積之間的關系.

（2）展示2002年在北京召開的國際數學家大會的徽標，如圖2所示，簡單介紹會議背景.

思考：學生說出圖中大正方形的面積計算方法.

設計意圖：情境創設尊重了教材的編寫意圖，郵票和會徽的展示說明勾股定理所贏得的尊重，激發學習興趣.初步感受勾股定理的文化價值，為下一步數學實驗做鋪墊.

2.實驗探究，合作交流

實驗一：畫一畫.

把直角三角形ABC紙片放在如圖3所示的網格圖中（每個小正方形邊長為1 cm），分別以三邊為邊向外翻作正方形，觀察并思考，再填空：

（1）正方形P的面積為________cm2，正方形Q的面積為________cm2，正方形R的面積為________cm2.

（2）你能發現圖中正方形P、Q、R的面積之間有什么關系嗎？從中你發現了什么？

說明：實驗一以特殊的等腰直角三角形來鋪墊定理的發現，計算面積過程相對簡單.

實驗二：想一想.

思考：其他一般直角三角形是否也有類似的性質呢？我們來繼續觀察圖4.

（1）正方形P的面積為_______cm2，正方形Q的面積為________cm2，正方形R的面積為________cm2.

（2）你發現這個圖和郵票中的圖有什么關系嗎？正方形P、Q、R的面積之間的關系是什么？

（3）你會用直角三角形的邊長表示正方形P、Q、R的面積嗎？

（4）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？與同伴進行交流.

說明：實驗二通過發現圖4和郵票中的圖之間的關系是面積不變，因此學生在網格圖中計算R的面積時有了目標，因此要通過“割”與“補”的方法將R轉化為幾個圖形的和差，如圖5、圖6所示，切實加深對數形結合和轉化思想的理解.

圖5

圖6

實驗三：試一試.

（1）按照以下要求操作（請學生拿出實驗用的網格紙進行操作）：

①在實驗用的網格紙中，畫出兩條直角邊分別為任意整數值的直角三角形，分別以三邊為邊向外翻作正方形.

②驗證結論對直角三角形是否成立？

（2）學生用文字語言總結，并用幾何語言表達自己的發現.

學生猜想（以回答出該問題的同學命名）：在直角三角形中，以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和（或直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）.

說明：實驗三從特殊的直角三角形到一般的直角三角形進行探究，揭示了勾股定理的普遍性，都可以從面積角度和代數式角度進行表述.

實驗四：辨一辨.

（1）按照以下要求操作（讓學生拿出實驗用的網格紙進行操作）：

①在實驗用的網格紙中，同桌的兩人各自畫出兩條邊分別為任意整數值的鈍角三角形和銳角三角形，分別以三邊為邊向外翻作正方形.

②驗證結論對所畫三角形是否成立？相互交流.

③教師用兩只手打手勢的方法（模仿直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形）讓學生直觀地感受結論.

（2）學生用文字語言表達自己的發現.

鈍角三角形兩條短邊的平方和小于最長邊的平方，銳角三角形兩條短邊的平方和大于最長邊的平方，因此只有直角三角形的兩條短邊的平方和等于最長邊的平方.

說明：實驗四讓學生知道，勾股定理是直角三角形特有的三邊關系定理，其他三角形所不具有.

設計意圖：在四次實驗的基礎上，學生意識到了研究的方法是從特殊的直角三角形到一般的直角三角形，從直角三角形到斜三角形，學生發現只有直角三角形才有勾股定理，進一步完善對勾股定理的表述，加深理解.

3.驗證定理，解釋內涵

（1）實驗五：拼一拼.

①每人用4張全等的直角三角形紙片（兩條直角邊不相等）拼一拼，看看能否得到一個以c為一邊的正方形？

②用你拼好的圖形證明剛才的發現，請詳細表達（預測會出現圖7、圖8兩個圖形）.

圖7

圖8

說明：當學生拼出以上兩個圖形后，指導學生如何抓住拼圖的面積等量關系構建等式發現結論.學生自主選擇證明其中一個.介紹趙爽弦圖（圖9）、北京召開的第24屆國際數學家大會會標（圖2）和總統證法（美國第20任總統加菲爾德的證明方法，如圖10），都與“割”、“補”的方法有關.

圖9

圖10

圖11

（2）歸納定理.

勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

幾何語言：如圖11，在△ABC中，因為∠C=90°，所以a2+b2=c2.

說明：勾股定理的本質是揭示了直角三角形三邊的平方之間的等量關系.

（3）引導學生推導出勾股定理的變式和簡便計算方法.由a2+b2=c2，可得a2=c2-b2=（c+b）（c-b），b2=c2-a2=（c+a）（c-a）.

（4）數學欣賞，動感體驗.

①展示幾何畫板軟件繪制的勾股樹，如圖12、圖13所示.

圖12

圖13

圖14

圖15

②用幾何畫板演示勾股樹，提問：如圖13，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長是7 cm，則四個正方形A、B、C、D的面積之和是_______cm2，所有的正方形的面積之和是______cm2.試找出其中的規律.

說明：動態幾何的引入更加直觀地感受到勾股定理的魅力，探究幾個正方形面積之和時運用到整體和轉化思想，規律的探究突出從特殊到一般的思想.

（4）介紹勾股定理.

①勾股定理（公元前4000多年前）.

中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，后人還把直角三角形較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，如圖14所示.

②商高定理（公元前1120年前后）.

公元前1120年前后，周朝數學家商高提出：將一根直尺折成一個直角，即有“勾三、股四、弦五”，記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中.

③陳子定理（公元前700年前后）.

陳子和榮方討論用勾股定理來測量太陽的高度，如圖15所示，推廣到一般的直角三角形.

④畢達哥拉斯定理（Pythagoras定理，公元前600年前后）.

兩千多年前，古希臘的畢達哥拉斯學派首先發現了勾股定理，因此國外通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理和百牛定理.

⑤在地球以外是否存在生命這個問題上，我國數學家華羅庚曾認為，如果外星人也擁有文明的話，我們可以用“勾股定理”的圖形作為人類探尋“外星人”并與“外星人”聯系的“語言”.

設計意圖：概念教學不僅讓學生明白知識“是什么”，更重要的是“為什么”.［3］定理的教學也是如此.通過拼圖實驗引導學生動腦動手驗證和歸納勾股定理，并用幾何語言表達出來.勾股樹則體現了勾股定理與信息技術相結合的奇異美，勾股定理的歷史介紹凸顯了它的文化價值.

4.運用新知，體驗成功

例1如圖16，字母B所代表的正方形的面積是（）.

A.12B.13C.144D.194

變式：正方形B的邊長等于多少？如何計算？

例2如圖17，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若b=12，c=13，求a.

變式1：如圖18，若D為AB的中點，試求CD的長與△CDA的面積.

變式2：若CE⊥AB于點E，求CE的長.

圖17

圖16

圖18

例3觀察國外數學愛好者設計的“流水版”勾股定理，如圖19，試說明：為什么兩個水箱中的水最后可以正好裝滿下面的水箱？

圖19

說明：學生可能會解釋為兩個小的長方體水箱的體積之和等于大的長方體水箱的體積，若直角邊分別為a、b，斜邊為c，得到a3+b3=c3.因為三個水箱的厚度h相同，所以得到a2h+b2h=c2h，實際上是a2+b2=c2.如果都是正方體，可得a3+b3=c3.這里還可以進一步介紹費馬大定理：當整數n>2時，關于x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數解.

設計意圖：通過練習和變式訓練，強化所學知識，通過變式提問，培養學生綜合所學知識解決問題的能力.網絡圖片中的數學知識，也是驗證了勾股定理在生活中最直觀的體現，費馬大定理是巧妙的拓展.

5.獨立練習，鞏固新知

例4已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）.

A.25B.14C.7D.7或25

例5如圖20，△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC于D，BC=6，則AD=______.

例6如圖21，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中點，若BC=6，CD=5，則AC=______，△ACD的面積=_____.

圖20

圖21

設計意圖：練習的設計體現出分層教學的要求，讓不同的學生在數學上得到不同的發展.設置問題以數學思想為主線，綜合所學數學知識解題.

6.交流收獲，總結展示

（1）學生交流本課收獲.

問題1：你是如何發現和探索勾股定理的？

問題2：勾股定理需滿足什么條件？能解決哪些簡單的問題？

問題3：你本節課學到了什么？

（2）教師評價學生實驗操作中表現，并展示學生的作品.

設計意圖：學生在三個問題的引領下回顧并歸納知識技能、思想方法、情感體驗.教師通過評比和展示激發學生學習熱情.

7.布置作業，鞏固訓練

（1）作業本相關作業，課本第80頁第1，2，3題.

（2）實驗六：剪紙證明勾股定理.

若將圖22中的①②③④⑤剪下，用他們可以拼成一個與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎？試一試！

圖22

設計意圖：把數學實驗延伸到課外，讓學生保持持久的探究意識和學習熱情.

8.課堂結語，滲透理性

閱讀龐加萊（法國理論科學家和科學哲學家，領袖數學家）名言：“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀.”

設計意圖：提醒學生在學習現有數學知識的同時，也要知道數學知識形成和發展過程，認識到數學是有根的，并在一代代人的研究下得以全新的發展和飛躍.

1.董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2013.

2.孫朝仁.初中數學實驗設計應滲透的四個元素［J］.中學數學教學參考（中），2014（9）.

3.董毓興，李靜.突破概念生成瓶頸的教學實踐與思考［J］.數學通報，2014（9）.H