初中生符號意識形成策略探微

初中生符號意識形成策略探微

☉江蘇省江陰市第一初級中學鐘珍玖 方漪

懷特海在《數學原理》一書中曾經說過：由于大量的數學符號，往往數學被認為是一門難懂而又神秘的科學.不能認為這些術語和符號的引入，增加了這些理論的難度.相反地，這些術語和符號的引入，往往是為了理論的易于表達和解決問題.特別是在數學中，只要細加分析，即可發現符號化給數學理論的表述和論證帶來極大的方便，甚至是必不可少的.由此可見數學符號語言是學生學習數學必須經歷的一門語言，隨著2011版數學新課程標準的實施，很多老師對符號意識形成的教學也非常重視，考查符號意識的試題在中考中也經常出現，本文對初中生符號意識的形成作一粗淺的探究，以期引起同行的重視.

一、研究符號意識形成的心理機制，促進符號意識形成

從人的認知過程來看，遵循從具體到抽象、從簡單到復雜的過程.小學數學由實物到數的抽象是一個飛躍，同樣從具體的數抽象到用字母來表示數，用抽象的符號來表達復雜的數量關系，以及運用符號邏輯推理又是一個質的飛躍.所以從“數”的角度出發組織教學，以數為基礎滲透符號意識，是符號意識形成的基本途徑，特別是初中低年級的符號意識教學更應如此.

案例1：蘇科版七年級數學上冊“§3.3代數式的值”，教材安排如下.

用火柴棒按如圖1所示方式搭“小魚”.

問題：搭20條“小魚”需用多少根火柴棒？搭100條“小魚”呢？

教學中，筆者沒有限制學生的思維方式，讓學生自行解決這兩個問題.

圖1

生1：搭1條“小魚”用了8根火柴棒；搭2條“小魚”，增加了6根火柴棒，即8+6=14；搭3條“小魚”，又增加了6根火柴棒，即8+2×6=20.那么搭20條“小魚”，增加了6×19根火柴棒，即8+6×19=122；搭100條“小魚”，需要火柴棒的根數為8+6×99=602.

生1雖然找到了圖形的變化規律，但并沒有把問題一般化，沒能用含字母的代數式表示搭“小魚”時所需火柴棒的根數.教師繼續追問：有沒有辦法把這個問題“一網打盡”，搭任意條“小魚”都可以求出所需火柴棒的根數呢？

生2：用x表示所搭“小魚”的條數，根據前述規律，所需火柴棒的根數為8+6（x-1），再把x=20、100代入上面的式子就可以解決問題了.

生3：從圖形構成來看，去掉組成魚的尾巴的2根火柴棒，第一個圖形中有6根火柴棒，第二個圖形中有6×2根火柴棒，第三個圖形中有6×3根火柴棒，…，那么第x個圖形中就有6x根火柴棒.

師（總結）：我們從特殊情形（搭1條、2條、3條“小魚”）出發，發現搭“小魚”的條數和所需火柴棒根數的規律，用具有一般意義的字母x表示“小魚”的條數，用含x的代數式就可以一般性地表示所需火柴棒的根數.

教師的追問和總結都是在引導學生觀察數的變化，由搭1條小魚的8根火柴棒，到搭2條小魚的8+6根火柴棒，搭3條小魚的8+2×6根火柴棒，…，啟發學生把變化的“數”換成字母，為用抽象字母表示數埋下伏筆，學生具有認知上的附著點，讓學生充分經歷由具體到抽象的過程.

數不僅是用字母表示數的心理基礎，也能幫助學生理解抽象字母的意義，教學中讓學生體會用字母表示數的必然性、必要性和簡潔性，讓學生在特殊（數）和一般（字母）的關系中體會用字母表示數的自然性，反復體驗從特殊（數）到一般（字母）的變化，為形成符號意識打下堅實的心理基礎和知識遷移基礎.

二、運用多種語言表征相互轉化，促進符號意識形成

圖2

符號意識的形成載體就是符號語言，符號語言較文字語言具有精確、簡潔、通用等優點，但是同時也帶來另外一個問題，就是符號語言的抽象性.從教學實踐來看，很多學生就是因為帶著抽象符號進行思考的障礙，而被拒之在數學門外.讓學生學會在抽象層面上進行思考，是初中生必須要經歷的難關.教學中應該充分利用文字語言的易理解性和圖形語言的直觀性來幫助學生加深對符號語言的理解，促進符號意識的形成.

案例2：一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時出發，設客車離甲地的距離為y1千米，出租車離甲地的距離為y2千米，兩車行駛的時間為x小時，y1、y2關于x的函數圖像如圖2所示.（1）根據圖像，直接寫出y1、y2關于x的函數關系式；（2）若兩車之間的距離為S千米，請求出S關于x的函數關系式.

分析和解：（1）y1=60x（0≤x≤10）；y2=600-100x（0≤x≤6）.

對于（2），有兩種方法解決.

方法1：由于圖像表示的行程問題學生較難理解，實踐中，學生在完成此類問題時還是習慣使用文字語言，結合行程的線段圖，用實際意義法來解決，原因是自然語言更貼合學生實際，利于學生理解.

由圖像可知出租車的速度為100千米/小時，客車的速度為60千米/小時.

當0≤x≤3.75時（如圖3），S=600-出租車的路程-客車的路程，則S=600-100x-60x=600-160x；

圖3

當3.75＜x≤6時（如圖4），S=出租車的路程+客車的路程-600，則S=100x+60x-600=160x-600；

圖4

當6＜x≤10時（如圖5），S=客車的路程，則S=60x.

圖5

方法2：運用（1）中求出的函數解析式，結合y1、y2、S的實際意義，運用解析法，在符號的層面上進行運算，顯得簡潔明快.

當0≤x≤3.75時（如圖6），S=y2-y1=600-100x-60x= 600-160x；

當3.75＜x≤6時（如圖7），S=y1-y2=60x-（600-100x）= 160x-600；

當6＜x≤10時（如圖8），S=60x.

圖8

從以上兩種解法來看，用圖像和符號（變量）呈現的一次函數應用問題，結合文字語言和線段圖，學生就容易理解，而方法2顯然運用了函數的思想，結合抽象變量的實際意義，運用符號解決問題，體現了簡潔和思維含量高的特點.在實際的教學中，筆者發現要掌握方法2不是一件容易的事情.運用了兩種方法對比，用學生熟悉的文字語言和圖形語言幫助學生理解符號語言，讓學生從數學本質上理解兩種解法的內在一致性，經過幾次訓練，學生還是能夠掌握的.

三、把實際問題和數學問題符號化，促進符號意識形成

圖9

符號意識形成的標志就是：對于實際問題，能正確引入符號表示，并且運用符號運算或者推理解決問題；或者對于給定符號表示的關系和運算能夠深刻理解，帶著數學符號進行思考，運用符號所包含的數學知識解決問題.

案例3：九年級數學復習教學片段.

如圖9，二次函數y=ax2+bx+c（a<0）的圖像過坐標原點O，與x軸的負半軸交于點A.過A點的直線與y軸交于B，與二次函數的圖像交于另一點C，且C點的橫坐標為-1，AC∶BC=3∶1.

（1）求點A的坐標.

（2）設二次函數的圖像的頂點為F，其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點D和點E.若△FCD與△AED相似，求此二次函數的關系式.

教學過程：由于問題本身有一定的難度，在學生事先已經練習的情形下，教師讓學生說出自己的解答方法.

生1：（1）過點C作CG⊥x軸于點G.

由CG⊥x軸，OB⊥OA，得CG∥OB，則△ACG∽△ABO.則，則AG=3，則點A（-4，0）.

（2）過點C作CH⊥EF于點H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c= 0，16a-4b=0，所以拋物線的解析式為y＝ax2+4ax，可知C（-1，-3a），F（-2，-4a）.

由CG⊥x軸，DE⊥x軸，得CG∥DE，則△ADE∽△ACG.

又CH⊥EF，則CF=CD.

由△FCD與△AED相似，得∠AED=∠FCD=90°，則∠HDC=∠CFH=45°.則∠ADE=∠DAE=45°，則DE=AE.

則-2a=-2，則a=-1，則y＝-x2-4x.

師：這是一道中考中得分率較低的試題，問題的難點在于試題含有豐富的數學思想，首先要具有消元的思想，把點A的坐標代入函數解析式，用含a的代數式來表示b，只需要求待定系數a即可；其次是數形結合的思想，猜想或直觀感受到△ADE和△FCD是等腰直角三角形，用數來定形；再次是強烈的符號意識，在求線段的長度時，都是帶有符號的運算，整個運算過程都要帶著符號來思考；最后是函數思想.解題的關鍵是求出點D的坐標，發現并求出CD=CF.

生2：受生1解法的啟發，第二問還有其他的解法.過點C作CH⊥EF于點H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c=0，16a-4b=0，所以拋物線的解析式為y＝ax2+4ax，可知C（-1， -3a），F（-2，-4a）.

設直線AB：y=mx+n，把A（-4，0）代入，得-4m+n=0，即n=4m，則y=mx+4m.把x=-1代入，得y=3m，則3m=-3a，則m=-a，則y=-ax-4a.當x=-2時，y=-2a，則DE=-2a，以下解法同生1一致.

師：生2的解法具有一定的創新性，問題中有待定字母，再引入直線的解析式，通過函數思想，在點C處分別利用直線和二次函數的解析式，求出點C的縱坐標，從而把直線中的兩個字母都用a來表示，這樣點D的坐標就很容易表達，這樣解決深刻理解了函數的思想，運用代數方法解決幾何問題，創新性強，值得借鑒.

這是一道對符號意識要求較高的中考試題，本題的得分率不高，經過調查發現難點在于：做（2）時沒有想到把b用含a的代數式來表示，問題中的線段的長度都用含a的代數式表示，整個解題過程中缺乏符號意識.縱觀本題的兩種解法，包括消元思想、函數思想都是帶著符號進行思考，尤其是生2的解法，引入直線的解析式，又要引入兩個參數m、n，其解法對符號參與運算要求之高令人望而生畏，所以說提高學生的符號意識任重道遠.

符號意識的形成，是一個循序漸進的過程，要求教師在平時的教學中有強烈的意識，在代數式的運算、方程、函數、不等式、幾何推理的教學中不斷滲透，讓符號真正成為數學交流的工具，使學生在理解符號語言的基礎上，熟練使用數學符號解決問題.

1.高峰官.淺論符號化策略在數學學習中的運用［J］.中學數學（下），2014（12）.

2.孫俊武.建立和發展學生的符號感［J］.中國數學教育（初中版），2008（6）.Z