類比推理讓規律探究更深入
——由一則教學案例談起

類比推理讓規律探究更深入
——由一則教學案例談起

☉陜西師范大學出版總社中學數學教學參考編輯部 潘紅玉

類比是一種數學思想，也是數學基本方法.它是由數學基本思想——“推理”派生而來.按推理過程的思維方向劃分，主要有三種形式，即類比推理、歸納推理和演繹推理.其中類比推理是指將新事物與已知事物之間的某些方面作類似比較，找出它們之間的相同點與相似點，并以此為依據，把已經獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，通過推理等論證方法，推論出它們的其他屬性或規律，以及可能相同或相似的結論.類比推理對學生數學素養的提高、思維品質的改善、創新意識的培養等有著獨特的地位與作用.教學中若能巧妙運用，有時能起到嚴格的邏輯推理所不能達到的效果.

我們知道，數學知識的產生與發現是經過人們大量的艱苦探索得到的.而數學規律由于其內在的“無限魅力”更受到人們的景仰與追求！故而，教學中我們要努力摒棄重復機械，將學生的學習活動營造為一個不斷探索知識、追求真知的研究性過程，以使學生在這樣的教學氛圍中，滿足自己的好奇心和求知欲，并且體會到自己作為一個研究者、發現者和探索者的成功.而“類比推理”在數學規律探究過程中的應用性教學，非常適合給學生營造這樣的教學氛圍.

一、案例及賞析

案例：有多少個三角形？

學生在小學已有學習三角形的基礎，進入初中后，在八年級上半學期進一步學習了認識三角形的相關特征后，教師出示了下列問題，引導學生進行規律探究：如圖1，下列各個圖形中各有多少個三角形？請說說你的發現過程.

圖1

（約3分鐘后，師生探討）

教師：括號中依次填的結果是多少？

學生1：前面三個填的分別是3、6、10，最后一個無法填出來.老師，三個點表示有多少條線段呢？

教師：你提出了一個很實際的問題.第1個三角形中有1條線段，第2個三角形中有2條線段，第3個三角形中的三個點是數學中的省略號，有3條線段，最后一個三角形中的三個點是數學中的省略號，表示有n條線段.

學生（眾）：老師，我們還沒有計算出來.

教師：好，那么請同學們說說前三個結果是如何得到的？

學生2：老師，我是一個一個地數出來的.

教師：你是如何數的呢？

學生2：老師，其實我是根據數線段的方法數出來的.

教師：數線段？好一個類比方法，不錯！那么請你上來示范一下，你是如何數線段的.

（該生在老師的示意下進行了數線段示范）

教師：很好，那么同學們是如何想到數線段這種方法的？

學生3：其實很簡單，一條線段就對應著一個三角形.線段有幾條，三角形就有幾個.

教師：好一個很簡單，對！一條線段就對應著一個三角形.假如三角形內有4條線段，此時能夠得到幾個三角形？

學生3：我想想.嗯，就是15條，15個三角形.

教師：5條呢？

學生（眾）：5條時，21個.

教師：6條呢？

學生（眾）：28個.

教師：n條呢？

學生（眾）：n條是……

學生4：老師等一會，我們會找到規律的！

教師：老師相信你們！同學們不妨在草稿紙上寫一寫、算一算，把結論推理出來.

（約2分鐘后，部分同學舉手）

教師：很好！請同學們說說你們發現的規律.

學生5：我是從具體的數據中發現這個規律的.三角形的個數分別是3，6，10，15，21，28，這樣下去，后面一個是在前面的基礎上相應地增加了3，4，5，6，7，按照這樣的規律下去，最后一個圖形中三角形的個數就是…….老師，我說不清楚了，我把它寫出來吧.

教師：好，那么就請你上來把具體的過程寫出來.

（該生在黑板上寫出以下過程：設第n個圖形中三角形的個數為an，則有：a1=3，a2=a1+3，a3=a2+4，a4=a3+5，…，an=an-1+（n+1），將上述等式左邊分別相加，右邊分別相加，左右兩邊相同的項互相抵消，就得到an=3+3+4+…+ n+（n+1），即an=1+2+3+4+…+n+（n+1），因此可得到an=n+1）（n+2））

案例賞析：三角形個數問題是一個經典的規律探索性問題.其本質上是和“數線段問題”完全一致的.學生在洞悉問題本質的基礎上，形象直觀地將“一條線段對應一個三角形”這個核心提煉出來.“數線段問題”早為學生所熟知，其蘊含的規律已被學生所掌握.通過類比，將問題由“數三角形問題”抽象成“數線段問題”，這是一次思維層面與深度的飛躍.學生通過對一系列等式的左右兩邊相加，類比推理并形成最終結論.教學中教師始終“站在學生的背后”，沒有向學生暗示探索的方向，沒有向學生提示探索的思路，而有的只是適時的追問與探索時空的充分給予，以及類比思想的有意滲透與類比方法的著意引導.學生在這樣的課堂學習中，始終體驗著作為一個探索者不斷探索規律的樂趣，通過引導類比不斷將規律探究引向更為深入的思維層面.

二、案例的啟示

1.類比探究教學中要善于解析知識間的類比本質

事物間總是相互聯系的.作為基礎工具學科的數學更加關注概念、定理等的聯系與區別.教學中，教師要著力解讀規律探究問題本身所蘊含的題理與本質，找準與此相類似的、學生熟悉的解決手段或方法，并且尋找相對容易的問題載體，進行類比教學.如本例中，通過“一條線段對應一個三角形”這一核心聯系點，從中解析出問題間的類比本質.教師利用課堂的隨機發問引導學生進行深入的思考與探討，揭示了圖形中所蘊含的內在規律，這為學生順利完成“有多少個三角形”的規律探究奠定了基礎.其實這類問題與“同一條鐵路線上有n個站，鐵路部門需要論證決定幾種不同的票價”問題的本質是一樣的.因此在教學中教師要善于解析知識內在可以類比的本質，著力剖析知識間的聯系點，施以恰當的類比推理，從而最終將問題從根本上獲得突破與解決.

2.類比探究教學中要善于把握類比的教學時機

數學規律的探究要求學生能用不同的眼光觀察新事物并從中發現問題，用自己獨特而個性的思維方式進行探究，進而形成自己的個性化見解.但在探究進程中，由于學生的知識基礎與探究能力的差距，一定程度上會出現“不知所措”的現象.此時教師該如何恰如其分地進行“出手”引路？如本案例中，當學生回答老師說是一個一個地把三角形數出來時，老師隨即一問：“你是如何數的呢？”迫使學生說出“我是根據數線段的方法數出來的”這個類比關鍵.而當老師問到三角形內有n條線段可得到多少個三角形時，學生一下子“卡殼”了.老師倒是不急，一句“同學們不妨在草稿紙上寫一寫、算一算，把結論推理出來”，讓學生動筆自己來推理得出結論.由此看來，類比推理教學時機的把握也是規律探究教學中應該關注的一個問題.這種智慧式的類比點撥與推理引導也體現了教師的教學素養.

3.類比探究教學中要善于推廣探究成果

類比探究數學規律的教學作為一種題型教學，其問題本身的解決不是終極目標，而是要把規律探究過程中所采用的類比推理方法、手段或探究的成果充分運用到后續的學習過程和問題解決之中.在這個轉化與運用過程中，教師必須充分考慮學生的可接受能力，以及學生的學習現狀與已有的知識、能力基礎，在學生的“最近發展區”與“認知水平基點”上借題發揮，設計出讓學生進一步深入思考、解決的問題，并通過這些問題的跟進分析和解決，一方面鞏固學生先前通過類比推理所獲得的知識，另一方面也是對規律探究的成果作進一步拓展運用的新嘗試.如本案例教學中，教師可作如下的教學跟進——握手問題：一次會議共有20名代表出席，若每位代表均與另外的代表握手一次，則所有代表一共握手多少次？其他如比賽的總場次問題等都是這一個模型.教學中要做好這方面的模型提煉，使之成為學生理解并掌握這一類問題解決的關鍵.

總之，在規律探究問題中運用類比推理進行教學，需要教師課前的精心預設、課中的智慧點撥與引導推進、課后的及時跟進與拓展.特別是教學實施時教師所采取的教學方式、方法顯得尤為關鍵.因為類比推理這種思想可使規律探究教學實施更能體現出教學的智慧與高效，更能踐行“充分激發學生自主進行探究性學習”的理念.

1.顧琰.類比，讓認知自然延伸［J］.中學數學（下），2014（12）.

2.酈興江.合作融入探究，實現教學目標有效達成［J］.中學數學教學參考（中），2014（12）.H