凸顯問題探究，培養應用意識*
——以人教版七年級下冊“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）為例

☉貴州省道真自治縣舊城中學張幫洪冉文宇

凸顯問題探究，培養應用意識*
——以人教版七年級下冊“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）為例

☉貴州省道真自治縣玉溪鎮中心學校 胡軍

☉貴州省道真自治縣舊城中學張幫洪冉文宇

應用意識是《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“課標”）十個核心概念之一.“課標”指出“應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題；另一方面，認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決”.蔡上鶴先生認為“這里的不足之處是沒有加進第三方面：領會學數學、做數學、用數學三者的辯證關系”.為了探索在數學課堂教學的過程中培養學生的應用意識的有效途徑和具體方法，本文將以“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）為例，就教學內容和“課標”解讀、學情分析及問題診斷、教學中如何以問題探究為主線培養學生應用意識的一些做法進行相關分析，以求同行指教.

內容：人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）.

“課標”對本節內容的教學要求是：（1）能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界中的數量關系的有效模型；（2）經歷估計方程解的過程；（3）能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

教學要求（1）明確列方程（組）解應用問題是聯系實際的重要方面，凸顯了方程作為一種數學模型的重要特征，這既是培養學生邏輯思維能力的良好載體，也是培養學生應用意識和實踐能力的很好的題材.根據具體問題中的數量關系，經過必要的抽象，提煉出未知數與已知數之間具有的等量關系，列出方程，再運用方程求解的各種方法，求出方程的解，進而解決問題，應是貫穿本節的主線.

教學要求（2）指出了估算是利用方程解決實際問題的過程中重要的方法和策略，大量的實際問題只要求估算其結果.估計方程的解，不僅僅在于求解，也有利于學生直觀地探究方程的性質，初步感悟通過代入數值進行計算也是求方程的解的有效途徑，更有利于體會方程中的模型思想，對數感的培養也具有重要的意義.

教學要求（3）強調了要重視過程與結果的關系，數學與實際的關系，不僅要在操作層面上理解和應用二元一次方程組，更要在思維的層面上認識意義和作用.

教學理念：通過現實問題數學化，數學內容現實化，體會數學模型在解決實際問題中的價值，進行不同過程的有層次的知識和方法方面的訓練，發展學生的應用意識.

本節課的重點是以方程組為工具分析、解決含多個未知數的實際問題，難點是解題的策略，用方程解決實際問題的過程.

教學問題診斷分析如下所示.

知識基礎：本章學習了二元一次方程組的有關概念和解法，已具備利用二元一次方程組的知識解決實際問題的知識基礎.

學習經驗：在七年級上冊學習了“實際問題與一元一次方程”，本章學習二元一次方程（組）的過程中初步體驗到了用方程（組）解決實際問題的應用意識和學習經驗.

學習障礙：“探究1”中的數量關系比較簡單，但需要學生理解如何確定未知數；“探究2”中的數量關系比較復雜，要從“怎樣劃分”中來理解題意，開放地尋求設計方案，使學生利用方程組為工具進行一定深度的思考.受閱讀能力、分析能力的制約，怎樣從實際問題中提取數學信息，并轉化為數學語言，這些對初一的學生來說有困難.

一、問題情境導入，激活應用意識

圖1

師（課件演示）：如圖1，悟空順風探妖蹤，千里只行四分鐘.歸時四分行六百，風速多少才稱雄？

問題1：上面這首詩包含了什么數學問題？用什么方法可以解決這個問題？

生：不能理解詩意，感到困感.

師：這是一個有關行程問題中的順風、逆風的實際問題，可用方程的知識來解決這個問題.同學們回憶一下，用方程解實際問題的基本思路有哪些？

學生活動：熱烈議論，你一言、我一語說出用方程解實際問題的基本思路.

教師歸納板書：設（設未知數）、列（列方程）、解（解方程）、檢（檢驗）、答（給出答案）等.

師：前面我們討論了二元一次方程組的解法，并用二元一次方程組解決了一些實際問題，為了解決問題1，本節課我們將根據用方程解實際問題的思路和方法繼續探究如何應用二元一次方程組解決實際問題.（板書課題：實際問題與二元一次方程組）

評析：以孫悟空“探妖”（動畫）創設情境，讓學生在具體情境中“觸景生思”，激活了學生的學習興趣；用孫悟空“探妖”詩句提出問題讓學生感到困感（引起懸念），喚起學生急于解決問題的欲望；讓學生“回憶用方程解實際問題的基本思路”，為本節課的學習提供了研究思路和方法.通過以上環節，既自然地激活了學生應用已有知識解決實際問題的意識，又突出了“課標”“數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法和語言，是現代文明的組成部分”的理念.雖然學生可能一時不能理解詩意，但無需學生立即解答.

二、凸顯問題探究，增強應用意識

探究1：養牛場原有30只母牛和15只小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進12只母牛和5只小牛，這時1天約需用飼料940kg.飼養員李大叔估計平均每只母牛1天約需飼料18—20kg，每只小牛1天約需飼料7—8kg.你能否通過計算檢驗他的估計.

問題2：請同學們認真閱讀題目，討論并解答下面的問題.

（1）如何理解“通過計算來檢驗他的估計”這句話？

（2）題目中哪些是已知量？哪些是未知量？有幾個未知量？

（3）有幾個等量關系？怎樣列方程組？用什么方法解這個方程組？

（4）飼養員李大叔的估計正確嗎？

師生活動：學生讀題，理解題意，思考并與同學交流.教師巡視、輔導學習有困難的學生，收集學生學習中存在的疑點和難點.然后師生交流，共同尋找解決問題2的方法.

師：如何理解“通過計算檢驗他的估計”這句話？

生1：先假設李大叔的估計正確，再根據問題中給定的數量關系通過計算來檢驗.

生2：根據問題中給定的數量關系求出平均每只母牛和每只小牛1天各約需的飼料量，再來判斷李大叔的估計是否正確.

師：題目中哪些是已知數？哪些是未知數？有幾個未知數？

生：原有母牛和小牛數：30、15；一周后母牛和小牛數：42、20；原來1天約需用飼料675kg、一周后1天約需用飼料940kg是已知數.估計值（平均每只母牛1天約需飼料18—20kg、平均每只小牛1天約需飼料7—8kg）所指的是在一定的范圍內的數，是未知數.有兩個未知量.

師：有幾個等量關系？怎樣確定建立等量關系？

生：有兩個等量關系.用原來和現在1天約需用飼料數建立等量關系，即：原有母牛1天約需用飼料+原有小牛1天約需飼料=675；現有母牛1天約需用飼料+現有小牛1天約需飼料=940.

師：現在應該知道怎樣列二元一次方程組了嗎？題目中的未知數是什么？有幾個？

眾生：設每頭大牛一天約用xkg飼料；每頭小牛一天約用ykg飼料.

師：請同學們獨立解這個方程組（并請一學生板書解方程的過程）.

答：每只母牛和每只小牛1天各需用飼料20kg和5kg.

師：對于以上問題，還能列出不同的方程組嗎？結果是否一致？

學生活動：學生思考，有學生想到用一元一次方程，但思考起來比較麻煩.（過程略）

師：飼養員李大叔的估計正確嗎？

生：對比方程組的解和估計，得出結論：飼養員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高.

師：通過上面的學習，回顧用一元一次方程解決實際問題的方法，用二元一次方程組解決實際問題有哪些步驟？

師生共同回顧探究1的過程，歸納得出結論.教師用多媒體演示列方程組解實際問題的一般步驟（如圖2）.

圖2

評析：探究1是實際生活中“估算與精確計算的比較”的實際問題，學生要理解需要計算來檢驗“估計值”，進而明確要求的未知數，通過設元轉化成有關方程組的數學問題.在這一環節的教學過程中，教師引導學生經歷由明確已知數和未知數，找等量關系，建立方程（組），解方程（組），然后檢驗估算得出結論.這是一典型的數學建模過程，是數學應用意識的具體體現.這一建模過程其實在實際問題與一元一次方程中也體驗過.在解決多個未知量的實際問題中，列方程組是一種最有效的數學工具，通常設多個未知數，就得列多個方程.教師讓學生對比方法，體會到方程組解題的優化性，是數學手段的又一大進步.它對解決實際問題具有很強的示范作用，學生在這一活動中體會到數學解題模型思想的形成過程，增強了數學思想的應用意識.

探究2：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是1∶2，現要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4（結果取整數）？

問題3：結合圖2，以及探究1的解決過程，如何解決探究2中的問題？

師：探究2的問題情境要求我們做什么？結果達到什么？

生感到困感，沉默.

師：題目中的兩個比值“1∶2”和“3∶4”分別表示什么意思？

生：“1∶2”是已知甲、乙兩種作物的單位面積產量的比，“3∶4”是要達到的結果即甲、乙兩種作物的總產量的比.

師：為了達到這一結果需確定一個種植方案，首先要確定什么？

生：把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物.

師：你的想法很好，這實際上是長方形面積的分割問題.為了解決這個問題，請同學們先做下面的實驗.

（1）把長方形紙片折成面積相等的兩個小長方形，有哪些折法？

（2）把長方形紙片折成面積之比為1∶2的兩個小長方形，又有哪些折法？

學生很快通過折紙得出結果.教師展示學生的折紙成果，用多媒體演示（如圖3—圖6）.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

師：同學們表現得很不錯，能否借助折紙得到的啟示，選擇你認為合適的種植方案，畫出示意圖，幫助自己理解并建立方程組？

學生活動：畫圖分析題意，把文字語言轉化為圖形語言，得到種植方案.

師：誰來說一下你畫出的種植方案圖？

生：我由圖5得到啟示，矩形的寬不變，將長分成兩部分，即甲、乙兩種農作物的種植區域分別是長方形AEFD和BCFE（如圖7）.

師：怎樣設未知數？生：設AE=xm，BE=ym.

師：作物產量的比與種植面積的比有什么關系？

學生經思考分析，發現甲、乙兩種作物的總產量的比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比.

師：誰來說說怎樣列方程組.

生：根據長方形土地長為200，可得x+y=AE+EB= 200.由甲、乙兩種作物的總產量的比是3∶4，可得：甲種作物總產量∶乙種作物總產量=3∶4.可建立方程組：

師：你們能解這個方程組嗎？

學生獨立解題，教師巡視指導，并請一學生代表板書.過程略.

師：如何表述上面的種植方案？

生1：如圖7，在長方形的長DC上離D點120米處取一點F，過點F作DC的垂線，將矩形分成兩部分，較大的部分種甲種作物，較小的部分種乙種作物.

生2（補充）：過點F作AB的垂線.

生3：在長方形的長DC上離D點120米處取一點F，過該點F作BC（或AD）的平行線，將矩形分成兩部分.

師：很好，你們想的真全面，請同學們議一議，還有其他的設計方案嗎？

學生討論，情緒很高，學習達到高潮.

生：如圖6所示，在長方形的寬上取一點，過這點作長邊的平行線（或作短邊的垂線），將這塊長方形分成兩塊長方形，較大的一塊種植甲種作物，較小的一塊種乙種作物.

評析：探究2中的數量關系比較復雜，像農作物總產量之比，單位面積產量之比，面積比，長度比之間的轉化是列方程組的關鍵.在解決探究2的過程中，教師首先讓學生感知到要解決此問題，需要將長方形分割成兩個小長方形，然后通過動手操作（折紙）感知分法，為題目的多種種植方案埋下伏筆.利用畫圖分析，把文字語言轉化為圖形語言，使問題的解決具有直觀性.在解決問題后讓學生說出不同的種植方案，體現了學數學、做數學、用數學這一國際數學教育領域內公認的一項基本理念，蘊含著一個核心思想——對小學生、中學生來說，“學”和“做”的目的全在于“用”，而“做”和“用”又是為能夠更深刻地理解“學”的內容，突出應用意識在“生活數學、研究數學和訓練數學”方面的應有體現，使這些學習內容“轉換成”過程性的探索活動，從而切實提高“學”的質量.

三、回顧探究過程，發展應用意識

問題4：回顧探究2的解題過程，比較列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的過程，有哪些相同點和不同點？

學生根據板書過程回顧探究2的解題過程，同學間互相交流，對照圖2，得出列方程組解實際問題的步驟（略）并通過回憶比較得出列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點.

師：上述兩個問題能用一元一次方程來解嗎？

學生中有的說能，也有的說不能.

教師以探究2為例進行分析.

設AE=xm，BE=（200-x）m，可得100x∶［2×100（200-x）］=3∶4.

師：能列二元一次方程組解決的實際問題，一般都可以通過列一元一次方程加以解決，只是隨著實際問題中未知量的增多和數量關系的復雜化，列方程組將更加簡單直接，因為問題中有幾個等量關系就可以列出幾個方程.

師：列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點是什么？

生：相同點是都需要先分析題意，把實際問題轉化為數學問題（設未知數，列方程（組），解方程（組）），再檢驗解的合理性，進而得到實際問題的解.不同點是設未知數的個數不同，進而列出的方程不同.

師追問：現在同學們應該會解決課的開始時提出的問題了吧？

學生獨立解題，教師請一學生板書解題過程.

解：設悟空在靜風中行走的速度為x里/分，風速為y里/分，得：

答：風速為50里/分才稱雄.

師：看來同學們學習得不錯，請同學們先思考，課后互相討論解決下面的問題.

（1）今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之.（選自《九章算術》）

（2）今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？（選自《孫子算經》）

評析：通過回顧總結，幫助學生梳理列方程（組）解決實際問題的一般步驟，讓學生討論歸納“列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點是什么”，進一步增強列方程（組）解實際問題的應用意識，對今后學習用方程解決實際問題起到“示范”的作用.最后，教師追問“現在同學們應該會解決課的開始時提出的問題了吧”，及課后思考從解決實際問題的需要來出發，以實際問題為出發點和歸宿，再次讓學生經歷生活數學，感受到數學來源于生活現實，服務于現實生活，培養了學生應用所學知識解決實際問題的意識和能力.課后思考是兩道我國古代數學名題，分別選自《九章算術》和《孫子算經》，學生通過課后思考、討論，在解題時欣賞到愽大精深的數學文化，認識數學與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性，體會數學學科的精神實質，已成為人類文明的象征，是人類智慧的標志，傳承了中華民族悠悠五千年數學文化史，可謂兩全齊美、相得益彰.

結束語：數學課堂上讓數學貼近生活，通過現實問題數學化，從數學角度看世界，利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象問題，將這些問題抽象成數學問題，用數學的方法予以解決，發展學生的應用意識.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.蔡上鶴.十個核心詞，一條課改線［J］.中學數學教學參考（中），2012（7）.Z

*本文屬于2012年貴州省基礎教育科學研究教育教學實驗課題——“中學數學課堂教學案例研究”（課題編號：2012B078）的研究成果之一.