點燃學生“再思考的火種”

張杰

教科書里的數學知識，有著準確的定義、邏輯的演繹、嚴密的推理，被顯性地印在紙上，看起來直觀明了，卻也因此掩蓋了數學發現、創造的真實過程，忽略了數學家繁復曲折的數學思考。因此，數學教師的責任在于返璞歸真，在符合教育心理規律的前提下揭示數學本質，還數學本來面目。正因為有這樣的認識，在吳正憲老師的數學課堂上，我們總能看到吳老師借助一個個的問題，來激起學生內心深處學習、求知、探索的欲望。正是有了這樣的激發，這樣的體驗，學生探求數學知識本源的愿望呼之欲出。吳老師曾經說過，教師“不僅要讓學生知道數學結論，更要帶著學生溯本求源去尋根。讓學生看到知識背后的知識，還有知識背后的思考”。下面就讓我們一起走進吳老師的追本溯源的尋根課堂吧。

一、在體驗中“追本”

在課堂教學中，有教師常常習慣性地將成人的觀念，披上所謂“知識”的外衣，用標準化答案的方式灌輸給學生，剝奪了學生體驗與感悟的過程。如有教師在教學“面積單位”一課時偏重于面積的計算和單位的換算，一味強調1平方厘米、1平方分米和1平方米各有多大。此舉看似重視了學生空間觀念的建立，殊不知卻忽視了量的實際意義。試想沒有觸及學生心靈深處的“知識”，如何能夠尋到數學的“根”呢？

同樣是“面積單位”一課，在吳老師的課堂上卻無時無刻不在開展以學生體驗為基礎的教學活動，吳老師注重結合實例讓學生用自選的單位去測量面積，在不斷的矛盾沖突中親身體驗統一面積單位的必要性，為此特別設計了這樣一組情節：首先請學生拿出兩張面積大小很接近的長方形和正方形彩紙，想辦法比較出這兩張彩紙誰的面積大？學生接到任務，紛紛投入到了探索活動中。很快，有的學生就發現了用重合、剪拼的方法能夠很快地比較出兩者的大小，并通過自己的實踐找到了問題的答案。

可是，接下來吳老師提出了一個更具挑戰性的問題，可謂吊足了學生的胃口：如果是比較兩塊土地的面積誰大，用剛才的方法還行不行？那你們有什么辦法可以比較出土地的大小？在經過一番思考后，有的學生提出可以借用一個物體作標準，先分別測量出兩塊土地的面積，再進行比較。有了新的想法，于是課堂上便有了學生的第二次操作。每組學生利用學具袋中的學具（若干個長方形、正方形、三角形和圓形的紙片）先分別測量出兩張紙的面積，再將測量的結果進行比較。學生在這次拼擺過程中不僅發現了圓與圓之間有縫隙，不能準確測量出圖形的面積。還發現了因為各小組選擇的測量圖形不同，雖然長方形、正方形、三角形都能準確測量出圖形的面積，并比較出彩紙的大小，但涉及到大多少這個問題時得到的答案卻不一致。

誰大 大多少

通過動手體驗，學生們很快得出了這樣一個結論：需要選擇一個統一的標準，這樣才便于交流。選誰好呢？這似乎又成為了擺在學生面前的一個現實問題。不過在這里吳老師并沒有刻意為難學生，而是直接告訴大家在人類歷史上最終選擇的是用正方形作為測量面積的標準，并請同學們思考其中的原因。此時，學生的頭腦中會再次呈現剛才的拼擺過程，在回憶中仿佛又進行了一次操作。“三角形拼擺起來太麻煩了，老對不上。”“長方形因為相鄰兩條邊的長度不同，拼擺起來也比較麻煩。”“對，正方形4條邊長度相等，特別好拼擺。”……在同學間的相互啟迪、交流中，學生發現無論是三角形還是長方形最終都可以轉化成正方形，因此，人們選擇正方形作為一個統一的標準還是有道理的。

此時看來問題好像解決了，可接下來的一個游戲卻使學生剛剛建立起來的認知平衡，又一次被無情的事實擊垮了。游戲的內容是這樣的：首先請男生閉眼，女生觀察并用語言描述自己所看到的A紙的面積相當于幾個小正方形的面積？然后交換角色，男生觀察并用語言描述自己看到的B紙的面積又相當于幾個小正方形的面積？如圖：

A B

然后大家都睜開眼，猜一猜哪張彩紙面積大？因為A紙的面積相當于4個小正方形的面積，而B紙的面積相當于16個小正方形的面積，學生想當然地認為B紙面積比A紙面積大。可將兩張紙重合比較的結果卻是兩張紙的面積一樣大。是什么影響了測量的準確性？疑問使學生又一次產生了探索的欲望，他們爭相陳述著自己的見解，當謎底揭開的那一刻，學生都笑了。笑聲中不僅有猜想得到驗證后的欣喜，更提醒著他們今后在選擇正方形作測量標準的同時還要注意統一它的大小。

那多大合適呢？問題似乎一個接著一個，可以說整堂課自始至終學生都是在操作中體驗，在體驗中質疑、思考，在體驗中發現、創造，在體驗中抽象、提升。

下課的鈴聲響了，盡管學生沒能有更多的時間在課堂上做一些有關面積單位的鞏固練習題，但他們卻在充足的時間內用自己的頭腦和雙手進行了一次次的實驗和探索，親身經歷了數學知識的形成過程，對這堂課的“知識”顯然理解得更加透徹，感悟到的也更多了。這難道不比多做幾道練習題更有價值嗎？

二、在歷史中“溯源”

有句話叫作“不懂歷史的人沒有根”。數學的學習也是一樣。追本溯源的數學課堂更應該有意識地引導學生去了解數學之源。以“圓的周長計算”一課為例，當學生通過觀察、操作、思考，發現了“圓的周長總是它直徑的3倍多一些”這個規律時，通常教師的做法是先肯定學生發現的規律，然后反問：“到底是3倍多多少呢？”由此引出圓周率π。“圓周率是怎樣發現的？”由此引導學生翻看課本小資料，講述祖沖之的故事并對學生進行德育教育：早在1500年前，祖沖之把圓周率算到了3.1415926和3.1415927之間，比外國人早了整整一千年，這是中華民族對世界數學發展的一個巨大貢獻，今天，同學們自己動手也發現了這一規律，老師相信同學們當中將來也會有人成為像祖沖之一樣偉大的科學家。根據需要，在計算中我們一般保留π的兩位小數。

吳老師在教學這一內容時，并沒有馬上對學生發現的規律予以肯定，而是又提出了新的問題：“用實驗的方法得到的數據，受誤差的影響會不夠精確，那怎么辦？到底圓的周長與直徑之間存在的這個3倍多一些的關系是變化的還是確定不變的？如果是確定不變的又該怎樣得到呢？“這一問題顯然難倒了學生。因為事實上這個令人頭疼的問題同樣曾經困擾了人類數千年！endprint

此時，學生們絞盡腦汁，而吳老師正是利用了學生的這一思維節點，對圓周率的歷史進行了介紹：在古代巴比倫、印度、埃及、中國，由于生產生活的需要，人們用實驗測量的方法就已經知道，圓的周長與直徑之比大約為3。公元前2世紀，中國的《周髀算經》里也出現了“周三徑一”的記載。東漢時期官方還明文規定計算圓大小的標準是取周長與直徑的比值3，后人稱之為“古率”。用這個古率估計圓的面積時，沒有太大影響，但以此來制造精細的圓形器皿就不太合適了。為求得圓的周長與直徑更精確的比值，人類走過了一條漫長而曲折的道路！

此時，吳老師特別介紹了割圓術，并借助電腦進行了演示。

通過電腦的演示，學生很直觀地就能發現正多邊形的邊數越多越接近圓。

吳老師又提問：此時這個正多邊形的周長仍然只是圓的周長的近似值！但卻是可以控制的了，可以用計算的方法來代替操作測量的方法了，而且這種方法所能達到的精確程度是操作測量永遠無法達到的！我國魏晉時期的數學家劉徽正是用這樣一種全新的割圓的思想來研究圓的周長與直徑的比值的！這就是著名的——割圓術！后來，我國另一位偉大的數學家祖沖之，繼承并發揚了劉徽的思想，他將這個比值精確到3.1415926與3.1415927之間，這是人類歷史上第一次將這個比值算得如此精確，并且這個紀錄保持了將近一千年而無人超越！再后來，歷經中外許多數學家嘔心瀝血、堅苦卓絕的演算、證明，人們終于認識到：圓的周長（C）與直徑（d）的比值，是一個固定不變的數，是一個無限不循環的小數，稱之為圓周率，用希臘字母π來表示。當然，人類對圓周率的探索從未停止過，計算機的誕生結束了人類手工計算π的歷史，目前最新的世界紀錄是：日本科學家利用超級計算機已經將圓周率算到了小數點后上萬億位！

這樣一節數學課，除了有數學知識的教學外，還洋溢著濃濃的人文氣息。在揭示圓周率時，吳老師沒有例行公事一樣地推出學生早已熟悉的祖沖之，進行老生常談的愛民族、愛祖國的教育，而是介紹了劉徽的“割圓術” 。接著談到祖沖之是站在前人的肩膀上才有了將π值精確到小數點后7位的輝煌成就。在此過程中，學生親歷正多邊形逼近圓的過程，體會割圓術中所閃爍的化曲為直、極限等豐富的數學思想內涵，同時經歷了圓周率的研究史。吳老師還在看似簡單的敘述中滲透了數學文化和數學思想方法，使學生體會到人類對真理和完美的追求正像圓周率的小數位數無窮無盡一樣，也是永無止境的。使得學生的心靈徜徉在數學的歷史長河里，切身感受著數學的文化價值。

吳老師的課堂向我們展示了數學極富魅力的一面。呈現在學生面前的不再是以往數學課上乏味單一的定理、公式、計算和題海，而是數學的思想、精神和方法。在吳老師的課堂上，我們可以隨時隨地觸覺到數學的源頭、數學的精神乃至數學的力量，似乎呈現在我們眼前的不再是一兩頁薄薄的教材，而是一幅源遠流長的數學畫卷。吳老師讓更多的學生感受到數學雖然從表面上看是枯燥無味的，然而它卻有著一種更為隱蔽的、深邃的美，一種感性與理性交融的美，一種彰顯人文精神的科學美。

（北京市東城區教育研修學院 100000）endprint