“組合圖形的面積”任務設計與教學

吳興元

“組合圖形的面積”是小學數學“圖形與幾何”領域的教學內容，人教版教材把這一內容編排在五年級上冊第六單元《多邊形的面積》中。該單元的第一部分是平行四邊形、三角形和梯形的面積計算，第二部分就是組合圖形的認識及面積計算。前者是后者的學習基礎，后者是前者的靈活應用。兩者都滲透了圖形的轉化方法。本課的學習任務主要圍繞組合圖形的認識及其面積計算進行設計和教學。

一、任務說明

（一）任務及目標

1.任務內容

2.任務目標

（1）結合觀察、操作活動，認識組合圖形，并能把它分成若干個基本圖形。

（2）經歷選擇數據計算和交流分享的過程，掌握組合圖形面積計算的一般方法。

（3）在解決問題的過程中，感受圖形之間的轉化及其聯系，發展空間觀念。

（二）設計說明

關于組合圖形的面積計算，教材的學習任務設計如下：

該學習任務以解決生活問題“墻面面積”為素材，結合圖示，讓學生學習計算組合圖形的面積。雖然該任務非常清晰，目的也很明確，但是從以往的教學實踐看，教學效果不理想。從對學生的教學后測及數據分析中可以看得更清楚。

教學后測題：請測量并計算下面這一圖形的面積。

參加測試的五年級學生共49人，是學生在學習了組合圖形的面積計算之后的兩個月進行的測試。

其中正確人數是26人，占全班人數的53.06%，錯誤人數23人，占46.94%。具體錯誤分類見下表：

錯誤原因 不會

解決 計算

錯誤 測量

錯誤 畫錯

平行線或高

人數（人） 8 6 3 6

占實測人數百分比 16.33% 12.24% 6.12% 12.24%

占錯誤人數百分比 34.78% 26.09% 13.04% 26.09%

參加后測的六年級學生共52人，是學生學習了組合圖形的面積計算之后的一年兩個月進行的測試。結果正確人數是32人，占全班人數的61.54%，錯誤人數20人，占38.46%。具體錯誤分類見下表：

錯誤原因 不會

解決 計算

錯誤 測量

錯誤 畫錯平行線或高

人數（人） 9 4 3 4

占實測人數百分比 17.31% 7.69% 5.77% 7.69%

占錯誤人數百分比 45.00% 20.00% 15.00% 20.00%

出現上述正確率不高的情況，我們認為和新課教學的學習任務密切相關。主要原因有三點：一是教材已經把例題中的組合圖形作了分割，學生一眼就看出其由正方形和三角形組成，無法讓學生經歷組合圖形轉化為基本圖形的學習過程；二是例題中給出的圖形結構簡單，計算其面積的方法單一，基本沒有留給學生選擇的余地，開放度不夠；三是例題給出的關鍵數據太明顯，而尋找隱藏的數據信息是本課教學的難點，在教材的該項學習任務中無法實現有效突破難點。除此之外，我們還需要加強對學生在測量和畫平行線與高方面的指導。

新設計的學習任務，正好和教材給定的任務相反，其挑戰性在于三個方面。

1.學習任務提供的是“原材料”圖形，未作一點人為加工

當學生看到這個圖形時，他們會發現運用原來的基本圖形面積的計算公式，無法直接求得它的面積。那該怎么辦呢？挑戰性的學習任務讓學生“跳一跳才能摘到桃子”，可以讓學生集中注意力，促使他們主動思考。教學實踐證明，根據學生的已有經驗，經過獨立思考，他們是能想到把組合圖形轉化為基本圖形的。這個過程，其實也就是學生區別組合圖形和基本圖形、認識組合圖形的學習過程。

2.學習任務提供的是“開放性”圖形，計算方法多樣化

有別于教材給定的墻面圖，該圖形轉化為基本圖形的方式很多。它可以轉化為長方形+三角形、梯形+三角形、梯形+三角形和三個三角形，還可以從外部結構看，轉化為梯形-三角形、長方形-梯形。同樣給解決問題的方法也帶來了多樣化，學生可以選擇一種方法解決問題，也可以選擇多種方法進行嘗試，給不同水平的學生提供了不同的發展空間。

3.學習任務提供的是“選擇性”數據，關鍵數據要思考獲得

如果學生將圖形分為三角形+梯形（如圖①），那么三角形的高在哪里，有多長？這是解決問題的關鍵。教學實踐表明，在其他轉化圖形的過程中，找不到隱藏的數據往往是學生的主要困難。

總的來講，新的學習任務，無論從認知水平和思維難度上，都有了明顯的提高。這既符合“教學要創造最近發展區”的理論，也符合挑戰性學習任務“不能立即解決，需要想一想，做一做”和“解決方式具有個性化和差異性”這兩個基本特征。

二、任務教學

這一學習任務可以按以下教學程序展開。

首先，呈現圖形，請學生觀察、思考：能像長方形、三角形一樣直接計算它的面積嗎？然后追問：為什么？讓學生明白這不是一個基本圖形。繼續追問：要知道它的面積，可以怎么辦？引導學生進行圖形轉化。一般情況下，學生會側重于從內部進行分割，除了上述圖①之外，還會出現以下情況（如圖②～⑤）。

教師再適當啟發：除了從圖形內部思考之外，再從外部想想，還可以怎么辦呢？引導學生從另一角度思考（如圖⑥～⑦）。

接著，觀察上述轉化后的圖形，共同選擇一個，比如三角形+梯形。學生獨立計算面積。教師要關注學生中存在的典型錯誤和主要問題，搜集學生作品組織反饋。可以分兩步走：第一步，請學生說說計算過程，講清楚每一個算式在計算什么？第二步，關注學生在尋找隱藏的數據時是如何思考的？強調根據各種圖形的邊的特征，通過計算得到需要的關鍵數據。

最后，請學生從其他分法中任意選擇一種，計算圖形面積。先同桌交流，再組織集體分享。重點交流三件事：第一，分析外補圖形的轉化方法，突出最后要用大圖形的面積減去小圖形的面積，得到組合圖形的面積；第二，分析圖④，這種分法和圖①相比比較麻煩，在方法選擇上，要優化；第三，分析圖⑤，由于不知道梯形的上底，也不知道三角形的另一條邊（或高），根據給定的數據，這種方法不能解決問題，看來轉化時還要分析可行性。

從教材的學習任務到新設計的挑戰性學習任務，我們更多地期望：數學教學的學習任務設計，在達成基本知識和基本技能的基礎上，還要關注學生基本數學活動經驗的積累和基本數學思想方法的滲透。“組合圖形的面積”任務設計與教學，就是站在這樣的立場思考完成的。

（浙江省海寧市教師進修學校 314400）endprint