這么多學生做錯，還能怪學生嗎？

包靜娟+++嚴育洪

【“望”：病例觀察】

五年級數學調測中有這樣一題：“小紅買了一本童話書，每2頁文字之間有3頁插圖。如果這本書有158頁，而第一頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？”教師在批改試卷時發現，全年級有67%的學生是這樣解答的：

158÷5=31（組）……3（頁）

31×3+2=95（頁）

而此題的正確算式是“158÷4=39（組）……2（頁）39×3+1=118（頁）”。在批改中，許多教師唉聲嘆氣：“真不動腦筋！”其實，這類錯誤在往屆學生中也屢屢發生。為什么會有這么多學生出現上述錯誤呢？這種錯誤是否體現了學生對某些數學概念在心智模式的建構方面存在著缺漏？錯誤的產生是不是隱含著某些共性的原因呢？這么多學生做錯，這能怪學生嗎？

【“問”：病歷記錄】

教學實踐告訴我們，學生產生錯誤的原因是多方面的，但往往是由于小學生在數學知識的表征、數學模式的識別以及數學學習的自我監控等理解過程中主客觀不一致的矛盾導致的。就本題而言，經過對學生的訪談，我們發現學生產生錯誤的原因大致有以下幾個方面。

一是概念理解的模糊

學生在解答本題時紛紛除以“5”，產生錯誤的主要原因在于學生弄不清本題周期現象中的“組數”與周期“內部構造的序列”。回顧以往的教學，蘇教版五年級上冊“找規律”一課，教材主題圖（如右圖）采用了兩個一組的節日盆花的情境。由于兩個一組的周期規律內部構造比較簡單，學生輕而易舉就得到了結果，注意心向根本不會聚焦到周期規律的“組”與“序”這兩個關鍵要素上來。雖然接下來教材由易到難，拓展到研究三個一組、四個一組的周期現象，但是學生對概念本質的感悟體驗始終浮于表面，不夠深刻。由于問題表征受個體數學知識背景的影響比較大，因此，一遇到稍有變化的問題，學生自然招架不住了。

二是思維定勢的局限

學生在以往四年多的學習經歷中得出的經驗，解題就是根據題目中已有的數字進行加減乘除。《找規律》單元教材中所涉及的練習題，也是波瀾不驚，對于參與計算的被除數和除數，要么以直觀圖直接呈現，要么在文字信息中直接告知。缺乏挑戰性的機械化的單一訓練封閉了學生思維的空間，最終導致“熟能生笨”的結果。本題脫離了直觀的素材圖，在解答過程中，學生一看到“每2頁文字之間有3頁插圖”這一信息，習慣性地把“2”和“3”相加作為周期數進行錯誤表征，缺乏透過數字表面去深究其背后真實含意的意識。

三是策略教學的割裂

數學問題解決的成功與否，與學生的解題策略有很大的關系。在平時教學中，重結果而不重過程，重結論而不重方法的現象依然存在。教師習慣于讓學生追求“是什么的知識”，對于“為什么”和“怎么辦”的知識比較忽略。筆者在與學生的訪談中得知，許多學生一拿到題，完全沒有考慮使用策略，或者采用了相對無效的策略，正是這樣漫不經心、不假思索的想當然導致了錯誤的發生。雖然這道題目屬于《找規律》單元知識，但與《解決問題的策略》單元知識脫不了關系，而教師的畫地為牢、就事論事的教學方式使學生不太注意或不太在意不同領域或不同板塊知識之間的聯系和聯合，例如對這道題目，學生就沒能夠想到之前學過的“畫圖”這種解決問題的策略，把文述轉變成圖解，尋找到支撐來事先進行求解或事后進行檢驗。

【“切”：病理診治】

從全年級有67%的學生發生相同的錯誤，反映了小學生在數學知識的表征、數學模式的識別以及數學學習的自我監控等理解過程中出錯機制的共性規律，教師應該引起足夠的重視，從而全盤考慮應對措施，積極改進教學方式，幫助學生防錯糾錯。為此，我們提出如下教學建議。

一是概念教學凸顯核心

教師要認真解讀教材，新課教學要讓學生經歷概念發生發展的過程，對于學生中的典型錯例，要建立錯題檔案，并結合教學進度進行前期控制，讓學生認識概念的不同特征和不同側面，根據具體問題改變認識角度，突出本質并進行重點的學習。

周期規律這一單元的教學一般分為兩課時進行。第一課時主要根據余數對周期規律第幾個作出判斷；第二課時研究各類圖形的總個數。要研究周期現象中的規律，關鍵是要實現算法化，即把要研究的總個數、周期的“組數”、“內部構造序”這部分要素與除法算式中的被除數、除數、商和余數一一對應，建立意義上的實質性聯系。為縮小情境與本質之間的縫隙，新授課探微環節，不妨直接從幾何圖形入手，先選擇具有代表性的三個一組的周期現象入手，讓這類現象的材料并聯呈現，在同與不同的體驗中充分感知“所求的個數不同，為什么都除以3？”“總個數相同，除數也相同，為什么最后一個圖形卻不同？”……讓學生在現象與算法間來回穿梭，凝練概括出周期現象的核心要素“組”與“序”。在此基礎上類比遷移到研究其他周期現象。探究規律時，圍繞“第幾組的第幾個”這一問題，引導學生精確定位，深入體會，并實踐驗證，把邏輯推理與直觀印證緊密結合，培養學生思維的嚴密性。

二是練習設計加強變式

思維定勢的消極影響具有持久性，很難在新授課后完全消除，要想真正克服其消極影響，需要持續的強刺激。教師可根據學生思維和認知發展的變化，即時地、有目的地、有側重點地設置動態變化的外部情境，通過追溯概念的內在知識脈絡的方法，讓學生連貫性地反思自己理解上的特征與不足，不斷推動理解向縱深發展。

在此，教學中不妨設計“打祖瑪游戲珠子”的環節：第一層次，珠子以2顆紅珠3顆綠珠順序呈現（如圖1）；第二層次，打掉開頭的2顆紅珠后，剩下的珠子以3顆綠珠2顆紅珠順序呈現（如圖2）；第三層次，以打出一顆綠珠，卡在兩顆紅珠中間呈現（如圖3）。

圖1 圖2 圖3

雖然游戲分三個層次展開，但是在每一個層次的研究上都提出同一個問題：“第25顆是什么顏色的珠子？”學生在變與不變中，深刻理解周期規律不僅和每組的個數有關，而且和內部構造的序有關。第三層次的問題，讓學生的解答具有了開放性：①（如圖4）25-6=19（顆），19÷5=3（組）……4（顆）；②（如圖5）25-5=20（顆），20÷5=4（組）；③（如圖6）25-1=24（顆），24÷5=4（組）……4（顆）。條條大路通羅馬，構造不同的周期，得出結論一致。

圖4 圖5 圖6

教學實踐表明，對那些容易受思維定勢干擾的題目進行多角度的變式組合，并將其中定勢源題目組合在一起，指導學生進行針對性、比較性練習，就能夠實現既促進正向遷移，開闊解題思路，防止思維呆板，又排除負向干擾的目的。

三是思考問題注重序列

在主體面對問題時，一般總是通過觀察弄清問題，抓住事物的特征進行廣泛的聯想，檢索信息和回憶已儲存的信息，即憑借已有的知識經驗，作出直覺性的理解和判斷，來選擇總體思路或切入的方向。這時，解決問題的策略對信息的正確表征將起到十分重要的作用。

如在這道“找規律”題目的解答中，要凸現“找”這一策略，而要能夠正確找出隱藏其中的排列規律，很多時候離不開“畫一畫”和“圈一圈”等解決問題的策略，而不是看到幾個數字就只想到“算一算”這條解答問題的捷徑。要使學生做到策略意識的自動勾連，就需要教師在平時“找規律”的教學中，放慢“找”的步伐，突出“找”的策略，讓找規律思考程序的三部曲能夠在學生頭腦中格式化——

“一畫”，如：文圖圖圖文圖圖圖文……

“二圈”，如：……

“三算”，用除法確定它是第幾組第幾個，最后算出插圖的總頁數是118頁。

有圖有真相。上述“一畫、二圈、三算”思考程序，使問題變隱性為顯性，十分有利于學生明白事情的“真相”，洞察事物的正確構造，從而避免出錯，同時還可以彌補學習中的知識漏洞，培養了運用多種知識“聯合作戰”的能力。經常進行這樣程序性知識的培養訓練，學生能夠形成有效的智慧技能，進入自主學習的狀態，能獨立按照一定的程序，有效地進行學習和解決問題。葉瀾主持的新基礎教育實驗研究非常注重讓學生形成學習活動程序，尤其是課堂學習活動程序。學生一旦掌握了課堂學習活動的程序，便能主動地投入課堂學習活動之中，教和學的融合很大程度上在這一過程中得以實現。

總之，上述這道試題的出錯，不能都怪學生，我們首先要問一問學生，從學生身上找原因，然后也要問一問教師，從教師身上找原因，只有教師的優教才能實現學生的優學。

（江蘇省江陰市城西小學 214400

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint