根據數學問題特征 多向深化解題反思

◎福建省大田縣第六中學 鄭為勤

根據數學問題特征 多向深化解題反思

◎福建省大田縣第六中學 鄭為勤

在數學教學中，深化解題后的反思，需要抓住問題的差異性，反思審題要點；抓住問題的多解性，反思策略生成；抓住問題的共性，反思通性通法；抓住問題的多變性，反思內涵外延；抓住問題的拓展性，反思規律模型構建，從而引導學生不斷地積累解題經驗，深刻理解數學解題思維的全過程．

解題；引導；反思；經驗

眾所周知，解題前的探索，解題后的反思，是解題教學中培養和提高能力的兩個不可缺少的環節.解題反思雖然不是一個新鮮的話題，但在筆者的教學觀察中，解題后的反思在師生心目中的地位遠不如解題前的探索重要，往往淺嘗輒止，未能深入進行反思.造成這種現象的原因是多方面的.從教師方面看，教師雖然認識到培養學生反思意識的重要性，但教學時間有限，教學任務繁重，留給學生解題后反思的時間和空間很少.從學生方面看，學生受學習習慣、學習態度的影響，只追求“速度”和“數量”，只為完成作業而解題，不重視“質”的提升.筆者結合實際案例，談談如何引導學生在解題后進行深入反思，從而不斷積累解題經驗.

一、抓住問題的差異性，反思審題要點

數學試題是命題者精心打磨的，每一個字或條件都深含命題者的用意.在考試時，學生往往會遇到似曾相識的題目，以定勢思維論處，結果“會而不對”.究其原因——粗心大意，沒認真審題.因此在教學時，引導學生抓住題目“相似”中“不相似”的部分進行反思，用圈點、劃線強化審題，審出“不同”和“要點”，為解題掃除障礙，培養學生思維靈活性、嚴謹性.

案例1：若拋物線y=mx2-6x+3與x軸兩個不同的交點，求m的取值范圍.

教學中，筆者展示某位學生的解答后，把學生分兩派，對答案“m＜3”和“m＜3且m≠0”展開辯論.在交流中有同學認為這個解答是正確的，理由是“當b2-4ac＞0時，拋物線與x軸兩個不同的交點.”而認為這個解答錯誤的同學理由是“我發現當m=0時，拋物線變成y=-6x+3是一次函數，它與x軸的交點只有一個不符合題意.”“必須把m=0除外，函數y=mx2-6x+3才是二次函數.”“當二次函數二次項系數為字母時，要兼顧二次項系數不為0.”“m≠0是這個題目的隱含條件.本題正確答案應是m＜3且m≠0.”

學生們的發言非常精彩，把以上幾位同學的發言總結起來就是對這道題的辨析.在激辯中，學生逐漸從模糊變得清晰，從“糾錯”上升到“究錯”，m的取值范圍由m所處的位置而定.老師此時不需要多說什么了，只要提供以下題組，留給學生去思考就可以了.

題組：（1）二次函數3x2-6x+m=0與x軸有兩個不同的交點，求m的取值范圍；

（2）二次函數mx2-6x+3=0與x軸只有一個交點，求m的取值范圍；

（3）二次函數mx2-6x+3=0與x軸沒有交點，求m的取值范圍；

（4）若函數mx2-6x+3=0與x軸有交點，求m的取值范圍.

解題過程中，學生常常受思維定勢影響，墨守成規，不能洞察題目條件的“微變化”，不能及時調整解題方法，釀成“會而不對”的后果.因此當學生解題碰上其中的某一小題時，教師在解題后適當變式呈現題組，抓住問題的差異引導學生反思，對提高學生的辨別能力是有非常有效的，能很好促進學生構建知識網絡.

二、抓住問題的多解性，反思策略生成

問題的多解性指的是一個問題的幾種不同答案，或是用不同的思路、方法、知識解決相同的問題.在學生解題后，老師應提醒他們不能就此罷休，而是進一步反思，探索能不能一題多解？在所有解法中，哪一種解法是最好、最簡捷的？為什么？這樣的反思，可以讓學生對問題有更深層次的理解，開闊了視野，為靈活解題提供了保證.

案例2：在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（1，2），點P的坐標為P（0，y），當OP=PA時，求y的值.

在有限的時間里，更多的學生只想了一種方法.而通過學生展示，教師點評，收獲了解題的思路和方法.教師引導學生及時整理以下兩種方法：

法一：（數的角度）根據已知OP=AP=y，通過Rt△AMP勾股定理列方程，解得y的值.

法二：（形的角度）由兩角對應相等證△ONP～△OMA，得比例式代入解得線段OP的長，進一步得y的值.

通過解題后反思，學生學會從“數”的角度、“形”的角度去思考，開拓思路.比較這兩種方法的同時，明確它們適用的范圍.從而建構、形成自己的解題風格.在試題講評中，學生呈現許多解法中，有非常考驗毅力的“通法”，也有奇思妙想的“妙法”，它們都是數學思維的大餐，此時一定要引導學生反思同一問題不同解法的區別和聯系，歸納總結不同方法適用的題目特征.通過多解性的反思，達到提高分析能力、靈活解題的目的.

圖（1）

三、抓住問題的共性，反思通性通法

在解題教學中，題目背景不一樣，解題方法卻大同小異，這也是我們常說的多題一解.近幾年中考常出現通過圖形變換，某些結論保持不變，而解題的思路和方法類似，甚至完全相同的幾何綜合題.在解此類題目后，引導學生抓住問題的共性，便能快速而精準地找到對應題型的解法，從而達到解一題通一類.

案例3：如圖（2），梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E為BC上一點，且AE⊥ED.若BC=12，DC=7，BE：EC= 1：2，求AB的長.

筆者在學生解題后以“追問”的形式引導學生展開反思.“回顧解題過程，未能求線段AB的長的同學是哪一步推理沒有想到？”“你們認為本題的解題關鍵是什么？”“我們是怎么證明三角形相似的？”“當這一組三個相等的角不是直角，而是銳角（如圖（3））、鈍角（如圖（4））時，三角形是否還會相似？”“你能從中發現這一特殊問題特征的解題規律嗎？”

圖（2）

圖（3）

圖（4）

這三個圖形改變的是角度的大小，不變的“三個角相等”.解題后，引導學生反思題目的共性——“一線三等角”，反思共性問題的解題通法，反思共性問題常與其他知識相結合的所有可能性.在解題時，只要識別出基本圖形（共性），題目便可輕松獲解.

四、抓住問題的多變性，反思內涵外延

在解題教學中，教師經常對試題進行變式訓練，如改變圖形、弱化條件、條件與結論互換等等.解題后，引導學生抓住問題的多變性，多角度、多方位揭示數學核心知識的內涵外延，可以調動學生解題的興趣和積極性，讓不同層次的學生得到不同的發展，讓學生體驗和感受知識間的關系，實現知識的融會貫通.

案例4：如圖（5），已知AB∥CD，求證：∠BPC=∠PBA+∠PCD.

圖（5）

圖（6）

圖（7）

圖（8）

通過適當添加輔助線，過點P作AB的平行線，或延長BP交CD于E，或連結BC等，可以得∠BPC=∠PBA+∠PCD.然而如果此題只停留在會證，便偃旗息鼓、鳴金收兵，就“登堂”而未“入室”，沒有充分發揮此題的功效.如何能抓住本題的圖形、結論可變性引導學生反思，達到“事半功倍”的效果呢？

筆者在學生們解完題目后，要求“如果題中AB∥CD這一條件不變，請嘗試在課堂練習本上畫出不同于圖（5）的點P的位置.并與同伴交流.“學生畫圖并通過交流得到其余三種不同的點P的位置.如圖（6），圖（7），圖（8）.接著，師生開始探究各圖中∠APC與∠PAB、∠PCD的關系.得出結論：圖（5）中∠APC+∠PAB+∠PCD=，圖（6）中∠PAB=∠APC+∠PCD，圖（7）中∠PCD=∠PAB+∠APC.在學生們經歷對圖形變式后解題的過程，請學生對解題思路、方法做總結.他們發現當圖形發生變化時，解題中添加的輔助線、所用的知識點、推理的過程都大同小異，但結論卻發生了變化.

繼續將圖（5）中點P改變為圖（9），圖（10）的情況，探索各圖中∠P1、∠P2、∠P3、∠P4、∠P5與∠A、∠C的關系.此時有的學生甚至能猜測，推廣到一般情形，如圖（11），以直線l為界的右邊的角之和等于左邊角的和.

圖（5）

圖（9）

圖（10）

圖（11）

解答此題后，引導學生反思橫向變化，點P的位置（左右、上下、內外）；縱向變化，點P個數的增減，通過解系列題，發現解題方法的類似，結論微變化.“類比”是中學數學中一種重要的數學方法.由于對合情推理的考查需要，很多中考的證明題、探究題都著力從“方法不變性”與“結論不變性”入手編制.很多題目乍一看圖形不同，條件變化，但解決問題的著手點是一樣的.抓住題目的可變性進行反思，這類問題就成了學生的“老朋友”——熟悉的很，那么順利解題就不在話下了.

五、抓住問題的拓展性，反思模型構建

解題受阻時，計算量、思維量受到前所未有的挑戰，解題也一時陷入“山窮水盡”，百思不得其解.在老師的點評后，學生卻大呼“坑人”，解題出現了“柳暗花明”.解此類題后，引導學生抓住問題的拓展性和延伸性，反思解題思路的破解，揭示此類題目的解題規律，從不同角度構建數學模型.

案例5：如圖（12），點C（2，-3）是拋物線y=x2-2x-3上一點，點D橫坐標取值范圍是-1≤x≤2，試確定當△ACD的面積最大時點D的縱坐標？

圖（12）

圖（13）

圖（14）

點D是動點，△ACD的面積隨著點D橫坐標的變化而變化.這個題目的解題關鍵是找到變量△ACD的面積與變量點D的橫坐標的函數關系式，多數學生采用“割補法”表示△ACD的面積.

法一：圍成矩形減去三個直角三角形面積;

比較三種不同的解法，法三計算量最小，是最簡捷的.但當筆者發現，法三中△ACD的面積通過整理等于·DH·AE，與三角形面積公式完全吻合時，筆者決定引導學生繼續對此題作進一步反思.

通過觀察、猜想、驗證，學生們找到了一種計算三角形面積的新方法，如圖.或如圖學生們為找到這個一般性結論歡欣鼓舞.此題蘊藏的玄機，若不是解題后的反思，就被錯過了.對可伸展性問題的反思，學生的推理能力、鉆研精神得到培養.對于相當一部分學生來說，他們對數學的興趣和探索的潛能將延伸到課外去，從中得到美的享受.

在數學教學中，用心挑選或設計典型的例題、練習，在解題后，引導學生深入反思可以讓學生不斷積累解題經驗，養成優秀的數學思維品質.

（責任編輯：王欽敏）