例談解析幾何試題賞析

◎福建省福州市屏東中學(xué) 徐劭毅

例談解析幾何試題賞析

◎福建省福州市屏東中學(xué) 徐劭毅

俗話說“愛美之心，人皆有之”，可對于數(shù)學(xué)之美，喜之者卻頗為鮮見．?dāng)?shù)學(xué)欣賞之所以困難，固然有數(shù)學(xué)抽象難懂的原因，但缺乏對課本以及試題的深入探究也是不容忽視的因素.本文以解析幾何試題為例，從定義、解法、思想方法、本質(zhì)內(nèi)涵等四個角度，闡述數(shù)學(xué)試題賞析過程．

數(shù)學(xué)思想；賞析試題；美；圓錐曲線

我國現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授提出：“所謂數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡潔性，統(tǒng)一性；結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，對稱性；數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的嚴(yán)謹(jǐn)性，普遍性；還有數(shù)學(xué)中的奇異性等等，都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容.”其實，作為自然科學(xué)的最基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)美并非“陽春白雪，曲高和寡”，我們可以從多個途徑去感受、欣賞數(shù)學(xué)之美.

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何圖形的一門學(xué)科，正是由于用的是代數(shù)方法研究幾何，故它可以與向量、三角、函數(shù)等知識自然融合.從不同的視角欣賞解析幾何試題，可以充分體會數(shù)學(xué)美中有理，理中有美.

賞析視角1：賞析定義之美

橢圓與雙曲線的第一定義和方程之間就是“和”與“差”的區(qū)別；標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程也存在很大的相似；圓錐曲線在極坐標(biāo)下的統(tǒng)一方程，這些都反映了他們之間具有統(tǒng)一美.此外，從橢圓的定義類比到雙曲線的定義，不是簡單地從“和”類比到“差”（雙曲線的一只），而要加“絕對值”；圓錐曲線第二定義都是“到定點和到定直線之比”，僅僅是這個比值差異決定了曲線的不同種類，這些都體現(xiàn)了圓錐曲線的奇異美.橢圓與雙曲線方程在推導(dǎo)過程中引入“b”以后，使得方程更加簡潔，而且能夠明確體現(xiàn)它們之間的幾何性質(zhì)；拋物線方程在引入“p”以后，其方程性質(zhì)更加簡明，這充分反映了圓錐曲線在方程結(jié)構(gòu)上的簡潔美.

賞析：本題以圓錐曲線曲線C為題干，并沒有指明是哪類圓錐曲線，故要分類討論.由于拋物線只有一個焦點，故分類討論的落腳點即：橢圓中= 2a=4k+2k=6k；雙曲線中，這充分體現(xiàn)了圓錐曲線的奇異美.而離心率的計算公式均為，這又再次體現(xiàn)了統(tǒng)一美.以上分析充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一美與奇異美.

例2.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若FA+FB+FC=0，則

A.9 B.6 C.4 D.3

賞析視角2：賞析解法之美

“數(shù)學(xué)是思維的體操”，她在邏輯性與思維性上有著獨一無二的奇異特性.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，解題扮演著舉足輕重的地位.如何解題，如何用最合適的方法解題可以展現(xiàn)不同層次的數(shù)學(xué)思維水平.

例3.設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），求 PA·的最大值.

賞析：欣賞數(shù)學(xué)真善美的一個途徑是：梳理思想并領(lǐng)略抽象數(shù)學(xué)模型的智慧結(jié)晶.該題，看似無從下手，仔細(xì)分析后可得：根據(jù)題中兩條直線互相垂直，可得點在以線段為直徑的圓上，如右圖所示.再由勾股定理以及基本不等式可得答案.本題通過構(gòu)造圓這個模型，將直線、圓、勾股定理巧妙地聯(lián)系起來，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美滲透于數(shù)學(xué)的知識、結(jié)構(gòu)和解法中.

例4.已知橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

賞析：（Ⅰ）問用待定系數(shù)法即可.（Ⅱ）問的關(guān)鍵在于求出kl.以下提供三種方法。可以采用角平分線的性質(zhì)定理求出直線l與x軸交點的橫坐標(biāo)，進而求出直線方程；也可以設(shè)∠F1AF2=2a，可以求得tan2a，再采用二倍角公式，求出tan2a，由此推出kl；當(dāng)然最妙的一種方法是由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，直線l即橢圓在點A處的法線.由于可以求出橢圓在A（x0，y0）處的切線故這道題的第（Ⅱ）問用了3種不同的方法，第一種是幾何的方法，第二種是代數(shù)運算的方法，第三種是根據(jù)圓錐曲線的物理性質(zhì)，可謂各有千秋，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維之美.

賞析視角3：賞析思想方法之美

例5.設(shè)雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O、所成的角為 60°的直線和使，其中和分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）.

數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識具有更高的層次和理性的地位，它是一種數(shù)學(xué)意識，屬于思維和能力的范疇，用于對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識處理和解決.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓.常見的數(shù)學(xué)思想主要有：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸，特殊與一般等等.數(shù)學(xué)思維方法將把思維、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)展中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新的思維過程作為自己的研究對象.數(shù)學(xué)的思維方法主要有三種：類比，歸納和演繹.

賞析：任何一個解析幾何問題的解決都是通過幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化實現(xiàn)的，其核心思想是“數(shù)形結(jié)合”.這道題若采用設(shè)直線斜率，利用弦長公式計算，會很繁瑣.如果結(jié)合雙曲線的圖像以及雙曲線的漸近線，便由題意很快得知漸近線斜率的范圍，由此求出離心率的范圍.這題考察了數(shù)形結(jié)合的思想，不落俗套，富有內(nèi)涵.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

賞析：（Ⅰ）問用橢圓定義即可.注意到（Ⅱ）問中的直線x=4為該橢圓的右準(zhǔn)線.問題的結(jié)論：在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓過定點M，而M正是橢圓的右焦點.這是巧合嗎？事實上，經(jīng)過推廣（類似于這道題的證明）可以得到以下結(jié)論：橢圓的右焦點為，設(shè)動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q.則以PQ為直徑的圓恒過F2（當(dāng)然還可以改為左焦點F1，此時對于的直線變成其逆命題是否成立？

例7.如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓=1（a＞b＞0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線于點Q；（Ⅰ）若點Q的坐標(biāo)為（4，4），求橢圓C的方程；（Ⅱ）證明:直線PQ與橢圓C只有一個交點.

賞析：①例7第（Ⅱ）問恰巧為例6第（Ⅱ）問的逆命題.將其推廣到一般情況即為：橢圓的右焦點為F1，P，Q分別是橢圓和橢圓右準(zhǔn)線上的點，且PF1⊥QF2，則直線PQ與橢圓有且只有一個公共點P.

②例6，7充分體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)問題的一種思維方式：從特殊到一般進行推廣，再思考其反面.實際上，很多數(shù)學(xué)問題都是由此產(chǎn)生的.當(dāng)進行數(shù)學(xué)研究時，看到這樣一些令人欣喜的結(jié)論，不也是一種美感嗎？

賞析視角4：賞析本質(zhì)之美

賞析數(shù)學(xué)試題的本質(zhì)，即是對數(shù)學(xué)知識背景，數(shù)學(xué)本源的賞析，對數(shù)學(xué)思想方法的把握，對數(shù)學(xué)思維方法的感悟，對數(shù)學(xué)之美的鑒賞等等.

在圓錐曲線中，有些幾何量如斜率、距離、面積、比值和變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定點，定點問題.這類問題我們要從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律.

第（II）問看似平淡無奇，實際上有著其平面幾何背景.在此題的證明過程中，可以發(fā)現(xiàn)：雖然點M在圓上動，以及由M帶動的兩個動點P′，Q′也在動，但是兩個動點P′，Q′的縱坐標(biāo)之積始終為定值，即AP′，AQ′是個定值.記以P′Q′為直徑的圓與x軸的交點為H1，H2，則由圓的相交弦定理可得到結(jié)論:AH12=AH22=AP′·AQ′.由于AP′·AQ′是個定值，即AH1，AH2均為定值.再由于A為定點，故點H1，H2即為以P′Q′為直徑的圓C′經(jīng)過的定點.

綜上，這道題還可以得到以下兩個副產(chǎn)品：①以P′Q′為直徑的圓C′的圓心C′與M的連線與圓O相切（1個公共點）；②AP′·AQ′是個定值.

由以上分析可得：圓的相交弦定理就是這類題目的本質(zhì).得到圓的優(yōu)美結(jié)論后，那么與圓相近的橢圓也成立這樣的結(jié)論嗎？經(jīng)過研究，依然可以得到：已知橢圓與x軸交與A，B兩點,垂直于x軸的直線l過定點Q（m，0）（m＞a），P是橢圓O上異于A，B的任意一點，若直線PA交直線l于點M，直線PB交直線l于點N，則①Q(mào)M·QN是一個定值；②以MN為直徑的圓C總經(jīng)過定點；③直線CP與橢圓只有一個公共點.

世間萬物，以真善美為最高境界.數(shù)學(xué)自然也有自己的真善美.欣賞數(shù)學(xué)的真善美，是數(shù)學(xué)教育的一項重要任務(wù).但是，數(shù)學(xué)的真善美往往被淹沒在題海里，需要大力挖掘，用心體會才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗與欣賞.

（責(zé)任編輯：王欽敏）