基于“自圓其說”理念下的數學概念教學
——由“離心率”概念引發的思考

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

基于“自圓其說”理念下的數學概念教學
——由“離心率”概念引發的思考

☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒

著名數學家華羅庚曾說過：“數學的學習過程，就是不斷的建立各種數學概念的過程.”李邦河院士認為“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”高中數學課程標準也指出：“數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.”由此可見，深刻理解并準確掌握數學概念是何等重要.

一、數學概念都是人為規定的嗎

那是一次全縣骨干教師帶徒活動的公開課，上課的內容是“橢圓的離心率”.我們知道離心率e的取值決定著圓錐曲線的類型，0＜e＜1，出現的是橢圓；e=1，出現的是拋物線；e＞1，出現的是雙曲線.離心率猶如“DNA”，決定著圓錐曲線的形狀.下面是課堂的教學片段實錄.

師：橢圓的圓扁程度是由什么決定的？

生：應該由a、b決定.

師：假定a不變，當b變化時，橢圓的圓扁程度怎么變？假定b不變，當a變化時，橢圓的圓扁程度怎么變？

生：當a不變，b增大時橢圓越來越圓，b減少時橢圓越來越扁；當b不變，a增大時橢圓越來越扁，a減少時橢圓越來越圓.

師：你能不能找到一個量來表示橢圓的圓扁程度？

（生不知所措）

師：參數b能不能用a、c來表示？

生：b2=a2-c2.

（這個問題確實很難回答，下面看看這兩位教師是如何應對的）

師：因為這是人為的規定，如果你生在那個時代，你也可以規定用表示橢圓的離心率.

二、做一個數學“考古”學家

筆者嘗試查找“離心率”的相關資料，很遺憾，并沒有發現對其來龍去脈的詳細描述.在百度百科中它是這樣描述離心率的.

科技名詞定義

中文名稱：偏心率；英文名稱：relative eccentricity.

定義：偏心距與半徑間隙之比值.

應用學科：機械工程（一級學科）；機械零件（二級學科）；滑動軸承（二級學科）.

偏心率（離心率，Eccentricity）

橢圓兩焦點間距離和長軸長度的比值.即某一橢圓軌道與理想圓環的偏離，長橢圓軌道“偏心率”高，而近于圓形的軌道“偏心率”低.

離心率定義為橢圓兩焦點間的距離和長軸長度的比值.

偏心率用來描述軌道的形狀，用焦點間距離除以長軸的長度可以算出偏心率.偏心率一般用e表示.

上面的描述似乎和離心率的起源有些風馬牛不相及，但反復閱讀后還是能夠發現一點線索，即離心率和天文學有關.這是一條很有價值的線索，但單憑這一點顯然不具備充分的說服力，正所謂獨木難支，應該找到更多的線索.那其他的線索在哪里呢？繼續查找文獻，還是沒有令人滿意的答案.

數學概念的形成和發展都有其深刻的現實、歷史背景.這一點是毋庸置疑的，但許多數學概念的原始生成過程隨著時間的流逝已經“模糊不清”，或隨著數學的發展逐漸喪失了它原本的面貌，猶如“迷案”一樣，后人根本無法搞清楚到底是怎么一回事.這就需要教師具備“考古”學家的精神，在看似毫無關系的線索中尋覓蛛絲馬跡，進行大膽的想象和推理，從而找到合理的答案.下面筆者就結合相關線索推測離心率的起源.

首先，離心率一定跟天文學家有關，并且在天文學中廣泛應用.這使筆者不禁想起了圓錐曲線的產生背景.盡管圓錐曲線理論早在古希臘時期就已經建立，阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》更是囊括了圓錐曲線的所有性質，以致“后人根本無插足之地”，但圓錐曲線理論得到廣泛應用應該是得益于16世紀時天文學的發展.研究天文現象需要計算行星的運行軌道，而這些行星軌道通常就是圓扁程度不一的橢圓，而離心率就是為了描述軌道圓扁程度而引入的一個量.不僅如此，天文學家還發現太陽系的八大行星都是繞著以太陽為焦點的橢圓形軌道運行的，這些軌道偏離太陽的程度也不一樣，因此他們就把離心率稱為“偏心率”.并且行星和太陽之間的距離是在變化的，其中在近日點處離太陽最近，偏離距離為a-c，在遠日點處離太陽最遠，偏離距離為a+c.當然不能直接用最近距離和最遠距離表示偏心率，因為這兩個值不僅和運行軌道的圓扁程度有關，還受軌道大小的影響，人們需要構造一個“穩定”的量來表示偏心率.最后經過反復嘗試，發現的值和橢圓大小無關卻能很好地刻畫橢圓的圓扁程度，因此，大家就選擇了表示離心率.上述推測從數學發展史的角度很好地解釋了離心率的起源，但還是有些美中不足.難道僅僅是為了“穩定”嗎？肯定還存在著其他穩定的量同樣可以滿足衡量橢圓圓扁程度的需要，但為什么偏偏是呢？因此，還要繼續為的合理性、科學性找理由.

這回從橢圓的定義入手開始推理.橢圓是平面內到兩定點的距離之和為常數的點的軌跡（其中到兩定點的距離之和為2a，常數為2c，且2a＞2c），定義中涉及的參數是a和c.另外圓錐曲線的統一定義為“到定點的距離與到定直線的距離之比為常數”，而這個常數的值恰好是由此可見，a、c是描述橢圓定義乃至圓錐曲線定義的基本參數，所以用來表示離心率更加名正言順.

三、數學概念教學的“自圓其說”

或許有人會問：“你的考古結論一定正確嗎？當時的真相就是這樣嗎？”對此，筆者無法給出肯定的答案，但至少做到了“自圓其說”.

百度百科：自圓其說

【釋義】圓：圓滿，周全.指說話的人能使自己的論點或謊話沒有漏洞.

從上面的釋義來看，“自圓其說”的貶義成分似乎大于褒義的成分.什么時候要自圓其說？說謊的時候？非也，相反筆者認為“自圓其說”是教師必備的基本素養.面對學生求知的渴望、疑惑的眼神，教師必須要做到“自圓其說”.試想一下，教師若不會自圓其說，即使所傳授的知識是正確的、科學的，恐怕也很難讓學生心服口服；教師若能夠做到自圓其說，即使表述的理由稍有瑕疵，反而有助于學生對數學概念的理解.正是為了能夠在課堂教學中順利地實現自圓其說，所以教師要挖掘教材，創造性地使用教材，查閱相關文獻，展開想象推理.因此，筆者認為有必要賦予“自圓其說”新的內涵，那就是：“‘圓’數學概念的產生背景，‘圓’知識間內在的聯系，從而促進學生對數學概念的理解.”

當然，有一點需要強調，那就是千萬不要把“自圓其說”誤讀為“胡編亂造”.教師應該是“考古”學家，考古應該做到科學、嚴謹，在立足基本事實的基礎上再進行合情合理的想象和推測.那么，具體該如何實現數學概念教學的自圓其說呢？

1.梳理數學發展史中的脈絡，實現“自圓其說”

大數學家龐加萊曾指出：“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史與現狀.”歷史是人類最寶貴的精神財富，“以史為鑒，可以明得失”，以數學史為鑒，可以讓你讀懂數學.閱讀數學史，你看到的不僅僅是智慧的光芒，還有數學家的喜怒哀樂，恩怨情仇.因此數學并不是“僵化”的，而是“鮮活”的.如果說數學史是一片片生機盎然的綠葉的話，那么那些細如發絲、縱橫交錯的葉脈就是數學概念形成和發展的軌跡，而我們要做的就是耐下心來，仔細梳理這些葉脈的走向，從而實現自圓其說.

2.尋找數學在生活中的“影子”，實現“自圓其說”

人們常說“數學源于生活”，的確如此.數學最早的作用就是為了解決生產、生活中的實際問題，但隨著數學的發展，數學在解決應用問題的同時還使人們產生莫大的成就感、滿足感，于是就出現了數學家這個職業.他們研究數學不會首先去考慮如何應用，而是希望通過建立一系列的規則、理論使數學在邏輯上實現完美推理.至此，數學已經從最初的“應用工具”上升到“思維體操”，這也標志著數學開始“高于生活”了.數學一旦“高于生活”，就不可避免地會產生“脫離生活”的危險，這也就不難理解為何有些數學概念是如此的抽象，讓人費解.但無論如何，數學的根還在生活，而教師要做的就是讓數學回歸生活，從生活中尋找數學概念的影子，從而實現自圓其說.

3.重建數學知識之間的聯系，實現“自圓其說”

大家都知道，各類數學知識之間不是相互孤立的，而是有著千絲萬縷的聯系.比如，有很多數學新知識都是在已有知識的基礎上形成和發展起來的；前面的知識是后面的知識的基礎，后面的知識又是前者的發展，從而造就了數學的整體性和連續性.隨著數學的發展，各類數學知識開始相互整合.整合的結果就是形成了眾多的數學分支.這些數學分支有著各自獨立的理論基礎和思維模式，于是它們之間的鴻溝開始擴大，界限也日漸分明，它們最初那種天然的聯系也變得不那么明顯，不被人所重視.但無論數學怎么發展，它都應該是一個整體，在數學概念教學中，可通過重建數學知識之間的聯系達到自圓其說的目的.

4.站在其他學科的獨特視角，實現“自圓其說”

各學科原本就是互相聯系、互相滲透的.可以毫不夸張地說，很多學科“五百年前就是一家”.比如，物理、數學都源于自然哲學，化學的出現更是和煉金術密不可分.因此，對任何一門學科的教學，都不能單純地依靠對這門學科本身的研究，特別是對數學這樣一個深入到自然科學和社會科學各個領域的有影響的學科，更應該試著跳出學科本身的范疇，爬到其他學科的肩膀上去實現自圓其說.

綜上所述，筆者認為“自圓其說”不僅是一種手段，還應該是一種教學理念，為追求數學概念的真相而“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的理念.

1.呂增鋒.數學概念教學貴在“自圓其說”［J］.中學數學教學參考（上），2011（3）.

2呂增鋒，邵興專.數學習題課四種“上法”的“性價比”分析［J］.中學數學（上），2014（10）.