數學概念教學關于“問題提出”設計中的錯覺*

☉江蘇省灌南縣教育局教研室 李太敏

數學概念教學關于“問題提出”設計中的錯覺*

☉江蘇省灌南縣教育局教研室 李太敏

數學概念是構成數學內容的最基本的單元，是學生進行數學思維的細胞，概念教學在數學課堂各類教學中具有舉足輕重的地位，而在數學概念教學中具有重要地位的則是“問題的提出”，正如美國的布魯巴克所說：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生自己提出問題.”要讓學生能提出問題，關鍵是教師要善于設計問題并提出問題，進而引導學生能解決問題，但在目前的概念教學中，關于“問題提出”的教學設計中還存在著一些錯覺，本文試從以下四個方面來加以說明.

一、問題提出的嚴謹性錯覺：越嚴密越好——“日常概念”形式化

數學概念常可分為三類：其一是反映基本元素的概念，如集合、數列等；其二是反映相互關系的概念，如平行、包含等；其三是反映對象特性的概念，如奇偶性、周期性等.［1］這些概念大都具有雙重性，既具有日常概念的特征，又具有科學概念的特征，其中一些概念，尤其是第一類、第二類中不少概念更是傾向于日常概念的特征（本文簡稱為“日常概念”）.學生在學校學習之前，他們的心里并不是一張白紙或空瓶子，而是充滿了影響學生觀察和理解的各種形式、各種層次的原有的概念，即前概念.“日常概念”大都屬于易下定義的概念，它們的定義常常和學生心中的前概念一致或基本一致，有的概念只是相當于一種描述性的甚至是直觀性的概念，只是一種梳理，學生接受起來也很輕松有效，但為了追求問題的嚴謹性，在“問題提出”的設計中，有些老師對“日常概念”也進行過分形式化的挖掘與訓練，如精心設計“‘對數函數’中的是否對數函數？”過分深挖“‘數列’中的：｛an｝與｛a1，a2，…，an｝有何不同？一列數與一列數的集合有何不同？”反復研究“‘四種命題’中的：‘我們班50人’是否為命題？真假性如何？”仔細比較“‘對數’、‘任意角的三角函數’中：對數符號log、三角函數符號sin的后面不含變量是否有意義？”諸如此類.對這些“日常概念”進行種種形式化設計與訓練，都會引起學生的強烈爭議，效果不佳，看似想加深對概念的理解，實質相反，反而影響、干擾了學生對數學概念的理解.

正如培根在《新工具書》中所說：“就幫助人們尋求真理而言，三段論的壞作用多于好作用.”［2］數學上許多原始的思想，非常樸素而深刻，并不嚴謹，卻十分重要.比如，面積、體積從沒有被定義過，但一直在使用，從概念上講不嚴格，［3］但學生理解起來并不困難.如果“日常概念”也進行過分形式化，就可能會導致形式化泛濫，效果會適得起反.數學的歷史發展也告訴我們，很少先有抽象的、形式化定義的概念出現，總是經過很長時間的發展，數學家們才給出嚴格的形式化的定義，可以這樣說，數學概念是在不斷發現錯誤、糾正錯誤的過程中逐步建立起來的，因此對于“日常概念”的問題提出設計，不宜過分“嚴謹”，宜防止“日常概念”的形式化傾向.

二、問題提出的趣味性錯覺：越有趣越好——概念背景現實化

“鹽需要溶入湯中，才能被吸收；知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力”，情境創設成為課改后數學課堂的一道亮麗風景，一些新穎、有趣、富有思考的情境令人拍案叫絕，但也有些教師過于注重教學的情境化設計，為了創設情境而“挖空心思”，卻沒有起到應有的作用，從而使“情境創設”出現了虛假繁榮現象.［4］如在概念教學中，為了使課堂生動，追求現實中的情境，有些老師提出的問題背景太關注現實意義，或隨意移植，或隨意想象，大膽的移植和想象，常常能引起學生的興趣，有的雖真假難辨，但難以值得深究.如教學內容“基本不等式”引入設計中的：“自己的朋友去購買物品，遇到兩臂不等的天平，商人用兩次稱量結果的算術平均數賣給朋友，問：朋友是虧了還是賺了？結論是：由于不法商人奸詐，肯定虧了”；“平均變化率”引入設計中的“為了感覺天氣情況，老師昨晚在外面呆了一夜，感覺非常冷，這是怎么回事呢？結論是：天氣突然變冷”；“人突然站起時會頭暈，原因何在？結論是：站得太快，導致血液流動跟不上”等.諸如此類問題的設計，將概念背景隨意現實化，看似靈活而生動，實質上經不住推敲，缺乏科學性.

并不是每一節課都一定需要聯系現實背景而從現實情境引入，對于一些不好創設現實生活情境的教學內容，或一些暫時與學生的生活實際距離較遠的學習內容，可利用概念的歷史背景進行導入設計，或單純從知識上導入，或進行直接傳授也未嘗不可，絕不宜隨意地移植、想象來設計現實背景從而提出問題，結果必然是得不償失.如角度制很自然，為何要學弧度制？這樣的問題從現實背景中去設計生活情境很難解釋清楚，而從歷史的背景中，正如數學家李忠教授所提到的，我們原先熟悉的角度制適用于初等數學及實用幾何，而弧度制適用于高等數學，弧度制為面積與弧長，以及微積分中有關三角函數的計算，帶來很大的方便.正是由于這個原因，在現代數學文獻中，與三角函數有關的量一律采用弧度制，［5］這樣也許能抓住問題的實質.

三、問題提出的難易性錯覺：越易接受越好——概念分解自由化

黑格爾說：“用分析方法來研究對象，就好像剝蔥一樣，將蔥皮一層又一層地剝掉，但原蔥已不在.”［3］這正如為了保證學生能易于接受概念，有些老師在進行相關問題提出的設計時，提出的方法“靈活”，大小問題都由老師自由提出，想怎么提就怎么提，常是一些操作性、導向性的問題，像剝蔥一樣，把一個完整的數學思維過程加以拆解，把一個大的、整體的數學問題自由切割成一系列小問題，導致不少學生一步步、一個個都會做，卻不知在干啥，思考比較淺層.諸如“函數奇偶性”的學習中將“圖像關于y軸對稱的函數的解析式有何特征？”分解為“關于軸對稱用什么語言？如果點在圖像上，關于軸的對稱點也在圖像上如何表示？點的對稱點如何表示？點在圖像上如何表示？點的對稱點也在圖像上如何表示？”學生雖然易于接受，但不知在干啥，問題的解決多限于特殊性解決.

事實上，學習并不是簡單的積累，將整體自由分解后，學生雖容易接受，但要想將原先還原出來并非容易，初中生會忙于一個個因式分解的練習題，到高中很可能沒形成恒等變形的思想；初中生在學習一次函數的圖像時，只發現上下平移，不見左右平移，到高中也會受到干擾.把概念從結構上自由地分解，自由地提出問題，學生像搭積木一樣構建概念，只有到積木成型后，才知道在做什么，只是利于記憶，不利于理解、運用.只有了解并根據概念的來龍去脈，根據上、下位概念間的關系，發現、設計初始性和整體性的源問題，這樣才能使學生對提出的問題從整體上進行把握，并能進行深入的思考，才能讓學生學會提出問題的方法.

四、問題提出的時效性錯覺：越早越好——概念挖掘初始化

概念常常會有概念群.如具有屬種關系的概念群：集合—映射—函數—多項式函數—二次函數，算術數—有理數—實數—復數，它們具有線狀概念結構，有的從一般到特殊，有的從特殊到一般，邏輯鏈可長可短，鏈上的概念可疏可密，有的邏輯鏈出現于某一章，有的是整個學年甚至更長；具有并列關系的概念群，橢圓、雙曲線、拋物線，柱、錐、臺，奇函數、偶函數等，它們具有某種潛在的聯系，從屬于某個概括程度更高的概念［1］對于概念群，尤其是具有并列關系的概念群，常常采用類比的方法進行教學，但在概念獲得的初始階段進行過多的類比以加深對概念的理解，反而會產生干擾，如在“雙曲線的幾何性質”的學習的初始階段就設問“我們已學習過橢圓，大家能列表將橢圓的性質與雙曲線的性質進行一一比較嗎？能分清a、b、c之間的關系有何不同嗎？”這樣對易混內容在初始階段進行類比設計，往往會對部分同學的學習形成干擾.同樣地，舉反例與逐漸深入的變式教學是非常好的學習方式，尤其在習題教學時，能起到很好的效果，但是也不能濫用，尤其在概念獲得的初始階段，要慎用.如“平均變化率”中的“若某函數對于［x1，x2］的平均變化率為正，能否說明該函數在［x1，x2］上遞增？平均變化率怎樣時，該函數遞增？平均變化率的正負與函數的單調性之間有著怎樣的關系？能否對y=x3、y=的圖像進行比較？能說明函數的導數、平均變化率與圖像陡峭程度之間的關系嗎？”像這樣以問題變式的設計方式進行深挖，尤其是在概念獲得的初始階段，會將細枝末節主干化，對一些學生的概念獲得不但幫助甚少，還會起干擾作用.

雖然剛學習新概念時，在概念獲得的初始階段關于問題提出的設計，不適宜過多的聯系，不適宜過多的類比、舉反例、變式等深度挖掘，否則會欲速而不達，不僅不能加深理解，反而會沖淡主題，但是學生在學習新概念時的后期，必須要思考與舊概念的關系，要聯系與概念群的關系，要思考概念所嵌入的數學外部的情境，包括起源和應用，要組成一個有關聯的相對穩定的認知結構，隨著學習的深入，還應進一步把認知結構嵌入到更大的認知結構中，所有這些聯系，都必須在后階段學習時刻意追求.

“在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要”，讓每個學生都學會提出問題，學會提出問題的方法吧！

1.季素月.給數學教師的101條建議［M］.南京：南京師范大學出版社，2005.

2.史寧中.《數學課程標準》的若干思考［J］.數學通報，2007（5）.

3.張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論［M］.北京：高等教育出版社，2003.

4.李太敏.數學情境中創設的“泡沫”［J］.中學數學（上），2010（1）.

5.李忠.為什么要使用弧度制［J］.數學通報，2009（11）.

*本文為江蘇省教育科學“十二五”規劃課題“中學數學片斷教學的自然設計研究”的相關成果.