數學復習課例題設計的若干誤區分析

☉福建省上杭一中 陳玉生

數學復習課例題設計的若干誤區分析

☉福建省上杭一中 陳玉生

復習課是數學教學中的重要課型，例題教學是其重頭戲.數學主干知識的深化、重點和難點的突破、思維能力的提升等都需要通過復習課例題教學來實現.復習課例題設計是否合理有效，直接影響課堂教學的質量.然而，由于一些教師對復習課例題教學功能的理解出現偏差，在設計中出現了值得警惕的誤區，當引以為戒.

一、忽視難易程度，傷學習積極性

對復習課來說，激發學生的學習熱情更重要.因此，設計復習例題不可“為難學生”，不宜把難題放在前面，要合理控制難易度，顧及全體學生，讓其感覺可親可及，“跳一跳就摘得著”最為合適.若學生做一題就成功一題，主動學習的熱情必會倍增.否則，將傷害他們做題的積極性.

案例1：某教師復習含參數的二次函數最值問題的例題：若函數f（x）=x2-2x+3（a-1≤x≤a+1）的最小值為18，求實數a的值（這是本節課給出的第一個例題）.

有經驗的老師都明白，學生做錯這樣的題目是難以避免的.原因在于該教師一開始就給了一個難題，學生對為什么要討論和怎樣討論難以下手.

再設計：

①已知函數f（x）=x2-2x+3，求其最小值；

②已知函數f（x）=x2-2x+3（2≤x≤4），求其最小值；

③已知函數f（x）=ax2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值為2，求實數a的值.

在此基礎上，再給出：

④已知函數f（x）=x2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值為23，求實數a的值.

最后再求教師給出的上述例題.

以上把例題設計成階梯式的問題，不僅復習了基礎知識，還將問題逐步向深層次推進，讓學生充分利用已有的知識和經驗，撥云見日，逐步蠶食，直至問題解決.既突破了教學難點，還能讓不同層次的學生都參與學習，有利于整體教學質量的提高.

二、混淆考題例題，失教學有效性

考題與復習課的例題有不同的教學功能.前者主要考查學生對某些知識點的理解，某些技能或數學思想方法的掌握，不具“完備性”.后者主要幫助學生復習鞏固所學知識，起到查缺補漏的作用，不應該是“片面性”的問題.因此，復習課不可隨意選擇各類考題，更不能不作任何修改就直接作為例題使用，從而失去教學有效性.

案例2：某教師復習不等式恒成立問題的例題：設函數f（x）=3x-ax3（a∈R），對任意x∈［1，2］，都有f（x）≤1成立，則實數a的取值范圍是_________.

此題是某省的質檢考題，可按主元分類討論或用分離參數法求解.就填空題而言，在區間設置上傾向于分離參數思想的運用，但作為復習課的例題，顯得“蘊味”不足.因為轉化為ax3≥3x-1后，由x3＞0直接可轉化為a≥恒成立，不利于分類討論思想的滲透及方法間的比較，也失去了對最后結果取交集還是并集問題進行對比探討的機會（這也是學生的一個易錯點）.

再設計：將條件“x∈［1，2］”改為“x∈［-1，1］”.

通過再設計，完善了使用分離參數法的可能情況，讓解法更具一般性，不但復習了含參問題的兩種常用處理方法（離而求之和分而求之），開闊了學生的解題思路，還可對結果取交集還是并集問題展開探討，有效滲透了分類與分步的數學思想.

三、不分教材教輔，丟基礎導向性

如今復習教輔資料的更新很快，但因時間倉促，題目設計欠斟酌，無論在選題還是解法上，都無法很好地體現“例”的示范作用.若教師盲目追求教輔資料的“新、難”題，天馬行空式地復習，學生對數學基礎知識的理解依舊不會好轉.因此，復習課要再次引領學生回歸教材，重視教材典型題目的基礎性和示范性，充分挖掘其復習功能.

案例3：某教師復習拋物線性質的例題：直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A、B兩點.

此題主要考查拋物線的定義、焦點弦的性質、代數法的運用，發現動直線過定點（焦點）是學生的一個困難點.

再設計：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，且兩交點的縱坐標分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2.（此題源于高二選修教材2-1作業）

探究1：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線為拋物線的準線，過點A、B作準線的垂線，垂足分別為M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F（即y1y2=-p2）.

探究2：（改變M、N的作法）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：x=為拋物線的準線，O為原點，直線OA、OB分別交準線于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F（即y1y2=-p2）.

探究3：（變定點為動點）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F直線交拋物線于兩個不同的點A、B，直線l：為拋物線的準線，C是拋物線上的動點，直線AC、BC與準線分別交于M、N，求證：以MN為直徑的圓過焦點F（即y1y2=-p2）.

探究4：（變焦點、準線為極點、極線）拋物線y2=2px（p＞0），極點P（t，0），極線l：x=-t，C是拋物線上的動點，過P的直線交拋物線于B、C兩點，直線AC、BC分別交極線于點M、N，則M、N的縱坐標之積為定值-2pt.

推廣：設圓錐曲線E的一個焦點為F，相應的準線（定直線）為l，C為E上的動點，過F且斜率不為0的直線與曲線E交于點A、B，直線AC、BC分別交準線于M、N，則以MN為直徑的圓過焦點F.

上述設計以拋物線為載體，復習和推廣了圓錐曲線的很多共同性質，符合學生的認知規律，逐步探究更是活躍了他們的思維.回歸教材目的是落實“三基”，以教材例、習題為素材，感知問題的發生、發展過程，明晰問題的來龍去脈，尋求問題的解決方法，探求結論推廣的可能，揭示問題的本質特征，對學生和老師來說都很有必要.

四、忽視易錯易混點，缺教學針對性

數學新授課的教學大多從正面入手，這是必需的，但易造成學生對知識的認識帶有片面性.針對這種情形，復習例題的設計要緊扣知識的易錯易混點，關注學生的薄弱環節，盡可能給他們提供補償學習的機會，才能讓教學更有針對性，突出鞏固功能，實現“查缺補漏”的復習目標.

案例4：某教師在導數與函數單調性的復習公開課中的例題：若函數f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上為減函數，求實數m的取值范圍.

筆者聽課后與學生交流中發現，多數學生不清楚“由f′（x）=3x2-4x-m≤0在［1，2］上恒成立，得出m≥4”后，為什么還要檢驗m=4的情形，甚至有學生認為不檢驗答案也一樣！

再設計：（1）若函數f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上為減函數，求實數m的取值范圍；

針對易錯易混的知識，增加對比性題組，讓學生分析與比較，有利于破除思維頑疾，理清心中的糾結，從而更深入地理解知識.設計這樣的例題能有效解決“會而不對，對而不全，全而不美”的解題失誤，比正面說教更具實效.

五、淡化通性通法，欠普遍適用性

高考的宗旨是考查數學基礎知識、基本技能、基本思想和方法，強調“注重通性、通法，淡化特殊技巧”.而有些教師設計復習課例題時，不顧問題背景的典型性和解題方法的大眾化，隨意選用或照搬資料中的題目，迫使教師在教學中為了避開“解題障礙”去尋求捷徑，讓復習教學“撿了芝麻丟了西瓜”.

此題在復習用書中頻繁出現，常利用幾何法（利用圓心到直線的距離與半徑的大小關系計算弦長）或代數法（聯立直線與圓的方程，用公式計算弦長），得S△OAB=但在求此式最大值時計算煩瑣，耗時多，技巧強，易使有些老師不講上述方法，或隨便提一下.換用圓的特殊性做：（θ為弦AB所對的圓心角），此時k=±1.

顯然，改編前的設計容易讓教者偏離教學主題，忽視通性、通法，這樣的教學必會讓優生“走火入魔”，讓差生“信心盡失”.而再設計后，S△OAB的表達式簡潔易算（用函數的單調性或基本不等式），既便于強化通法，也可推薦簡捷的特殊解法，實現解題方法的普遍性和多樣性.

六、忽略多解多變，挫思維靈活性

復習課不僅要完善學生的認知結構，還要提升思維品質，例題設計要關注其蘊含的數學知識和方法，要有利于引導學生從不同知識層面、用不同思維方式進行一題多解，并從中選擇最簡、最優的方法，提高思維的廣闊性與創造性；也要廣泛地對其進行變式引申，拓展出更多“形似質異”“形異質同”的新問題，發展學生思維的創造性，從而對問題本質及求解規律有更深刻的理解.

案例6：某教師復習圓錐曲線上的點到直線距離的最值問題的例題：求拋物線C：y2=x上的點到直線l：x-2y+ 4=0的最短距離.

解法1：設拋物線上的動點P（s2，s）（s≥0），則P到直線l的距離，其最小值為

解法2：設與直線l平行的拋物線的切線為x-2y+m= 0.聯立x-2y+m=0與y2=x后，由相切得Δ=0，求出m=1.故所求最短距離就是x-2y+4=0與x-2y+1=0間的距離，即為

此題雖然可用換元法及數形結合的方法解決，但仍顯“美中不足”，其蘊含的知識和方法還不夠多.

再設計：將拋物線“y2=x”改為“y=-x2”.

同樣是拋物線，y=-x2是學生熟知的二次函數，自然就多了函數的相關知識和方法，實現以最少的題目復習更多的知識.

解：設與直線x-2y+4=0平行且與拋物線y=-x2相切的切點為P（x，y），則切線的斜率k=y′=-2x.由-2x=得故切點坐標為從而求出拋物線y= -x2上的點到直線x-2y+4=0的最短距離為

因拋物線是一類圓錐曲線，故還可以進一步發散思考，拓展為：

題3：求圓x2+y2=1上的點到直線x-2y+4=0的最短、最長距離.

這種設計能克服單純做題的機械模式，更大限度地發揮例題的教學功能及可拓展性，有效溝通了知識間的縱橫聯系，拓寬了學生的思考空間，提升了學生善于分析和應變的能力，讓其體驗到再發現、再創造的快樂.

七、缺乏整合綜合，輕知識交匯性

數學復習要引導學生將知識與方法系統化、網絡化，將所學內容連成線、織成網、鋪成面.因此，設計復習例題要通盤考慮，關注基礎知識的同時，要注重學科內的聯系與綜合，讓學生感受數學的內在聯系，盡可能讓多個知識有機地整合在一起，使之通過復習進一步提升綜合應用能力，尤其是高三二輪復習更要如此.

案例7：某教師高三數列二輪復習中的例題：設函數f（x）=x2，過C1（1，0）作x軸的垂線l1交函數f（x）的圖像于點A1，以A1為切點作函數f（x）的圖像的切線交x軸于C2，再過C2作x軸的垂線l2交函數f（x）的圖像于點A2，依此類推得點An，記An的橫坐標為an（n∈N*）.

（1）證明數列｛an｝為等比數列，并求其通項；

（2）設直線ln與函數g的圖像交于點Bn，記（O為坐標原點），求數列｛bn｝的前n項和Sn.

此題的設計以函數為依托，集導數、數列、向量的數量積等知識為一體，意在考查學生對知識的遷移與轉化、數據的整合與處理能力.這樣的設計，能充分發揮例題復習的綜合效能，達到“做一題、帶一類、連一片”的效果.

例題教學是復習課的主旋律，如何設計例題是復習教學能否更加優質、高效的關鍵.復習課例題設計須謹慎求“精”，既要根據本班學生的實際，也要顧及復習的階段性，抓重點、攻難點、補缺陷、升思維.

1.李寬珍.理清主線，變式推進，注重反思——從復習課《數列求和》的幾個片段談高三復習［J］.中學數學（上），2014（3）.

2.陳士芳.高三數學一輪復習不可忽視的幾個環節［J］.中學數學（上），2012（10）.

3.江忠東.例談高考數學復習課用題的選擇［J］.中學數學教學參考（上），2014（6）.

4.孫居國.高三數學教學中選題的思考［J］.中學數學教學參考（上），2012（10）.