重視數學活動經驗 體驗數學“研究”歷程

●陳碧芬 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004) ●林 昀 (城南中學 浙江江山 324100)

重視數學活動經驗 體驗數學“研究”歷程

●陳碧芬 (浙江師范大學教師教育學院 浙江金華 321004) ●林 昀 (城南中學 浙江江山 324100)

1 研究背景

2011版《義務教育數學課程標準》在課程目標中明確提出基本活動經驗為“四基”之一，這是數學學習的結果之一，是長時間積累后形成的思維模式［1］.建構主義也認為，數學教學應建立在學生已有知識經驗基礎之上.因此，在數學教學中，不僅要積累學生的數學活動經驗，更要讓學生的已有數學活動經驗在利用過程中得到提升，進而體驗數學研究的歷程.下面以“分式”(第1課時)為例來說明如何利用數學活動經驗使學生體驗數學研究過程.

“分式”是繼整式概念及四則運算后的學習內容，內容主要包括:分式概念、使分式有意義的條件、分式為0的條件及求分式的值等.其中，分式概念的產生來自于對整式的運算(尤其是除法運算)，使分式有意義的條件可由分數類比得到，后2個可由求代數式的值得到.實際上，這較好地體現了研究數與代數式的主要歷程:數或式是在運算的過程中產生和發展的;代數式的研究內容與方法如同數的研究內容與方法:何時代數式及其運算有意義(“分式”第1課時不涉及);對分式的研究如同整式的研究:求值.分式教學的設計正是充分利用學生的數學活動經驗，使學生在經歷數學知識的發生發展過程中，感悟到數學(代數式)研究的思路與方法.

2 案例及說明

“分式”(第1課時)大致分為5個環節，簡要的教學過程及設計意圖如下所述.

環節1 利用整式運算引出新知

首先請學生舉出已經學過的整式(單項式與多項式)的例子，然后請學生選擇其中的2個整式并選擇一種運算(+、－、×、÷)，接著要求學生對運算后的代數式進行歸類(整式與不是整式)，并說出分類標準.

設計意圖 從復習已有知識出發，在整式運算的過程中“自然”產生“分式”這一新概念，這不僅引出了課題，而且使學生體會到分式的產生并不是憑空創造的，而是有據可依的.

環節2 類比形成概念

1)請學生對“不是整式”的這一類代數式命名;

2)請學生概括出“分式”的定義，并與教材中的定義進行比較，找出不同之處;

3)練習:要求學生對一些代數式進行分類，其中對分母是π的情況進行重點說明.

設計意圖 “請學生命名”這一活動看似簡單，卻蘊含著很有價值的數學思維活動.實際上，數學中概念的名稱并非總是隨意規定的，而是有跡可循的.類比算術中的“整數”與代數中的“整式”，那么類比算術中的“分數”，上述“分母中有字母的代數式”可命名為“分式”.請學生歸納定義，意在重新審視“分式”的產生過程，突出“2個整式相除”這一本質特征，即分式是由整式運算產生的.而后與教材中的定義進行比較，有助于學生用嚴謹的數學語言描述定義.練習的目的在于使學生能更好地理解概念，并分化整式與分式這2個概念.這一過程，讓學生體會到出現新的概念后，應對其進行命名并進行嚴格的定義，便于日后的交流與進一步研究.

環節3 類比理解概念

1)x可以取任何值嗎?

2)當x=2時，分式的值是多少?

3)這個代數式可以取到0嗎?

1)使分式有意義的x的取值是多少?

2)當x取何值時，分式為0?

設計意圖 例1是最簡單的分式類型，學生聯想到“分數中的分母不為0”，提出第1個問題;由分式中的字母聯想到代數式求值問題提出了第2個問題;特殊值0往往是數學中特別青睞的數，因此從求代數值的逆向思維考慮提出了第3個問題.這一過程展示了代數式的研究實質是研究式子中所含的字母.在整式的研究中主要涉及到的是求代數值，對分式的研究增加了“由于分母中有字母這一特征引起的‘使分式有意義的條件’”的討論.這既是對原先代數式研究經驗的利用，同時也積累了新的經驗，并使學生領悟到研究代數式的思路.例2進一步鞏固所學知識，例3旨在讓學生意識到在解決如第3個問題時還要考慮到第1個問題，將“分式求值”與“使分式有意義的條件”這2個知識點聯系起來，表明數學的研究不僅要考慮單個知識點，還應系統地、有聯系地考慮相關知識.

環節4 練習升華概念

在這一環節中，教師選擇了3個題目:

A.x=1 B.x=2

C.x=1且x=2 D.x=1或x=2

2)構造一個分式，同時滿足:當x=3時，該分式的值為0;當x=1時，該分式無意義;當x=2時，該分式的值為4.

3)實際問題:浙教版教材中的例3(追及問題)，特別強調“當a=b時會出現什么情況”.

設計意圖 目的是讓學生理解與鞏固分式的概念及相關知識，尤其是第2)小題分式的構造對學生來說是挑戰，但能有效地檢驗學生對分式相關知識的理解與掌握情況.

環節5 總結感悟

小結:談談你的收獲和體會?

學生不僅說出了本節課的知識點，并且還指出了分式概念的由來:分式是整式的除法運算得到的;由于分式與分數很像，因此我們要注意分母不為0;又因為分式也是代數式，所以要考慮分式求值.最后教師總結:數是伴隨著運算產生的，式也是伴隨著運算產生的.

設計意圖 總結回顧不僅僅是提綱挈領式對知識點進行概括與歸納，也應幫助、引導學生反思知識的產生發展過程.這有利于學生數學活動經驗的升華，尤其是教師最后的概括性總結，一語道破了數與式發展的本質.

3 反思與啟示

數學概念產生和發展的途徑主要有3條:1)從現實模型直接得來(如點、線、面);2)經過多級抽象概括得來(如函數);3)從數學內部需要產生出來(如零指數冪)［2］.分式概念就是從整式的四則運算中產生出來的，還原數學概念的產生與發展過程，有助于幫助學生理解分式與整式的聯系與區別，更有助于幫助學生領悟研究代數式的思路與方法.然而，在這一過程中要“巧設問題”、“自然過渡”，即在數學研究的過程中積累數學活動經驗、領悟數學研究的思路與方法.

3.1 在回顧中“自然”產生新知

回顧舊知是教師開始新課之前常用的引入方式，其目的無外乎是進一步鞏固昨天所學的知識、引出新知.好的引入應注重知識的聯結并巧設契機，使學生體會到新知的“自然”產生過程.本案例中，教師在讓學生舉例說明單項式、多項式這些整式及其運算的過程中，“自然”地發現有一類式子是以前沒有接觸過的，從而使學生有學習的欲望、命名的沖動.

實際上，要使新知從舊知中“自然”產生，教師在設計教學時應同時考慮以下幾點:1)與新知密切相關的學生已有知識與經驗有哪些，這是學習新知的起點.2)新知的歷史發展過程，這為新知的教學提供了思路.Tzanakis和Arcavi認為:以知識點歷史發展順序進行教學，可以更好地幫助學生理解新知;通過歷史，教師可以更好地意識到“做數學”的創造過程，從而豐富數學素養［3］.3)如何設計從舊知引出新知.根據歷史發生原理，個體的認知發展過程與人類知識的發展過程是相似的.因此，教學設計要在尊重知識歷史發展的情況下，使學生經歷知識發生的關鍵步驟，而非歷史的重現.本案例中，教師讓學生經歷的關鍵步驟是由整式的四則運算引出新的式子.

3.2 利用相關活動經驗發展新知

分式與整式相比，分母中出現了字母.這一特征決定了分式學習的已有相關經驗除整式外還有分數.聯想整式的學習經驗(求代數值等)與分數的學習經驗(分母不等于0等)學習分式的相關知識.

數學活動經驗具有過程性，它是在數學活動過程中生成的，也是在數學活動過程中完善、拓展與提升的［4］.因此，在利用相關活動經驗時，應讓學生經歷數學知識活動的全過程.本案例中，概念的命名、定義的概括、分式學習內容的提出等基本上都是在教師適當、適時引導下，由學生自己完成整個過程，即經歷了分式學習的每一個環節.

3.3 總結反思數學“研究”歷程

為了使學生獲得比較完整、深刻的數學活動經驗，教師不僅應引導學生積極參與數學活動，還應引導他們反思數學活動、內化數學活動，完成經驗的創造、領悟、反思、內化、檢驗和重新創造［5］.案例中的最后一個環節即是在總結本節課知識要點的同時，回顧反思了分式學習的整個過程，將代數式的研究從整式擴展到了分式，拓展了活動經驗，最后提出了數與式發展的一般規律.

數學“研究”歷程有助于學生對后繼類似知識或相關知識的學習，也有助于對已有知識的理解;它是結果，更是過程.數學活動經驗的過程性特征決定了數學研究思路與方法的學習可以借助已有的數學發展歷史，讓學生在經歷數學活動的過程中得以實現.

［1］ 郭玉峰，史寧中.數學基本活動經驗:提出、理解與實踐［J］.中國教育學刊，2012(4): 42-45.

［2］ 十三院校協編組.中學數學教材教法(總論)［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［3］ Tzanakis C，Arcavi A.Integrating History of Mathematics in the Classroom:an Analytic Survey［A］.In:Fauvel J，van Maanen J.History in Mathematics Education［C］.The ICMI Study Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，2000:201-240.

［4］ 馬文杰，鮑建生.論“數學活動經驗”的基本特征［J］.數學通報，2013，52(9):9.

［5］ 仲秀英，宋乃慶.經驗學習理論對數學活動經驗教學的啟示［J］.西南大學學報:社會科學版，2009，35(6):131.