建模思想：走向數學自覺的內設橋梁

高娟

【摘 要】為培養學生的創新能力，數學建模在初中數學教學中的重要性得到進一步體現。本文從數學建模的方法、數學建模的技巧及教師在適當情況下對學生進行數學建模思想的培養這三個方面探討了初中數學教學建模的必要性。

【關鍵詞】初中數學 數學建模思想 數學建模技巧 數學建模方法

數學模型是一種為了特殊目的而對現實世界所作的一個抽象化數學結構。建立數學模型的過程稱為“數學建模”，其過程是用數學語言對實際問題的一種抽象。

一、數學建模有利于促進對問題的深入理解，發散學生的思維，提高學生解決問題的能力

1.縱向建模，促進對問題的深入理解。

數學題目中大多數剛開始很簡單，但如果追加幾個問就可能會覺得有些困難。其實這些題目大多有規律性，如果教師能及時地發現規律，并用一種固定的數學模型表示出來，不僅可以清晰地表達題目的意思，而且還可以幫助學生快速地解決問題，讓學生有一種征服數學的成就感。

[案例一]教學“用火柴棒搭圖形”

師：如圖用火柴棒搭成的圖形，搭1個三角形要3根火柴棒，搭2個三角形要5根火柴棒，搭3個三角形要7根火柴棒……問：搭10個三角形要幾根火柴棒？搭100個呢？

生：搭10個要21根，搭100個要201根。

師：你是怎么算的？

生：可以假設，搭1個是1+2，搭2個為1+2×2，搭3個為1+2×3，…，那搭10個就是1+2×10，100個就是1+2×100。

師：那在這個過程中同學們發現三角形的個數與火柴棒的根數具有什么樣的關系呢？你能用一個等式將它們的數量關系表示出來嗎？

生：設火柴棒根數為y，三角形個數為n，則有y=2n+1。

學生建構出y=2n+1這個模型，無論搭幾個三角形，只要將三角形的個數n的值代入上式中，便很快可以得出答案。這樣既加快了學生的解題速度，又加深了學生對問題的理解。

2.橫向建模，促進思維發散。

在平常的教學中，教師可以通過對某一問題的舉一反三、不斷追問將某一題型總結為一個數學模型，在建模過程中對學生進行思維訓練，從而促進學生思維的發散。

[案例二]教學“用火柴棒搭圖形”

師：接著“案例一”思考，如圖，如果搭1個正方形需要火柴棒4根，搭2個正方形需要火柴棒7根，搭3個正方形需要火柴棒10根……搭10個，100個分別需要火柴棒多少根？

生：搭10個要31根，100個要301根。

師：你們用的什么方法？

生：仿照上一個例題，可以設火柴棒根數為y，正方形個數為n，于是得到y=3n+1。

師：很好，同學們已經學會了對于同類型題目的求解，這里只要建立數學模型，將具體數值往里代入即可。再請你們思考一下，搭三角形需要的火柴棒的根數與搭正方形所需要的火柴棒的根數這兩個模型在形式上有什么區別和聯系呢？

生：區別在于一個是搭三角形，一個是搭正方形，聯系在于搭建方式一樣，得到的模型一個是y=2n+1，另一個是y=3n+1。n表示個數，y表示火柴棒根數，n的系數決定不同的圖形。

師：那如果按照此種方式搭正五邊形呢？搭10個、100個正五邊形分別需要多少根火柴棒？

生：設需要火柴棒的根數為y，個數為n，得到y=4n+1，則10個要41根，100個要401根。

師：很好，通過y=2n+1、y=3n+1、y=4n+1這三個等式的建立，同學們知道圖形的邊數與n的系數存在什么關系？

生：n的系數是圖形的邊數減1。

師：如果是m邊形，同學們能用一個數學模型將它表示出來嗎？

生：設火柴棒根數為y，多邊形邊數為m，搭建的個數為n，則有y=（m-1）n+1。

這樣的建模過程不僅教會學生多向地思考問題，更能讓學生進一步加深對此種題型的理解。

二、數學建模的技巧多樣化，根據不同的數學問題，教師采用適當的方式進行建模

1.方程模型，恰當選擇。

方程建模是初中數學教學中最常見的建模思想之一，方程是將我們生活中常見的等量關系轉化為一個數學等式來表示。不同的數學問題，應用不同的方程模型。選用恰當的數學模型解決問題，讓學生在愉快、輕松、簡單的環境下學習，可以達到事半功倍的效果。

[案例三]教學“雞兔同籠”問題

師：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾只？

生：設雞有x只，則兔有（35-x）只，由題意得2x+4（35-x）=94。

師：很好，還有其他模型嗎？

生：設雞有x只，兔有y只，由題意得2x+4y=94，x+y=35。

“雞兔同籠”問題是一道老題，通過算式也可以找到答案，但方程模型更能直觀地反映此道題目的意思，對于學過二元一次方程和一元一次方程的學生，他們更愿意用二元一次方程組去解決這個問題，此種模型思想簡單，列式容易。

2.函數模型，符合實際。

數學實際生活問題常常用復雜的語言來進行表述，文字和數字越多，越會給學生造成一種混亂感。函數建模即是對日常生活中普遍存在的實際問題的歸納加工，運用函數的辦法進行求解，可以將問題簡單化。當然這種模型的建立必須要求學生要針對確實存在的模型才可以，初中階段常見的函數模型有：（1）正比例函數模型y=kx（k≠0）；（2）反比例函數模型y=（k≠0）；（3）一次函數模型y=kx+b（k≠0）；（4）二次函數模型y=ax2+bx+c（a≠0）。運用這些基本的函數模型可以巧妙地解決數學教學中的一些難題，同時也避免了繁瑣的文字描述。

[案例四]教學“環境保護”問題

師：某地區1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解決該地區沙漠面積的變化情況，進行了連續5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據此表所給的信息進行預測：如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區的沙漠面積將大約變為多少萬公頃？

生：設沙漠面積增加數y與年份x之間的關系圖象近似地為一次函數的圖象，設y=kx+b。

將x=0.1y=0.2x=2y=0.4代入y=kx+b，解得k=0.2，b=0，即y=0.2x（x∈N）。

生：95+0.2×（2010-1995）=98（萬公頃）。

首先建立起y=0.2x這個基本模型后，問題可以快速地解決。

3.圖形模型，形象具體。

數形結合思想是初中數學學習中解決問題的一種有效方法，它用圖形本身的特點給人一種視覺上的感知，讓學生通過自己的視覺和聽覺整體感知來消化知識，從而達到對所學知識的完整性和實質性的認識。

[案例五]教學“多項式乘以多項式”

師：請計算下圖的面積，你有哪些不同的方法？并把你的算法與同學交流。

生：（1）a（c+d）+b（c+d） （2）ac+ad+bc+bd

（3）c（a+b）+d（a+b） （4）（a+b）（c+d）

師：我們知道以上4個代數式的值是一樣的，同學們可以得到什么樣的數量關系呢？

生：（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）=c（a+b）+d（a+b）=ac+ad+bc+bd。

師：于是我們選出（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）。

請學生觀察其中的規律。

通過圖形的解釋讓學生更加容易接受多項式乘以多項式的法則，理解起來更形象，讓學生在圖形中體驗數學的知識，同時也教會了學生可以借助圖形來分析問題。

三、數學建模是教師必備的一種技能，也是檢驗教師基本功的最好手段

在新課改的形勢下，對教師專業素養的要求越來越高。在教學過程中，面對著不同的教學內容和不同的課型，我們要能夠采取不同的方式進行教學才能適應新課改，從而讓學生的學習更加輕松，能夠快樂地應對各種挑戰。所以教師應抓住適當的時機向學生滲透建模思想，通過數學建模，讓數學課堂變得直觀、簡單。

1.數學建模，概念教學更簡潔。

數學概念較為抽象，通常使用一段長長的文字把某個新名詞解釋一下，而學生對于文字的記憶和理解較為困難。模型可以讓學生的思維條理化，將較為抽象的形容性的文字語言變為較為直觀的數學模型，讓學生對概念有著直觀的印象和深刻的理解，加深學生對概念的記憶。

[案例六]教學“反比例函數”

初中數學課本中函數的定義：在某一過程中有兩個變量x，y，當x在某一個范圍內取一個值時，y都有唯一的值和它對應，這時，我們說x是自變量，y是x的函數（或因變量），而反比例函數是建立在函數基礎上加上自變量和因變量的乘積為一個定值。如果就這樣跟學生解釋，有絕大部分學生不能深刻理解反比例函數的意義。但如果用數學模型抽象出反比例函數的定義，例如：一般地，形如y=（k為常數，k≠0）的函數叫反比例函數，其中x是自變量，y是x的函數。對于y=這種數學模型，能夠既簡潔又形象地將反比例函數中的數量關系表示出來，學生就更容易接受。

2.數學建模，解決實際問題更簡單。

學習數學的目的就是將數學更好地應用于實際問題的解決中，應用題教學一直是初中數學教學中的一個難點。數學模型的建立不僅可以給教師的教學打開一扇方便之門，同時又能提升學生解決問題的能力，增強學生學習數學的信心和樂趣。

[案例七]教學“相遇類追及類”應用題

師：問（1）甲、乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，則甲跑5秒可以追上乙；如果乙先跑2秒，則甲跑4秒就可以追上乙，問甲、乙的速度各為多少？

生：設甲的速度為x米每秒，乙的速度為y米每秒，由題意得5x-5y=104x-4y=2y，解得x=6y=4。

師：問（2）A、B兩地相距490千米，甲、乙兩車從兩地出發，相向而行，若同時出發，則7小時相遇；若甲先開7小時乙再出發，結果乙出發2小時后兩車相遇，求兩車速度。

生：設甲的速度為x千米每小時，乙的速度為y千米每小時，由題意得7x+7y=4907x+2x+2y=490，解得x=50y=20。

對于像這樣的應用題，學生可以借助數學模型進一步理解題意，讓實際問題變得更簡單。

現代教學要求教師不能死教書，學生不能死學習，將數學建模思想融入到數學課堂教學中，恰好能夠做到讓教師掌握好的思想方法，培養學生整體處理和創造性解決問題的能力，讓學生在不知不覺中發現問題、提出問題、分析問題并解決問題，這是數學教學的最終目標。作為新時代的教師，我們一定要能夠清醒地認識到數學課堂教學中建模思想的重要性，以及它給學生學習帶來的方便性，讓建模思想成為數學自覺內設的橋梁。

（作者單位：江蘇省淮安工業園區實驗學校）