基于排隊論的機動車道數量設計探索

□ 李 京 李 麗

一、引言

近年來隨著國家經濟突飛猛進式的增長，汽車保有量也隨之急劇上升，城市道路車流量已趨于飽和，北京市政府采取了多種措施以緩解交通擁堵如限行、搖號等，但仍然無法改善城市中心擁堵的現狀，所以進行機動車道數量的設計也是緩解交通擁堵的一種好的方法。機動車道作為交通運輸系統中最為重要的載體，在道路的通行能力上擁有著舉足輕重的地位，而車道數量是其宏觀設計的主要指標，如果車道數量不適應現有機動車流量，它就會成為交通硬件上的一個瓶頸，那么就會發生通行率低以至于堵塞的后果。所以本文通過排隊論模型對機動車道數量進行合理的規劃設計，以充分發揮車道的基本作用。

二、排隊論概述

(一)排隊論概念及發展。排隊論是研究“服務”系統因“需求”擁擠而產生等待行列及排隊的現象，以及合理協調“需求”與“服務”關系的數學理論，也稱隨機服務系統理論［1］。最早有關排隊論的著作是1909年爾蘭發表的電話交換機使用情況的論文;第二次世界大戰之后運籌學得到了蓬勃的發展，排隊論的論述已十分普及;二十世紀六十年代，排隊論的研究日趨復雜，在應用方面進入到了交通、生產、服務方面［2～4］。凡是出現擁堵現象的領域，都可以運用排隊論［5］。在道路交通系統中就存在大量的排隊現象，如信號燈、公交站、收費站［6～8］等。本文即以排隊論為基礎，對機動車道數量進行深入研究。

(二)排隊論系統。一般的排隊系統都有三個基本組成部分［9］:輸入過程;排隊規則;服務機構。圖1則為機動車道排隊系統的一般模型。

輸入即指顧客到達排隊系統。顧客的總體組成分為有限型與無限型，機動車源源不斷地到達特定的機動車道，可以看作是總體為無限型。顧客相繼到達的時間間隔有確定型和隨機型兩種，顯然通過路口的機動車到達時間不可預測，因此是隨機型的。

圖1 機動車道排隊系統一般模型

排隊規則分為即時制與等待制，機動車道上的汽車流期望通過路口就必須堅持到服務為止，因此屬于后者。且機動車按次序依次通過，符合先到先服務原則。

服務機構根據機動車道數量排隊系統可分為單隊－單服務臺情形與多隊－多服務臺情形，即單機動車道機構與多機動車道機構。和輸入過程類似，服務時間分為確定型與隨機型，顯然機動車因避讓行人、交通擁堵、信號燈變化使得通過路口的時間各有差異，所以此研究的服務時間為隨機型。

三、排隊論模型

(一)單機動車道排隊模型。圖2為單機動車道排隊模型，即M/M/1///FCFS模型。

圖2 單機動車道排隊模型

基本假設:機動車到達服從泊松分布，平均到達速率為λ(λ＞0)，相鄰兩輛車間隔時間為1/λ，機動車數為∞;服務時間相互獨立且服從負指數分布，接受服務的輸出率為μ(μ＞0)，對每輛機動車的服務時間為1/μ;一條機動車道;系統容量為∞。

指標:交通強度ρ=λ/μ。當ρ＜1時，在時間充分的條件下狀態穩定，此時的交通順暢;當ρ≥1時，狀態不穩定，隊會越來越長，呈現擁堵狀態。由差分方程與little公式等可推出以下公式:

系統中沒有機動車的概率:

系統中有n輛機動車的概率:

系統中的平均機動車數:

隊列中等待的平均機動車數:

系統中機動車平均逗留時間:

隊列中機動車平均等待時間:

(二)多機動車道排隊模型。圖3為多機動車道排隊模型，即M/M/N///FCFS模型。

圖3 多機動車道排隊模型

指標:P=λ/Nμ。假設機動車道數N＜系統中車輛數n。

系統中沒有機動車的概率:

系統中有n輛機動車的概率:

系統中的平均機動車數:

隊列中等待的平均機動車數:

系統中機動車平均逗留時間:

隊列中機動車平均等待時間:

四、數學模擬分析

假設一個單向路口的車流量為900L/h，考慮延遲因素和駕駛員理想狀態通過，每輛車通過時間為10s，對此模擬路口進行機動車道數設計。

單機動車道排隊模型:

λ =900/3600=0．25，μ =1/10=0．1，ρ =2．5 ＞1，此方案不成立

多機動車道排隊模型:

N=2:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(2*0．1)=1．25，此方案不成立。

N=3:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(3*0．1)=0．83 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．172，L5=15．210，Lq=12．170，W5=60．841，Wq=48．680。

N=4:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(4*0．1)=0．625 ＜1，此方案成立。

P0=0．612，L5=6．923，Lq=4．423，W5=27．692，Wq=17．692。

N=5:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(5*0．1)=0．50 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．832，L5=3．268，Lq=0．768，W5=13．072，Wq=3．072。

數據結果的比較如圖4、圖5所示。

圖4 當車道數分別為3、4、5時Ls、Lq值

圖5 當車道數分別為3、4、5時Ws、Wq值

通過模擬分析，發現N=1或2時，ρ＞1，排隊過長，為不穩定狀態，方案不成立;當N=3、4、5時，ρ＜1，呈穩定狀態，模型暢通，方案都成立。從表1、表2體現出的數據中，顯然機動車道數越多，排隊中的車輛越少，等待的時間越短。但是從數據變化折線的斜率可以看出，車道數從3變為4時，平均等待時間與平均等待機動車數的下降速率是顯著提高的，而車道數從4變為5時，這幾個指標的變化率相比之前顯著減少。結合現實中經濟成本方面考慮，每增加一條車道數需要占用更多的土地與資金成本。所以從此數學模擬綜合分析，機動車道數為4時基本能夠滿足交通比較順暢，經濟方面比較適中，因此選擇建設4條機動車道的方案。

五、實例評價

選取北京市海淀區五道口展春園西路作為實驗數據測量地點，選早高峰為待測時間間隔(此路段在由南向北方向有3條機動車道)。表1為在8:00～8:30的時段中每5分鐘所通過的機動車輛數，表2為在紅燈亮時及紅燈沒有亮時分別隨機取得的4輛機動車的通行時間。

表1 每時段通過的機動車輛數

表2 有無紅燈下的機動車通行時間

(一)數據計算。機動車道數N=3;車流量λ=281/1800=0．156;平均通行時間 t=(501+138)/8=79．875;通行效率 μ =1/79．875=0．013;交通強度 ρ=/(Nμ)=0．156/(3*0．013)=4 ＞1。

(二)結果評估。通過實驗測得的數據結果計算出交通強度大于1，按機動車道模型的指標可以得出在此時間間隔中交通是擁堵的。而在實際測量過程中以行人和駕駛員的經驗也認為此時段交通不順暢。所以模型得出的具體結果與實際相符，可以用來對現有機動車道數是否能使交通順暢進行評價。

六、改善方法

利用機動車道排隊模型可以規劃設計未來城市道路的機動車道數量，而因機動車道較少而引起交通擁堵可通過下面三個方法解決:

(一)拓寬馬路以增加機動車道數量。在行人與非機動車數量較少的道路上可以適當減少人行道與非機動車道的寬度，增加機動車道數量以緩解交通擁堵的現狀。這種方法的優點是成本適中，缺點是作用有限且影響行人與非機動車交通感受。

(二)將機動車道“瘦身”以增加機動車道數量。由于國家政策的變化，目前機動車道標準寬度小于從前，可以在不改變其他設施的情況下減緩擁堵現象。這種方法的優點是成本極低，基本改變其他現狀，減少駕駛員插縫隙的習慣也更加安全，缺點是增加的車道數有限且因車型大小道寬的設計需著重考慮。

(三)在車流量較大的地段建設高架。在經濟發達的大城市的車流量極大的地段可以建設高架，這也是變相增多機動車道數量以通過分流來減緩交通擁堵。它的優點是高架可以成倍地增加車道數目，特別適合車流量多的中心地帶，但缺點也很明顯，高架的成本極高，且會在一定程度上改變周圍環境。

以上三種方式都可以通過增加機動車道數目達到緩解交通擁堵的目的，它們也有各自的優缺點，在實際問題上需要具體問題具體分析，使改善方案更經濟、更合理。

七、結語

本文從滿足大型城市交通擁堵的實際情況出發，從另一角度提出利用排隊論來規劃設計機動車道數量以緩解交通擁堵的想法。通過實踐證明，機動車道排隊模型可以評價現有機動車道數是否符合機動車流量以優化改善，或者通過機動車流量來設計機動車道數量以使交通暢通。有關部門可以以此作為參考來進行未來道路的規劃建設與現有道路改善優化。

［1］孟玉珂．排隊論基礎及應用［M］．上海:同濟大學出版社，1989

［2］劉沃野，吳洪臣，吳振宇．排隊論在交通控制中的應用［J］．數理統計與管理，1996，1

［3］張于賢，李娜，肖吉軍．基于排隊論的生產線量化分析及優化［J］．制造業自動化，2014，7

［4］宋文琪，李啟亮，金芳，呂葛，蔡艷英，胡立新，張曉飛．基于排隊論的門診化驗服務效率評估與改進［J］．中國醫院管理，2014，1

［5］鄭華平，何霞．基于排隊論的交叉口交通流研究［J］．科技信息，2010，35:377 ～378

［6］孟凡星，鄔歆，蔡沁林，張偉．交通路口信號燈控制規則對駕駛員行為決策的影響［J］．中國安全科學學報，2013，23(7):43～48

［7］唐秋生，陸由付．基于多通道排隊論的公交站臺停車位優化研究［J］．湖南理工學院學報，2013，26(4):18～21

［8］劉維維．高速公路收費站設計中的排隊論模型分析［J］．黑龍江交通科技，2013，4:184～185

［9］教材編寫組．運籌學［M］．北京:清華大學出版社，2012，第4版