數學課堂活動應體現數學本質

包小東

〔關鍵詞〕 數學教學；活動；“去數學化”；數學本質

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進，數學課堂活動逐漸增多，逐漸出現了“去數學化”的現象，主要體現在以下幾個方面：學生活動開放過度，動手操作關注表象，合作交流流于形式，學生并未能從課堂活動中探究到問題本質。下面，筆者舉例淺析如何在數學課堂活動中體現數學本質。

1.阿諾卡塔游戲

在學習數列時，教師先讓學生玩“阿諾卡塔游戲”：現有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現在的任務是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規則：①圓木片只能一一搬動；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動的次數盡可能少。現有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動幾次能完成任務？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

當教師提出該問題時，學生馬上動手嘗試操作，并反復實驗，記錄操作次數，進行交流匯總，最后得到答案。學生在反復動手操作的過程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動次數記錄錯誤，沒有細化操作步驟之間的關系。筆者認為，此題是有關遞歸方法學習的一道好題，教學中要把握好以下兩個解釋數學本質的教學環節。

（1） 將該問題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡單的情況思考：1塊時需要移動1次，2塊時需要移動3次（如圖1所示），3塊時需要移動7次（如圖2所示）。啟示學生，移動3塊可以先轉化為移動2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動到C，需要3次；所以移動3塊共需要7次。移動4次的時候，可以轉化成移動3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時候需要用“3個圓盤重新摞在一起的次數”+1次+“3個圓盤重新摞在一起的次數”=15次。

（2） 對該問題進行數學本質的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時，至少需要移動多少次呢？

移動塊圓木片的游戲（移動次數記為A（n））可以轉化為先移動上面n-1塊，記移動次數為A（n-1）；接著移動最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復移動到上面，移動次數為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動次數為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關系可求得A（n）=2n-1。

2.學習平均分組問題時，提出如下題目，讓學生小組討論

題目：將6名同學平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；活動；“去數學化”；數學本質

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進，數學課堂活動逐漸增多，逐漸出現了“去數學化”的現象，主要體現在以下幾個方面：學生活動開放過度，動手操作關注表象，合作交流流于形式，學生并未能從課堂活動中探究到問題本質。下面，筆者舉例淺析如何在數學課堂活動中體現數學本質。

1.阿諾卡塔游戲

在學習數列時，教師先讓學生玩“阿諾卡塔游戲”：現有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現在的任務是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規則：①圓木片只能一一搬動；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動的次數盡可能少。現有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動幾次能完成任務？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

當教師提出該問題時，學生馬上動手嘗試操作，并反復實驗，記錄操作次數，進行交流匯總，最后得到答案。學生在反復動手操作的過程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動次數記錄錯誤，沒有細化操作步驟之間的關系。筆者認為，此題是有關遞歸方法學習的一道好題，教學中要把握好以下兩個解釋數學本質的教學環節。

（1） 將該問題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡單的情況思考：1塊時需要移動1次，2塊時需要移動3次（如圖1所示），3塊時需要移動7次（如圖2所示）。啟示學生，移動3塊可以先轉化為移動2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動到C，需要3次；所以移動3塊共需要7次。移動4次的時候，可以轉化成移動3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時候需要用“3個圓盤重新摞在一起的次數”+1次+“3個圓盤重新摞在一起的次數”=15次。

（2） 對該問題進行數學本質的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時，至少需要移動多少次呢？

移動塊圓木片的游戲（移動次數記為A（n））可以轉化為先移動上面n-1塊，記移動次數為A（n-1）；接著移動最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復移動到上面，移動次數為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動次數為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關系可求得A（n）=2n-1。

2.學習平均分組問題時，提出如下題目，讓學生小組討論

題目：將6名同學平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；活動；“去數學化”；數學本質

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）24—0123—01

隨著課程改革不斷推進，數學課堂活動逐漸增多，逐漸出現了“去數學化”的現象，主要體現在以下幾個方面：學生活動開放過度，動手操作關注表象，合作交流流于形式，學生并未能從課堂活動中探究到問題本質。下面，筆者舉例淺析如何在數學課堂活動中體現數學本質。

1.阿諾卡塔游戲

在學習數列時，教師先讓學生玩“阿諾卡塔游戲”：現有中間帶孔的圓木片，這些圓木片以從大到小的順序穿在一根竹竿A上，現在的任務是將這堆圓木片穿到其他竹竿B或C上，但必須遵循以下規則：①圓木片只能一一搬動；②大的圓木片只能放在小的圓木片下面；③搬動的次數盡可能少。現有4塊圓木片組成的阿諾卡塔，則至少移動幾次能完成任務？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

當教師提出該問題時，學生馬上動手嘗試操作，并反復實驗，記錄操作次數，進行交流匯總，最后得到答案。學生在反復動手操作的過程中，只是熟悉操作流程和防止圓木片移動次數記錄錯誤，沒有細化操作步驟之間的關系。筆者認為，此題是有關遞歸方法學習的一道好題，教學中要把握好以下兩個解釋數學本質的教學環節。

（1） 將該問題向遞歸方向遷移

阿諾卡塔游戲中，我們先從最簡單的情況思考：1塊時需要移動1次，2塊時需要移動3次（如圖1所示），3塊時需要移動7次（如圖2所示）。啟示學生，移動3塊可以先轉化為移動2塊（如圖3所示）：第一步：將兩塊木片從A移動到B，需要3次；第二步：將剩下的最大的木片從A移到C，需要1次；第三步：再將兩塊木片從B移動到C，需要3次；所以移動3塊共需要7次。移動4次的時候，可以轉化成移動3塊（如圖4所示），

因此，4塊的時候需要用“3個圓盤重新摞在一起的次數”+1次+“3個圓盤重新摞在一起的次數”=15次。

（2） 對該問題進行數學本質的揭示

該游戲中，若有n塊圓木片時，至少需要移動多少次呢？

移動塊圓木片的游戲（移動次數記為A（n））可以轉化為先移動上面n-1塊，記移動次數為A（n-1）；接著移動最下面1塊；最后將上面的n-1塊重復移動到上面，移動次數為A（n-1），所以n塊圓木片的阿諾卡塔游戲移動次數為A（n）=2A（n-1）+1（n≥2）。由A（1）=1，利用遞推關系可求得A（n）=2n-1。

2.學習平均分組問題時，提出如下題目，讓學生小組討論

題目：將6名同學平均分成兩組有多少種不同的分法？

下面是關于該問題“去數學化”的教學片斷：

編輯：謝穎麗endprint