簡而不薄 精而不拘

陳亞敏

數學是培養自律性、條理性、創造性及精確性的一門學問。高斯說：“數學是自然科學的女王?！苯逃壹永飳幷f：“數學是思維的體操?！币惶煤玫臄祵W課，能讓人回味無窮，也許并不一定每一個環節都無可挑剔，但是它一定清簡而不淺薄，精致而不拘束，綻放自己獨特的魅力，讓學生穿行其中，自由生長。

一、讓課堂綻放簡約之美

學數學，其實是學習一種化繁為簡、解決問題要有依據的數學思想，是在學習一種思維方法。因此，數學課堂要盡可能地引導學生體會到數學的價值，體會到數學那種凝練的思考之美，那種簡約的表達之美。

1.去同存異，讓“比較”化繁為簡

比較數據的大小，是數學中常見的思維訓練。從低年級“直接比較數的大小”到中高年級“比較算式的大小”，從簡單到復雜，思考的要求也越來越高。但是，如果我們教給孩子們“比較”的方法，亦能讓學生感受到“比較”所帶來的簡約之美。

例如，蘇教版數學六年級補充習題上有這樣一道題：

小蘭家有兩個不同的圓柱形水桶，高都是40厘米，大水桶的內直徑是32厘米，小水桶的內直徑是大水桶的，用大水桶提6桶水可以把水缸裝滿，用小水桶提8桶水能把水缸裝滿嗎？

這是小學數學“空間與圖形”領域的內容，考查學生對圓柱的體積（容積）計算是否能正確應用，難度不大，但是按照常規的比較，這一題的計算過程十分繁瑣，計算結果數值較大。具體如下：

①計算水缸的容積（即6個大桶的容積）

3.14×（32÷2）2×40×6=192921.6（立方厘米）。

②計算8個小桶的容積

32×=24（厘米），

3.14×（24÷2）2×40×8=144691.2（立方厘米）。

③比較192921.6﹥144691.2。

得出結論：用小水桶提8桶水不能把水缸裝滿。

結果，全班只有寥寥幾人做對，算式列對了，但是計算錯誤了。

當時，我就引導學生：是否需要通過這么繁瑣的計算來比較？比較6大桶水的體積和8小桶水的體積大小，其實只要比較什么？

學生開始討論，很快得出結論：兩個算式中都要乘以3.14和40，可以“對消”掉。等于是兩個算式同時縮小3.14×40倍，這樣比較兩個算式的大小可以簡化成比較162×6和122×8的大小了。

受此啟發，孩子們很快又想出另外的方法，只要看6大桶和8小桶水的體積比，這樣計算更簡單，可以約分，=。由此看出，8小桶水的體積只是6大桶水體積的。

我讓學生概括一下這次比較后的收獲。學生說，在比較兩個算式的大小時，不一定非要比較結果，可以根據算式的特點進行比較。如果兩個算式中有相同的數值，可以“對消”掉，直接比較算式中不同的部分，這樣比較起來更加簡單。

也許，學生的表達不是很精確，但是我想他們已經能領略其中的意思了：那就是比較可以“去同存異”，比較兩者不同的地方。

當然，我還得引導學生去突破另一個思維定勢，那就是如果要比較出具體的數據大小，是否也可以直接計算算式中不同的部分？

我追問：那你認為6大桶水比8小桶水的體積多多少？

一些學生脫口而出：162×6-122×8=1536-1152=384（立方厘米）。

“是嗎？”我反問到，“請好好想想！”

“不對！”一些原本做對的同學很激動地站起來，“應該是192921.6-144691.2=48230.4（立方厘米）。”

“怎么出現了兩種不同的答案？難道我們剛才比較的方法錯了嗎？”

學生沉默了一會，開始在小組里展開討論，很快，答案出來了：比較的方法沒錯，當我們不需要比較出兩者的具體數據時，完全可以用這樣的方法。但是，其實3.14和40并沒有真的“消掉”，在具體計算時，它們還是存在的，所以需要比較具體的結果時，它們必須乘進去。當然算式可以簡寫成3.14×40×（162×6-122×8）=3.14×40×384=48230.4（立方厘米）！

許多剛才有困惑的孩子露出了恍然大悟的表情，有幾個在嘀咕：看來數學還蠻有趣的，比較算式的大小還有這樣的學問。這次比較的思維歷程，給學生留下了深刻的印象，在接下來的學習中，開始從原來的機械比較走向化繁為簡的比較，我想這也是學生的思維從表面轉向深入的一種體現！

2.理清關系，讓思考化繁為簡

數學中，其實還有很多錯綜復雜的關系，在空間與圖形這一領域顯得尤為突出。但是一旦找準了圖形之間的關系，對于解決一些數學問題就會事半功倍了！

例如：已知圖1中，正方形的面積是10平方厘米，你知道圓的面積是多少嗎？

結果，很多孩子找不到“線索”——無法算出圓的直徑。因此有些學生最終沒能給出答案。

其實，學生的思維受到了定勢的影響，認為要算圓的面積必須先算出圓的半徑。遇到這樣的題，老師要引導學生盡量從圓與正方形之間的關系上下工夫，引導學生發現：這是正方形內最大的圓，圓的直徑就是正方形的邊長。如果將正方形這樣分（如圖2），那么10÷4=2.5，這個2.5就是圓的半徑的平方。因此，這個圓的面積就是3.14×2.5=7.85（平方厘米）。

當然，解決這樣的問題還可以抓住一些特定的關系。在蘇教版數學第十二冊第102頁中，有這樣的探究（如圖3）：

有兩個邊長都是6厘米的正方形，在其中一個正方形里畫一個最大的圓，另一個正方形里畫4個相等的盡量大的圓。

（1）圓的半徑各是多少？

（2）兩個正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

（3）如果像這樣在正方形里面畫9個相等的盡量大的圓，這9個圓的面積之和占正方形面積的幾分之幾？你發現了什么？endprint

當我們引導學生逐一探究上面的3個問題，學生會發現：像這樣在正方形里畫1、4、9、16……個盡可能大的圓，這些圓的面積之和都占正方形面積的78.5%。

利用這個知識，我們可以很快算出圖2中圓的面積是10×78.5%=7.85（平方厘米）。

因此，如果我們引領學生去發現數學中存在的各種關系，可以很好地幫助學生理解題意，尋找合理的解題策略，從復雜繁瑣的無效思考中解脫出來，感受數學思考中化繁為簡帶來的美妙體驗！

簡約的課堂總在不經意間顯得輕松和簡潔。這里，簡潔的教學方法、明快的教學節奏的背后，是教師深邃的教學思考和經驗?！昂喍槐　?，才能洗出“白水明田處，碧峰出山后”的清簡味道。

二、讓課堂綻放“厚實”之美

提高學生的數學認識，發展學生的數學思維，培養學生的數學情感是我們數學課堂教學關注的焦點，也是新課標倡導的理念。數學特級教師潘小明曾經用“冰山原理新解”對這三者之間的關系做過形象的說明：數學知識是顯性的，是浮出水面的“山頭”;數學情感是隱性的，是在水面下面支撐著整座“山”的重要基座;而數學思維是一個重要的中介，數學知識、數學情感都是寓于數學思維活動中的。我們的數學課堂教學應該注重創設有價值的問題情境，以此來構建一個有寬度、有深度的“思維場”，它開放而蘊含數學的價值，它能激活經驗，產生意向，激發創造。

1.構建有寬度的思維場

長方體與正方體的體積公式，除了有一般與特殊的關系（正方體是特殊的長方體，正方體的體積公式是長方體體積公式的特例），還有相同的內容——它們都可以用“底面積×高”來計算。《長方體和正方體的體積》這節課就是讓學生掌握這一公式。我是這樣開展教學的：

（1）觀察復習中的圖（如圖4）。

師：根據你的經驗，你認為這里的長×寬、棱長×棱長分別求的是什么？

生：下面的面積。

師：是的，我們一般稱這樣的面為底面。長方體和正方體底面的面積，叫作它們的底面積。

（2）認識長方體不同位置放置時的底面。

師出示一長方體盒子。提問：老師這兒有一個長方體，我這樣放你能指出它的底面嗎？這樣放呢？

（在不同的位置擺放長方體，每擺放一次讓學生進行指認哪個面是底面。）

提問：在剛才這個操作中，你有什么新的認識？

生：擺放位置不同，得到的底面也不同。

師：說得好，這個認識對我們解決實際問題非常重要。

對底面的拓展認識，打破了學生的思維定勢，使學生更加靈活而全面地認識到只要擺放位置不同，長方體的六個面都可以作為底面，這為今后靈活解決體積計算問題作了很好的鋪墊。其實，這一環節所呈現的問題情境把學生的思維由對底面的單一認識拓展到比較全面的認識，構建了一個有寬度的思維場。

2.構建有深度的思維場

教育學告訴我們：數學既能鍛煉人的形象思維能力，又能鍛煉人的邏輯思維能力，主體思維善于在事物的不同層次上向縱、橫兩個方向發展，向問題的深度和廣度發展，以此達成對事物的全面認識。為此，有經驗的老師不但注重構建有寬度的思維場，還努力向深處發展，引導學生構建一個既有寬度又有深度的數學思維場。

在《長方體和正方體的體積》一課的教學中，我設計了如下教學環節：

課件展示，幫助學生理解什么叫“橫截面”。

學生獨立計算，組織全班交流：木料的橫截面就是這個長方體的哪個面？木料的長與豎起來的長方體的高有什么關系？通過這道題你對底面積和高有什么新的理解嗎？（底面積和高有時可以變成橫截面面積和長）

出示下圖：

這幅圖中已知了哪個面的面積？如果知道哪條棱的長度就可以求出它的體積了？（根據學生的回答出示：寬8分米，你能口算出這個長方體的體積嗎？）

學生列式計算后交流。

提問：從這兩個問題中，你又有什么新發現？

生：解決這個問題可以把前面看作底面，把寬看作高。

師：對，不一定要以水平放置的面作底面。應根據問題的需要來決定，哪個面利于問題的解決，就確定哪個面為底面，與它垂直的棱的長度就是它對應的高。

這一環節，通過計算橫截面的面積，引導學生進一步認識這個面，并體會長方體、正方體的體積公式還能演變成長×橫截面面積、橫截面面積×棱長。而拓展題所創設的問題情境，則讓學生運用知識遷移領悟到：可以根據解決問題的實際需要來確定底面，同時把與底面垂直的棱的長度作為高，以此把長方體和正方體的體積計算挖掘得更加深刻，從而把學生的思維引向深入。通過這樣的處理，學生對體積公式有更充實、更豐富、更深入的體驗。

“厚實”的數學課堂，總會在不經意間顯示其獨特的魅力，它延伸著課堂的寬度和深度，揭示著數學問題的實質，幫助學生提高思維的凝練，從而提高數學課堂教學的有效性。你看不到故意，但是你能感受它的深度。

三、讓課堂綻放靈動之美

新課程標準最大的變化在于明確指出要關注課堂生成。我們可以有精彩的預設，可以有完美的引導，但是一切的一切還在于“精而不拘”——要在精彩的預設中把目光投向學生在課堂教學中的實際表現，投向學生的生成，投向教學與生活的聯系。

教學“打折問題”時，有一節專門的練習課，備課時我聯想到平時一直有“買幾送幾”的促銷活動，再加上曾經在練習中做過一個類似的“買四送一”的練習，想到要讓學生學會“合理選擇”，我便設計了一個拓展性的內容。商場正在促銷：A商場籃球打八折，B商場籃球買三送一。

如果單從字面上理解：B商場其實是打了七五折。但是，它有一個附帶條件：就是要買滿3個才送。因此，為了讓學生更加全面地理解“合理選擇”，我設計了三個問題：

（1）小明買一個籃球，選哪個商場？（因為只買一個，所以選擇A商場。）endprint

（2）學校買10個籃球，選哪個商場？（如果在A商場買，實際付8個籃球的錢;如果在B商場買，也是付8個的錢，先買6個，送到了2個，再買2個，所以隨便選哪個商場都是一樣的。）

（3）學校買20個籃球，選哪個商場？（如果在A商場買，實際付16個籃球的錢;如果在B商場買，只要付15個的錢，因為能送到5個，所以選B商場比較合理。）

問題出來后，孩子們開始熱烈討論起來，對于第1個，基本沒有意見，有的孩子解釋道：盡管表面上看B商場是打七五折，但是總不能為了送一個去買三個吧，小明只要一個球就可以了，所以選A商場。

第三個也沒有大的爭議。

對于第二個，可能有點難度，討論了一會兒，我啟發了一下才說到哪個商場買都是一樣的。這時，小李高高舉手，他說他有不同想法，于是請他談談想法。他說，在B商場買6個，送了2個，這樣有8個;然后跑到A商場買2個，還打到了八折。這樣不是更便宜??！

是啊，有的學生開始附和。說實話，我不得不佩服學生短時間內思考出來的方法，比我花了心思的預設要精彩！

有的學生反駁：如果兩個商場離得很遠，還得開著汽車去，那還是不要跑來跑去了！

也有道理！

驚奇于學生的思維，也很驚喜地聽到這樣與眾不同的答案。合理選擇本身沒有一定正確的答案，我的本意就是引導學生了解生活中的實際問題，在面對各種打折時作出合理的選擇，既然學生已經能這樣思考了，那么我的教學目標也就達成了。

我表揚了小李：你這樣選擇確實比我的更便宜！當然，生活中的合理選擇還有更多的情況，有的人在選擇的時候，也許不只是看重價格;有的人在選擇時，還注重商家的信譽;有的人在選擇時，可能有數量的需求等等，所以大家以后也要做出：合理選擇！

研究“蘇派教學”的專家們指出：課堂可以精耕細作，但精致不是追求極致，不是追求游離內容的形式，也不是拘泥于無意義的細節，而是在宏觀和全局的視野中去設計和生成，“活實兼重”?；钪幸妼?，實中有活，在活與實的相諧中，追索教學的智慧……是的，“精而不拘”才能使我們的數學課堂靈動而不僵化。

“簡而不薄，精而不拘”的數學課堂看似簡潔、隨意，但它會聚焦課堂教學的本質，關注學生基礎知識和基本技能的形成，關注數學思維和數學思想的形成。作為一名數學教師，要有深邃的數學教學、數學思考的能力。只有這樣，才能真正讓數學課堂清簡、靈動、厚實而又精致。？筻endprint