例舉隱含條件的作用

王彥勝

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語言、符號語言和圖形語言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識和解題經(jīng)驗基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細審題，細心推敲，切忌題意不清，倉促上陣。審數(shù)學(xué)題有時須對題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標的橋梁，尋找突破點，從而形成解題思路。從某種意義上說，解數(shù)學(xué)題是一個從題目所列項目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進行推理和運算的過程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問題的難度一般都與獲得適合問題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見的，有時是隱含的，容易令人疏忽。解題時忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會導(dǎo)致解題出錯。舉例分析如下。

一、解方程時需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯因分析：忽視對數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當且僅當x=2時，等號才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點不在定直線上，經(jīng)驗證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個內(nèi)角不超過180°這個隱含條件，當n=16時，第6項以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對的，由于條件不夠，就認為f（x）=g（x），造成錯解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點必是在原兩函數(shù)圖象的交點，這是解決曲線切線問題的關(guān)鍵。忽視切點在曲線上的隱含條件致錯。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡化問題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時候可能會幫助我們更好、更快地解決問題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問題，進行獨立思考，注重新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問題，挖掘問題的實質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨特見解。因為只有思索才能生疑解疑，透徹明悟。

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語言、符號語言和圖形語言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識和解題經(jīng)驗基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細審題，細心推敲，切忌題意不清，倉促上陣。審數(shù)學(xué)題有時須對題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標的橋梁，尋找突破點，從而形成解題思路。從某種意義上說，解數(shù)學(xué)題是一個從題目所列項目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進行推理和運算的過程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問題的難度一般都與獲得適合問題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見的，有時是隱含的，容易令人疏忽。解題時忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會導(dǎo)致解題出錯。舉例分析如下。

一、解方程時需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯因分析：忽視對數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當且僅當x=2時，等號才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點不在定直線上，經(jīng)驗證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個內(nèi)角不超過180°這個隱含條件，當n=16時，第6項以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對的，由于條件不夠，就認為f（x）=g（x），造成錯解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點必是在原兩函數(shù)圖象的交點，這是解決曲線切線問題的關(guān)鍵。忽視切點在曲線上的隱含條件致錯。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡化問題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時候可能會幫助我們更好、更快地解決問題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問題，進行獨立思考，注重新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問題，挖掘問題的實質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨特見解。因為只有思索才能生疑解疑，透徹明悟。

審題是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)題是由文字語言、符號語言和圖形語言構(gòu)成的，拿到題目要“寧停三分，不搶一秒”，要在已有知識和解題經(jīng)驗基礎(chǔ)上，逐字逐句仔細審題，細心推敲，切忌題意不清，倉促上陣。審數(shù)學(xué)題有時須對題意逐句“翻譯”，隱含條件轉(zhuǎn)化為明顯條件;有時需聯(lián)系題設(shè)與結(jié)論，前后呼應(yīng)挖掘構(gòu)建題設(shè)與目標的橋梁，尋找突破點，從而形成解題思路。從某種意義上說，解數(shù)學(xué)題是一個從題目所列項目中不斷地挖掘并利用其中的隱含條件進行推理和運算的過程。一道題，如果由題目中明顯給定的條件解決不了，而適用的隱含條件一時又難以找到，這就構(gòu)成了所謂“難題”。問題的難度一般都與獲得適合問題解決的隱含信息的艱難程度成正比。因此，一道數(shù)學(xué)題，尤其是結(jié)構(gòu)靈活、抽象多變的“難題”，能否正確、迅速、合理地獲解，關(guān)鍵在于能否準確地挖掘并使用題中的隱含條件。

題設(shè)條件是解數(shù)學(xué)題的基本依據(jù)。但題設(shè)條件并不常常都是顯而易見的，有時是隱含的，容易令人疏忽。解題時忽視了題設(shè)的某些隱含條件，就會導(dǎo)致解題出錯。舉例分析如下。

一、解方程時需要注意題中所隱含的一些特殊條件

例1：解方程x（1+logx2）=0。

錯解：由因式乘積得x=0或1+logx2=0。

正解：由對數(shù)式可知x>0，故方程只有一解。

錯因分析：忽視對數(shù)中真數(shù)大于0的條件。

解方程中還易出現(xiàn)一些忽視隱含條件的情況，如盲目移項、平方等。

二、利用不等式求函數(shù)值域

例2：已知函數(shù)y=■+x，（x≥3），求值域。

錯解：直接利用不等式性質(zhì)得：y=x+■≥2■=4。

錯因分析：忽視不等式取等條件“一正、二定、三等”，當且僅當x=2時，等號才成立。而本題x取不到2，應(yīng)該改變策略，利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來解決此題。

三、解析幾何中定義解題

例3：平面內(nèi)，到點A（3，-2）的距離與到直線L：2x+3y=0 的距離相等的點的軌跡是（ ?）

A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線

錯解：由圓錐曲線統(tǒng)一定義知答案為C。

剖析：圓錐曲線的統(tǒng)一定義隱含著定點不在定直線上，經(jīng)驗證：本題恰有A∈L，因此應(yīng)選D。

四、平面幾何性質(zhì)問題

例4：已知凸多邊形的內(nèi)角依次成等差數(shù)列，其最小角等于120°，公差等于5°，求多邊形的邊數(shù)。

錯解：設(shè)邊數(shù)為n，則（n-2）×180°=120°·n+■×5°。

解得：邊數(shù)為9或16。

剖析：此題忽視了n邊形的每個內(nèi)角不超過180°這個隱含條件，當n=16時，第6項以后均>180°，故正n邊形的邊數(shù)應(yīng)為9。

五、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義解題

例5：已知b>-1，c>0，函數(shù)f（x）=x+b的圖象與函數(shù)g（x）=x2+bx+c的圖象相切。求b與c的關(guān)系式（用c表示b）。

錯解：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)就是曲線的切線方程知，f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■，從而有x+b=x2+bx+c？圯c=b

正解：依題意令f′（x）=g′（x），得2x+b=1，故x=■。由于f（■）=g（■），得（b+1）2=4c，∵b>-1，c>0，∴b=-1+2■。

分析：本題前面得到x=■是對的，由于條件不夠，就認為f（x）=g（x），造成錯解，再由f′（x）=g′（x）得到x=■，就應(yīng)想切線的交點必是在原兩函數(shù)圖象的交點，這是解決曲線切線問題的關(guān)鍵。忽視切點在曲線上的隱含條件致錯。

六、發(fā)現(xiàn)隱含條件簡化問題

例6：設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)。試解關(guān)于a的不等式f（2a2+a+1）<f（3a2-2a+1）。

分析：已知單調(diào)區(qū)間，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。而這里面有個隱含條件是2a2+a+1=2（a+■）2+■>0;3a2-2a+1=3（a-■）2+■>0在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，故由已知f（2a2+a+1）>f（3a2-2a+1）再由函數(shù)奇偶性及隱含條件得2a2+a+1>3a2-a+1即0<a<3。

從上述例題中，我們知道忽視隱含條件可能問題解決得不夠完整，如果發(fā)現(xiàn)了隱含條件有的時候可能會幫助我們更好、更快地解決問題。所以在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要遵循認識規(guī)律，善于開動腦筋，積極主動去發(fā)現(xiàn)問題，進行獨立思考，注重新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，把握概念的內(nèi)涵和外延，做到一題多解、一題多變，不滿足于現(xiàn)成的思路和結(jié)論，善于從多側(cè)面、多方位思考問題，挖掘問題的實質(zhì)，勇于發(fā)表自己的獨特見解。因為只有思索才能生疑解疑，透徹明悟。