關于二維連續型隨機變量中的積分計算問題

陳向陽

摘 要：本文主要討論了概率論中二維連續型隨機變量分布的積分計算問題，并給出了求解此類積分的步驟與簡單實用的方法。

關鍵詞：二維隨機變量;重積分;計算

一、引言

概率論中積分的計算是學生深感頭疼的問題。對于一維連續型隨機變量分布的積分基本沒問題，但對于二維連續型隨機變量的分布，很多學生就不知所措了。因此，本文對概率論中二維連續型隨機變量中重積分的計算進行歸納整理，得出簡單實用的計算方法。

二、二維連續型隨機變量中積分的計算

1.二維連續型隨機變量中概率的計算

命題1：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），D為xoy平面上的區域，則（X，Y）落入D內的概率為P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的關鍵在于二重積分的計算。事實上，只需三步即可準確無誤地計算出結果，第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形，第二步，畫出平面區域D與上述非零區域的公共部分區域;第三步，根據公共部分區域的形狀定出x，y的積分限計算二次積分即可。

例1：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00 ? 其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形（第一象限整個區域）;第二步，畫出區域D：Y≤X的圖形與f（x，y）的非零區域的公共部分區域（第一象限的角平分線下方部分區域），第三步，根據其為X型區域，分別定出x，y的積分限為{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二維連續型隨機變量中邊緣概率密度的計算

命題2：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則X和Y作為一維連續型隨機變量，其邊緣概率密度分別為fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

計算邊緣概率密度的關鍵是計算上述積分，下面以例子來說明積分方法和步驟。

例2：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10 ? ?其他

求邊緣概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域（第一象限的上三角形區域）;第二步，定積分限，作與積分變量相同的坐標軸（分別是x軸和y軸）的平行線去穿過上述非零區域，找出穿入點（分別為x和0）和穿出點（分別為1和y）即為積分的下限和上限。從而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10 ? ? ?其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10 ? ? 其他

3.二維連續型隨機變量函數的概率密度的計算

二維連續型隨機變量函數的概率密度的求法是難點，難在重積分的計算，下面以二維連續型隨機變量的和的分布為例介紹積分的方法和步驟。

命題3：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的概率密度為fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特別地當X和Y獨立時，設X和Y的邊緣概率密度分別為fX（x）和fY（y），則上面的公式可化為fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命題給出了兩個隨機變量的和的概率密度計算公式，但要計算結果關鍵是掌握積分的方法。

例3：設隨機變量X和Y獨立，若X服從（0，1）上的均勻分布，Y服從參數為1的指數分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z ?0<z≤10 ? ?其他0 ? ?其他

其中的關鍵在于上述第二個等號的積分限如何確定：第一步，在zox坐標平面上畫出被積函數的非零區域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因為是對變量x積分，作平行于x軸的平行線去穿過該區域，穿入點和穿出點即為積分的上下限。

三、結束語

通過以上分析，在計算二維連續型隨機變量的積分問題時，由上述介紹的方法，只要三步即畫圖、定限、計算，即可準確無誤地計算出相應的積分，從而對二維連續型隨機變量的積分問題得到很好解決，得出關于計算二維連續型隨機變量積分的簡單、實用的方法。

參考文獻：

[1]徐安農，黃文韜，李郴良.概率論與數理統計（理工類）[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

摘 要：本文主要討論了概率論中二維連續型隨機變量分布的積分計算問題，并給出了求解此類積分的步驟與簡單實用的方法。

關鍵詞：二維隨機變量;重積分;計算

一、引言

概率論中積分的計算是學生深感頭疼的問題。對于一維連續型隨機變量分布的積分基本沒問題，但對于二維連續型隨機變量的分布，很多學生就不知所措了。因此，本文對概率論中二維連續型隨機變量中重積分的計算進行歸納整理，得出簡單實用的計算方法。

二、二維連續型隨機變量中積分的計算

1.二維連續型隨機變量中概率的計算

命題1：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），D為xoy平面上的區域，則（X，Y）落入D內的概率為P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的關鍵在于二重積分的計算。事實上，只需三步即可準確無誤地計算出結果，第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形，第二步，畫出平面區域D與上述非零區域的公共部分區域;第三步，根據公共部分區域的形狀定出x，y的積分限計算二次積分即可。

例1：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00 ? 其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形（第一象限整個區域）;第二步，畫出區域D：Y≤X的圖形與f（x，y）的非零區域的公共部分區域（第一象限的角平分線下方部分區域），第三步，根據其為X型區域，分別定出x，y的積分限為{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二維連續型隨機變量中邊緣概率密度的計算

命題2：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則X和Y作為一維連續型隨機變量，其邊緣概率密度分別為fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

計算邊緣概率密度的關鍵是計算上述積分，下面以例子來說明積分方法和步驟。

例2：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10 ? ?其他

求邊緣概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域（第一象限的上三角形區域）;第二步，定積分限，作與積分變量相同的坐標軸（分別是x軸和y軸）的平行線去穿過上述非零區域，找出穿入點（分別為x和0）和穿出點（分別為1和y）即為積分的下限和上限。從而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10 ? ? ?其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10 ? ? 其他

3.二維連續型隨機變量函數的概率密度的計算

二維連續型隨機變量函數的概率密度的求法是難點，難在重積分的計算，下面以二維連續型隨機變量的和的分布為例介紹積分的方法和步驟。

命題3：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的概率密度為fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特別地當X和Y獨立時，設X和Y的邊緣概率密度分別為fX（x）和fY（y），則上面的公式可化為fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命題給出了兩個隨機變量的和的概率密度計算公式，但要計算結果關鍵是掌握積分的方法。

例3：設隨機變量X和Y獨立，若X服從（0，1）上的均勻分布，Y服從參數為1的指數分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z ?0<z≤10 ? ?其他0 ? ?其他

其中的關鍵在于上述第二個等號的積分限如何確定：第一步，在zox坐標平面上畫出被積函數的非零區域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因為是對變量x積分，作平行于x軸的平行線去穿過該區域，穿入點和穿出點即為積分的上下限。

三、結束語

通過以上分析，在計算二維連續型隨機變量的積分問題時，由上述介紹的方法，只要三步即畫圖、定限、計算，即可準確無誤地計算出相應的積分，從而對二維連續型隨機變量的積分問題得到很好解決，得出關于計算二維連續型隨機變量積分的簡單、實用的方法。

參考文獻：

[1]徐安農，黃文韜，李郴良.概率論與數理統計（理工類）[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

摘 要：本文主要討論了概率論中二維連續型隨機變量分布的積分計算問題，并給出了求解此類積分的步驟與簡單實用的方法。

關鍵詞：二維隨機變量;重積分;計算

一、引言

概率論中積分的計算是學生深感頭疼的問題。對于一維連續型隨機變量分布的積分基本沒問題，但對于二維連續型隨機變量的分布，很多學生就不知所措了。因此，本文對概率論中二維連續型隨機變量中重積分的計算進行歸納整理，得出簡單實用的計算方法。

二、二維連續型隨機變量中積分的計算

1.二維連續型隨機變量中概率的計算

命題1：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），D為xoy平面上的區域，則（X，Y）落入D內的概率為P{（x，y）∈D}=■f（x，y）dxdy。

求上述概率的關鍵在于二重積分的計算。事實上，只需三步即可準確無誤地計算出結果，第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形，第二步，畫出平面區域D與上述非零區域的公共部分區域;第三步，根據公共部分區域的形狀定出x，y的積分限計算二次積分即可。

例1：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）2e-（2x+y） x>0，y>00 ? 其他

求概率P{Y≤X}。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域的圖形（第一象限整個區域）;第二步，畫出區域D：Y≤X的圖形與f（x，y）的非零區域的公共部分區域（第一象限的角平分線下方部分區域），第三步，根據其為X型區域，分別定出x，y的積分限為{0<x<+∞，0<y<x}。

2.二維連續型隨機變量中邊緣概率密度的計算

命題2：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則X和Y作為一維連續型隨機變量，其邊緣概率密度分別為fX（x）=■f（x，y）dy和fY（y）=■f（x，y）dx。

計算邊緣概率密度的關鍵是計算上述積分，下面以例子來說明積分方法和步驟。

例2：設二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=4.8y（2-x） 0≤x≤1，x≤y≤10 ? ?其他

求邊緣概率密度fX（x），fY（y）。

第一步，畫出f（x，y）的非零區域（第一象限的上三角形區域）;第二步，定積分限，作與積分變量相同的坐標軸（分別是x軸和y軸）的平行線去穿過上述非零區域，找出穿入點（分別為x和0）和穿出點（分別為1和y）即為積分的下限和上限。從而有fX（x）=■f（x，y）dy=■4.8y（2-x）dy 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4（2-x）（1-x2） 0≤x≤10 ? ? ?其他

fY（y）=■f（x，y）dx=■4.8y（2-x）dx 0≤x≤10 ? ? ?其他

=2.4y（4y-y2） 0≤x≤10 ? ? 其他

3.二維連續型隨機變量函數的概率密度的計算

二維連續型隨機變量函數的概率密度的求法是難點，難在重積分的計算，下面以二維連續型隨機變量的和的分布為例介紹積分的方法和步驟。

命題3：設（X，Y）的聯合概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的概率密度為fZ（z）=■f（x，z-x）dx或fZ（z）=■f（z-y，y）dy;特別地當X和Y獨立時，設X和Y的邊緣概率密度分別為fX（x）和fY（y），則上面的公式可化為fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=■fX（z-y）fY（y）dy。

上述命題給出了兩個隨機變量的和的概率密度計算公式，但要計算結果關鍵是掌握積分的方法。

例3：設隨機變量X和Y獨立，若X服從（0，1）上的均勻分布，Y服從參數為1的指數分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度。

由于X～fX（x）=fX（x）=1 0<x<10 其他，Y～fY（Y）=e-y y>00 其他，

fZ（z）=■fX（x）fY（z-x）dx

=■e-（z-x）dx z>1■e-（z-x）dx 0<z≤1=e1-z-e-z z>11-e-z ?0<z≤10 ? ?其他0 ? ?其他

其中的關鍵在于上述第二個等號的積分限如何確定：第一步，在zox坐標平面上畫出被積函數的非零區域x>0z-x>0即x>0z>x;第二步，因為是對變量x積分，作平行于x軸的平行線去穿過該區域，穿入點和穿出點即為積分的上下限。

三、結束語

通過以上分析，在計算二維連續型隨機變量的積分問題時，由上述介紹的方法，只要三步即畫圖、定限、計算，即可準確無誤地計算出相應的積分，從而對二維連續型隨機變量的積分問題得到很好解決，得出關于計算二維連續型隨機變量積分的簡單、實用的方法。

參考文獻：

[1]徐安農，黃文韜，李郴良.概率論與數理統計（理工類）[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.