點擊高考中的線性規劃問題

蔣平

一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值的問題稱為線性規劃問題.近幾年，線性規劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現，逐漸從簡單的線性規劃問題向含參數類的綜合問題轉變.以下筆者對各省市高考卷中出現的線性規劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規劃問題

線性規劃問題的核心思想是數形結合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標函數所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標函數的含參情況，現將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標函數不含參數

例1：（2013天津卷）設變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標函數z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標函數變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標函數取得最小值，將點A（5，3）坐標代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設實數x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標函數含參數

例3：（2013浙江文科卷）設z=kx+y，其中實數x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標函數變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數

例4：（2013新課標II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標函數變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設關于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當x=m經過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標函數均含參數

例6（2011湖南卷）設m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標函數z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標函數變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規劃與其他知識點的結合

近幾年，線性規劃問題在高考卷中逐漸走向含參數類的綜合問題，同時也和其他知識點結合起來考查，提高了學生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）.若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導數求切線方程與線性規劃的簡單結合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標軸圍成三角形區域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數量積與線性規劃的簡單結合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉化為簡單線性規劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].

一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值的問題稱為線性規劃問題.近幾年，線性規劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現，逐漸從簡單的線性規劃問題向含參數類的綜合問題轉變.以下筆者對各省市高考卷中出現的線性規劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規劃問題

線性規劃問題的核心思想是數形結合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標函數所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標函數的含參情況，現將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標函數不含參數

例1：（2013天津卷）設變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標函數z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標函數變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標函數取得最小值，將點A（5，3）坐標代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設實數x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標函數含參數

例3：（2013浙江文科卷）設z=kx+y，其中實數x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標函數變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數

例4：（2013新課標II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標函數變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設關于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當x=m經過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標函數均含參數

例6（2011湖南卷）設m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標函數z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標函數變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規劃與其他知識點的結合

近幾年，線性規劃問題在高考卷中逐漸走向含參數類的綜合問題，同時也和其他知識點結合起來考查，提高了學生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）.若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導數求切線方程與線性規劃的簡單結合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標軸圍成三角形區域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數量積與線性規劃的簡單結合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉化為簡單線性規劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].

一般地，在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值的問題稱為線性規劃問題.近幾年，線性規劃問題在各省份的高考卷中頻頻出現，逐漸從簡單的線性規劃問題向含參數類的綜合問題轉變.以下筆者對各省市高考卷中出現的線性規劃問題進行歸納和整理，望與讀者共勉.

一、簡單線性規劃問題

線性規劃問題的核心思想是數形結合，解決此類問題一般分三個步驟：畫（畫出可行域）、移（平移目標函數所得直線）、求（解方程組求最值）.按照約束條件和目標函數的含參情況，現將問題分為以下四類：

1.約束條件和目標函數不含參數

例1：（2013天津卷）設變量x，y滿足約束條件3x+y-6≥0x-y-2≤0y-3≤0，則目標函數z=y-2x的最小值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖1所示，將目標函數變形為y=2x+z，平移直線y=2x得過點A時目標函數取得最小值，將點A（5，3）坐標代入z=y-2x得：z■=-7.

圖1

例2：（2011浙江卷）設實數x，y滿足不等式組x+2y-5>02x+y-7>0x≥0，y≥0，且x，y為整數，則3x+4y的最小值是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖2所示，令z=3x+4y，則y=-■+■，直線x+2y-5=0與直線2x+y-7=0的交點為A（3，1），因為x，y為整數，所以平移直線y=-■x過點B（4，1）時，z取得最小值16.

圖2

2.目標函數含參數

例3：（2013浙江文科卷）設z=kx+y，其中實數x，y滿足x≥2x-2y+4≥02x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實數k=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖3所示，將目標函數變形為y=-kx+z，若x=0，與題意矛盾;若k>0，則z=kx+y在點A（4，4）處取得最大值，此時k=2;若k<0，則z=kx+y在點A（4，4）或點B（2，3）處取得最大值，此時k=2或k=■矛盾，綜上，k=2.

圖3

變式：（2013全國大綱卷）記不等式組x≥0x+3y≥43x+y≤4，所表示的平面區域為D，若直線y=a（x+1）與D有公共點，則a的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖4所示，因為y=a（x+1）過頂點A（-1，0），所以由圖可得，k■

圖4

3.約束條件含參數

例4：（2013新課標II卷）已知a>0，x，y滿足約束條件x≥1x+y≤3y≥a（x-3），若z=2x+y的最小值為1，則a=？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖5所示，將目標函數變形為y=-2x+z，平移直線y=-2x過點A（1，2a）時z=2x+y取得最小值1，代值解得a=■.

圖5

例5：（2013北京卷）設關于x，y的不等式組2x-y+1>0x+m<3y-m>0表示的平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，求得m的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：滿足約束條件的可行域如圖6所示，若平面區域內存在點P（x■，y■）滿足x■-2y■=2，則點A（-m，m）在直線x-2y=2的下方，即m<-■.

圖6

變式（2012福建卷）若函數y=2■圖像上存在點（x，y）滿足約束條件x+y-3≤0x-2y-3≤0x≥m，則實數m的最大值為？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：如圖7，當x=m經過直線x+y-3=0和y=2■的交點A（1，2）時，m取得最大值1.

圖7

4.約束條件和目標函數均含參數

例6（2011湖南卷）設m>1，在約束條件y≥xy≤mxx+y≤1下，目標函數z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為？搖 ? ? ? ?？搖.

圖8

分析：滿足約束條件的可行域如圖8所示，將目標函數變形為y=-■+■，因為m>1，由圖可得，z=x+my在點A（■，■）處取得最大值，即■+■<2，解得1

二、拓展：線性規劃與其他知識點的結合

近幾年，線性規劃問題在高考卷中逐漸走向含參數類的綜合問題，同時也和其他知識點結合起來考查，提高了學生分析問題和解決問題能力的要求.

例7：（2013江蘇卷）拋物線y=x■在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D（包含三角形內部和邊界）.若點P（x，y）是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是利用導數求切線方程與線性規劃的簡單結合，拋物線y=x■在x=1處的切線為2x-y-1=0，與兩坐標軸圍成三角形區域為D如圖9所示，令z=x+2y，則y=-■+■，易得x+2y的取值范圍是[2，■].

圖9

例8：（2011福建卷）已知O是坐標原點，點A（-1，1），若點M（x，y）為平面區域x+y≥2x≤1y≤2上的一個動點，則■·■的取值范圍是？搖 ? ? ? ?？搖.

分析：本題是向量的數量積與線性規劃的簡單結合，■·■=-x+y，令z=-x+y，則形似向量的問題就轉化為簡單線性規劃問題，易得■·■的取值范圍是[0，2].