學會“數學思考”的兩層次本原性問題研究

李靜　王秀蘭

摘要：“數學思考”是數學學習的重要目標和手段。學會“數學思考”應關注兩層次數學本原性問題的設置，以及在教學活動中利用兩層次數學本原性問題促動學生學習。

關鍵詞：數學思考 本原性問題 設置

學會思考是數學新課程的課程目標，也是達到課程目標的重要手段。不同國家的數學家和數學教育家都認識到，學會數學思考對“學好數學”和“好學數學”起著重大作用。學會數學思考，是數學素質提高、數學思維能力和創新意識培養的重要舉措。但是如何促動學生數學思考，如何學會數學思考，或者說數學思考的路徑應是什么？常規的說法，設置思考問題。但是，設置什么樣問題？如何設置？如何引導學生解決這些問題？解決問題的標準是什么？所有這些應起什么作用？其依據是什么？等等。對于這些問題的研究，可以從根本上解決一直困擾一線教師“如何培養學生學會‘數學思考？”的教學難題。

世界著名數學家R.柯朗說過[1]，數學學科關鍵在于結構與關系要與“可驗證的”事實相符合。這就是說，數學研究或學習，需要基于自身經驗對結構和關系的一切可能想象和與“可驗證的”事實相符合的驗證或理解，即為數學思考。為此，英國著名的數學家和數學教育家斯根普特別強調數學關系性理解（relational understanding）[2]，認為關系性理解是指“不僅知道要做什么，而且知道理由”，涉及到數學知識內容的整體和局部、宏觀和微觀的理解或思考。何為整體宏觀理解？何為局部微觀理解？理解什么？思考什么？數學思考需要從宏觀哲學思考到微觀結構思考，我們以為，其路徑應是兩層次的數學本原性問題訓練。以下探討“兩層次本原性問題”的內涵、設置和實施。

一、兩層次數學本原性問題

《義務教育數學課程標準（2011版）》課程目標關于“數學思考”有以下闡述[3]：

·建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維。

·體會統計方法的意義，發展數據分析觀念，感受隨機現象。

·在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。

·學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。

由此可以看出，“數學思考”主要是關于數與代數概念間運算關系及模式、圖形與幾何位置關系及結構、數據統計及關系推斷等的認識和信念，甚至一些基本的原始樸素的觀點和看法，是科學研究的入口，學習的動力源泉。“數學思考”旨在圍繞數學觀或數學思維方式，發展學生的數學認識能力、合情推理能力、演繹推理能力等。這既涉及到數學內容的宏觀或整體價值認識，又涉及到數學內容的微觀或關系直覺推理，因而可追溯為一種數學本真或本原的思考。

“本原”是哲學本體論中的一個術語，指事物的原始根源或構成世界的最根本實體。哲學上對“本原”的思考凸顯為一種刨根問底的探尋精神，始終把理解世界的“始基”或“構成要素”作為第一問題。這里并非從哲學角度來探討，而是借用哲學中對“本原”的思考和理解方式，從數學學科教學論角度來探討促進學生深刻理解數學內容及其本質的“數學本原性問題”，即考慮對師生尤其是對學生而言，哪些問題反映了數學學習主題中最為樸素、原始、本質的思想、方法和觀念。因為“本原問題”是人類天然好奇心的表現，也是激發學生學習的原動力[4]。

數學知識體系是建立在概念定義、命題定理、證明推導之上的演繹體系，客觀上給學生的理解造成了困難。其學習時不但需要關于一些常規性知識問題來驅動學生對數學探究，而且更需要從數學整體結構乃至本原，抑或數學哲學層面把握數學知識發生發展過程。這需要設置本原性宏觀問題和微觀問題，促動學生主動學習與探究，加深數學內容知識的理解。

二、兩層次數學本原性問題的設置

“宏觀問題”整體上單刀直面指向材料，“微觀問題”微觀上提綱挈領回味真諦。“宏觀問題”只是幫助學生的數學哲學思考，“微觀問題”只是幫助學生的數學研究思考。這些問題沒有也不要求具體準確答案，只是引導學生學會數學思考，為教師教授打好鋪墊，提高師生互動質量。

這類問題，不是單純的“是什么”，也不是單純的“為什么”？而是知識產生的緣由、意義或方法，以及知識發展的各種選擇的緣由，甚至是解決問題的信念或經驗，是一種哲學思考，更多的是一種數學發現研究或數學認知學習的緘默知識，是學好數學必備的一種知識，久而久之，發展成一種數學思考能力。我們應從數學學習和教學的角度看數學學習中的這兩類本原性問題的設置。

比如當你第一次上你岳母家或婆家，會涉及一個起始問題和一個結論問題。

起始問題（或宏觀問題）：基于你對象的描述以及一些電話聲音、相片等資料，以及他（她）父母從事的職業養成的共性特征，你在走進門之前，會猜想或想象——他（她）父母可能是比較開明的人吧？喜歡談論比較有層次話題？可能對我比較友好？對我友好的緣由可能是我有才華？或者其他？——或者相反的想象及緣由。

結論問題（或微觀問題）：通過與你對象家人的談話、交流，甚至他們的眼神，口氣，以及其他成員的流露，吃飯等活動后，你走出去以后，會回憶或思考——他（她）父母是這樣的人嗎？母親說了算嗎？家人關系真的那么不好？是否真喜歡談論國家大事？真喜歡我和我的職業嗎？我以后應該怎么做呢？這些現象的真實緣由是由于我經濟條件好？還是其他？——或者相反的結論及緣由。

這些問題及思考自然而然地成為你進一步了解有關人和事真面目、真緣由的動力和路徑。

類似地，對數學內容的理解，也應在“起始問題（或宏觀問題）”和“結論問題（或微觀問題）”上有所思考。“宏觀問題”幫助學生比較粗放地了解或認識“材料內容”，做到以舊帶新，激發學習興趣；“微觀問題”幫助學生微觀地探究或研究“材料內容”，驅動學生把握數學本質。這些問題可以幫助學生“認識——探究”，會給學生指明高效學習與能力提高的路徑。

設置的問題不易太多，要概括和精煉，以“導學思考”的形式呈現出來。可以促動學生課前思考、課上聚焦實質、課后總結反思。

例如：初中數學《變量與函數》一節

導學思考：

（1）現實生活中有變量和常量，變量為什么“變”呢？請給這種“變”的關系起個名字。（評：以舊帶新，宏觀掃描，本原思考——常識性思考）

（2）表示函數關系的方式為什么有三種？解析法、列表法和圖象法的區別和聯系是什么？（評：直達本質，微觀聯系，促動探究——學術性思考）

導學思考在于激發學生積極思考，它是數學家研究思考的問題和數學認知家考察的問題，這是數學元認知精華。通過這些本原性問題驅動，引誘學生進入知識圈后，也能看到走出知識迷宮的線路或路徑。

例如：初中數學《圓周角》一節

導學思考：

（1）將圓心角的頂點移到圓周上，而圓心角與圓兩交點不動，其角度如何變換？與圓心角度數有關系嗎？（評：針對背景→理解，以舊帶新的高位反問——入口）

（2）圓周角與圓心相對位置關系有幾種？每一種位置為什么都滿足圓周角定理？（評：針對理解→鞏固，內部聯絡的低位思考——出口）

基于這些問題，聯系以往知識，激發學生對新知識“研究”或者“好奇”，使學習遵循著“先由外到內，后由內到外”，即華羅庚先生所說：“由薄到厚，由厚到薄”，這是一種元認知的設計，還不全是認知的問題。

三、兩層次數學本原性問題促動學生學習的實施

1.教師研究教學內容

首先，教師在設置一節課的兩層次本原性問題時，多涉獵各種版本教材或其他相關數學哲學材料或初等數學研究等，以現有教材為改造范本，形成自己的教材體系，尋找知識本質的學習和探究路徑。

然后，教師針對具體教學內容，基于學生目前所掌握的知識以及思維水平，思考這些內容是怎樣因時因地因生研究出來的呢？是實際問題需要？還是數學美追求？按照什么規則得到的呢？類比推理、歸納推理、還是演繹推理？類似于數學家研究或發現這些知識，進行路徑的設計。這是一種宏觀本原性問題的思考。

接著，教師聚焦于具體的知識內容本質以及前后內在之間的聯系。考察概念的本質，命題推證的依據，公式應用條件的緣由，知識內容應用范圍的分析，等等。基于廣義知識分類，搞清楚陳述性、程序性和策略性等知識的產生緣由，使得學生由表及里地形成知識產生過程中的信念和緣由，激發學生學習探究的熱情，形成比較靈活的良好認知結構。這些過程性的探究，可以轉化為微觀本原性問題。

2.課前呈現導學思考

教師悟道出本節課內容的兩類本原性問題，以“導學思考”的形式在課前呈現在學生面前，讓學生帶著這些問題進行預習。當然，也可以提前一天布置下去“導學思考”問題。

學生預習后，教師針對問題，啟發學生進行回答討論，回答可以正確，也可以錯誤，只要有所思考，就是一種收獲，它都有利于知識的深入學習。問題旨在促進思考，不在乎回答正確與否。再說這種本原性問題本身就沒有一個確切的答案，它是一個由模糊到清晰，無序到有序的路徑或一個引子。這種原始本能的探究或好奇是人類科學發展的動力，一旦開發出來，將爆發出巨大的學習能量。這樣，學生也不會因為自己的思考不符合答案標準而膽怯，它只會因此營造一種相互討論交流，思維火花碰撞的氛圍。既體現了新課程探究合作理念，又符合了新課程“人人獲得成功”和“以人為本”的育人發展評價理念。由此為進一步探究打好了鋪墊，也為本節課指明了方向。

3.問題導向教學活動

學生討論回答完“導學思考”本原性問題后，學生的頭腦中也就形成了該節課的大致輪廓，對接了認知根源，勾畫了認知地圖。教師因勢利導地進行師生活動，以“宏觀問題”作為研究方向，撥開知識的外殼，暴露出知識的狀態；以“微觀問題”作為探究目標，賦予知識新的自我意義，凝聚成自我的認知結構。

4.活動小結回顧問題

學生經過數學學習活動后，基本上對本節數學知識有了比較清楚的認識和比較深刻的理解。但還需要教師及時引導學生回顧“導學思考”中的問題，加深學生的數學理解和鞏固。這將有助于學生研究性地完成作業和激發其進一步學習數學的欲望。

數學教學應該依據教學任務、教學對象和教學環境，找出切實可行的方案，變學生被動接受為主動探究。本原性問題驅動下的數學教學實施[5]，可以促使學生思考數學，熱愛數學，數學自學能力和理解能力得到提高。重要的是，教學時，師生有了活動方向感，學生主體性得到了發揮，學習潛在能量得到了釋放。這正如諾貝爾獎獲得者費曼說過科學知識教學：“首先弄清楚為什么要讓學生學這個主題，您想要學生知道些什么，而教的方法多多少少會來自常識。”這里所謂常識，是指對于事物本身的真正本質的真知灼見，也就是本原性問題思考，因而能用簡單易懂的語言表述出來。

參考文獻

[1] R.柯朗.數學是什么.汪浩，等譯.長沙：湖南教育出版社，1985.

[2] 鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程.上海：上海教育出版社，2009.

[3] 教育部.義務教育數學課程標準（2011版）.北京：北京師范大學出版社，2012.

[4] 楊玉東.職初教師與經驗教師教學過程比較研究.桂林：廣西師范大學出版社，2007.

[5] 李靜.本原性問題驅動下的高等數學變式教學.數學教育學報，2013（62）.

【責任編輯 郭振玲】