由一道五年級分數問題引起的思考

戴磊

對于數學來說，正確答案固然令人欣喜，但一些錯誤的回答也有價值可尋。通過反思，我們會發現錯誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個小朋友，每個小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數學五年級下學期學校數學期中調研卷中的一道填空題，側重考查的知識點是分數的意義和分數與除法的關系。錯誤率非常高，而且學生的錯誤五花八門。我們尋找學生錯誤的原因，而原因最終都指向對知識點的不完全理解。

這類典型題歷來都是五年級學生學習數學時的一個關卡。盡管一些有經驗的老師知曉學生常見的錯誤原因，會小心翼翼地處理好這部分內容的教學，可經過一段時間消化后，仍然會有不少學生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內容的學與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級兩次分數教學的基礎上，由五年級下冊漸進，小學生學習分數才開始逐步完善起來，形成三級臺階。第一級是建立分數的概念，理解分數的意義，例1至例3基本是完成這一級的學習。第二級是建立分數和除法的關系，用分數表示除法的商，用分數表示兩個數量之間的倍數關系，把分數化成小數，例4至例9是這一級的學習。第三級是建立分數和比的聯系，將在六年級分數除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級臺階，其原型可追溯至教材例6。

■

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圖1

在教學時，為了降低坡度，通常會增加一道準備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？”從整數除法帶出商是分數的除法，并通過平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準備題的基礎上，繼續突出例6平均分的問題用除法計算從而列出除法算式，仍然通過分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個人的經驗推廣到把3塊餅平均分給5個人，引出分數與除法的關系。

從中可以看出，例6的教學中是用分數的意義尋找結果，教學完后則可以用分數與除法的關系解決。分餅看似簡單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個由整數到分數，越來越抽象的過程。

小學生的思維特點是正以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學生經歷分、剪、拼的動手操作，數學活動經驗在“做”的過程和“思考”的過程中得到積淀，學生理解起來容易多了。這種理解的直觀性、即時性、鮮活性很強，一些學生表面上看可能會接受得較快，可稍后的作業出現眾多錯誤反彈的現象。如何來鞏固？

經驗表明，學生的智力發展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過渡，需要多長時間和經歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對形象性的依賴越大。一旦迅速遠離幾何直觀，有些學生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學困生尤其如此。這是沒有真正學會由具體思維過渡到抽象思維的一種表現，是形象思維和概念思維脫節的一種后果。

二、思維方式的開放化

實物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學生由形象思維過渡到抽象思維的四重奏。實物（模擬物）的動手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時隨地進行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問題，借助這種幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。數學中解應用題時經常會借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關系表現出來。

通過畫圖，學生對所獲得的結論（知識）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強烈，學生對知識越有信任感，這就是知識即信念的含義。當知識沒有變成信念，就意味著他對知識不信任，知識就是外在于他的詞語而已。而學生對知識的理解越深刻，運用越深入，知識越會成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學生如果問題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數，而一些學生依然不能學以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學習有困難的學生未必能學會解題和思考習題的條件。即便如此，他們中有的學生甚至還不會把習題的條件用圖形畫出來。因為他們不僅不會抽象地思維，而且也不會用“形式、聲音、色彩和感覺”來思維。對于這類學生，“應當先教會他們形象思維，然后再逐漸轉向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

■

圖2

圖像基礎上的表象，在心理學中，是指過去感知過的事物形象在頭腦中再現的過程。運用表象，上述畫圖解答習題的過程可以不用筆在紙上呈現，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學生學習的“最近發展區”，根據學生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優化，需要我們準確判斷學生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習時，是更直觀一些，還是更抽象一些。對于學習有困難的學生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過渡;對優秀生，可以提高標準，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習設計的合理化

鑒于能開放學生的思維方式，那么在設計上述題型的鞏固練習時，學生出現畫圖、文字說明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因為在新授后的練習伊始，與結果相比，學生的思維過程顯得更為重要。否則一模一樣的結果很容易得到，老師很難知道學生是否會了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學生可能是依賴表象解決的，可學生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時不妨以退為進，以圖的形式呈現。退到學生的思維起點和數學現實，進到學生的認知結構和問題實質，進到學生的思維深處和應用策略。這類題的思維過程是后續調整的參考。

同時，為避免學生出現對練習方式單一的疲勞癥，在練習時基本訓練、分組練習、對比辨析、補充條件、補充問題等形式應穿插使用。為方便說明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個小朋友， ? ？

可以讓學生先補充問題再解答。學生可以填“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個人分到幾分之幾塊餅”。如果學生填“每個人分到幾分之幾”，嚴格地講，還需要引導學生對所提問題的明確性作出進一步思考：是指“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個不同的問題。

基本訓練，是對新知的“重復”與鞏固;分組訓練，是對最近發展區中腳手架的拆除，有利于新知的進一步內化;對比訓練消除了學生的思維定勢，培養了學生抗干擾的能力;而綜合訓練，確保學生在最近發展區的范圍內有挑戰性學習。如此，引導學生在實際應用中對比、深化，歸納出解答這類實際問題的關鍵所在，進一步拓展提升，形成認知網絡體系。

還有一點不容忽視，在練習中我們會發現，有些學生的短時記憶很好，某段時間內的正確率很高，但是過了他的記憶保質期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過渡有關，也很有可能跟鞏固的頻率相關。所以像這類對學生來說比較抽象的典型題，合理運用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規律，在學以致用方面的影響不容小覷。

■

圖3

根據艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發生是先快后慢、先多后少。所以抓住關鍵期，及時復習很重要，可以趕在遺忘大量發生之前使所學加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應龍老師的融錯教育一般，課堂內外的鞏固練習也可以如此。對于一些學生常錯的典型題進行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時的錯誤，是一種反證，同時對學生、對教師無疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實踐，不斷改進。？筻

對于數學來說，正確答案固然令人欣喜，但一些錯誤的回答也有價值可尋。通過反思，我們會發現錯誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個小朋友，每個小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數學五年級下學期學校數學期中調研卷中的一道填空題，側重考查的知識點是分數的意義和分數與除法的關系。錯誤率非常高，而且學生的錯誤五花八門。我們尋找學生錯誤的原因，而原因最終都指向對知識點的不完全理解。

這類典型題歷來都是五年級學生學習數學時的一個關卡。盡管一些有經驗的老師知曉學生常見的錯誤原因，會小心翼翼地處理好這部分內容的教學，可經過一段時間消化后，仍然會有不少學生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內容的學與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級兩次分數教學的基礎上，由五年級下冊漸進，小學生學習分數才開始逐步完善起來，形成三級臺階。第一級是建立分數的概念，理解分數的意義，例1至例3基本是完成這一級的學習。第二級是建立分數和除法的關系，用分數表示除法的商，用分數表示兩個數量之間的倍數關系，把分數化成小數，例4至例9是這一級的學習。第三級是建立分數和比的聯系，將在六年級分數除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級臺階，其原型可追溯至教材例6。

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圖1

在教學時，為了降低坡度，通常會增加一道準備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？”從整數除法帶出商是分數的除法，并通過平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準備題的基礎上，繼續突出例6平均分的問題用除法計算從而列出除法算式，仍然通過分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個人的經驗推廣到把3塊餅平均分給5個人，引出分數與除法的關系。

從中可以看出，例6的教學中是用分數的意義尋找結果，教學完后則可以用分數與除法的關系解決。分餅看似簡單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個由整數到分數，越來越抽象的過程。

小學生的思維特點是正以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學生經歷分、剪、拼的動手操作，數學活動經驗在“做”的過程和“思考”的過程中得到積淀，學生理解起來容易多了。這種理解的直觀性、即時性、鮮活性很強，一些學生表面上看可能會接受得較快，可稍后的作業出現眾多錯誤反彈的現象。如何來鞏固？

經驗表明，學生的智力發展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過渡，需要多長時間和經歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對形象性的依賴越大。一旦迅速遠離幾何直觀，有些學生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學困生尤其如此。這是沒有真正學會由具體思維過渡到抽象思維的一種表現，是形象思維和概念思維脫節的一種后果。

二、思維方式的開放化

實物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學生由形象思維過渡到抽象思維的四重奏。實物（模擬物）的動手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時隨地進行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問題，借助這種幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。數學中解應用題時經常會借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關系表現出來。

通過畫圖，學生對所獲得的結論（知識）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強烈，學生對知識越有信任感，這就是知識即信念的含義。當知識沒有變成信念，就意味著他對知識不信任，知識就是外在于他的詞語而已。而學生對知識的理解越深刻，運用越深入，知識越會成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學生如果問題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數，而一些學生依然不能學以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學習有困難的學生未必能學會解題和思考習題的條件。即便如此，他們中有的學生甚至還不會把習題的條件用圖形畫出來。因為他們不僅不會抽象地思維，而且也不會用“形式、聲音、色彩和感覺”來思維。對于這類學生，“應當先教會他們形象思維，然后再逐漸轉向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

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圖2

圖像基礎上的表象，在心理學中，是指過去感知過的事物形象在頭腦中再現的過程。運用表象，上述畫圖解答習題的過程可以不用筆在紙上呈現，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學生學習的“最近發展區”，根據學生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優化，需要我們準確判斷學生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習時，是更直觀一些，還是更抽象一些。對于學習有困難的學生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過渡;對優秀生，可以提高標準，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習設計的合理化

鑒于能開放學生的思維方式，那么在設計上述題型的鞏固練習時，學生出現畫圖、文字說明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因為在新授后的練習伊始，與結果相比，學生的思維過程顯得更為重要。否則一模一樣的結果很容易得到，老師很難知道學生是否會了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學生可能是依賴表象解決的，可學生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時不妨以退為進，以圖的形式呈現。退到學生的思維起點和數學現實，進到學生的認知結構和問題實質，進到學生的思維深處和應用策略。這類題的思維過程是后續調整的參考。

同時，為避免學生出現對練習方式單一的疲勞癥，在練習時基本訓練、分組練習、對比辨析、補充條件、補充問題等形式應穿插使用。為方便說明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個小朋友， ? ？

可以讓學生先補充問題再解答。學生可以填“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個人分到幾分之幾塊餅”。如果學生填“每個人分到幾分之幾”，嚴格地講，還需要引導學生對所提問題的明確性作出進一步思考：是指“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個不同的問題。

基本訓練，是對新知的“重復”與鞏固;分組訓練，是對最近發展區中腳手架的拆除，有利于新知的進一步內化;對比訓練消除了學生的思維定勢，培養了學生抗干擾的能力;而綜合訓練，確保學生在最近發展區的范圍內有挑戰性學習。如此，引導學生在實際應用中對比、深化，歸納出解答這類實際問題的關鍵所在，進一步拓展提升，形成認知網絡體系。

還有一點不容忽視，在練習中我們會發現，有些學生的短時記憶很好，某段時間內的正確率很高，但是過了他的記憶保質期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過渡有關，也很有可能跟鞏固的頻率相關。所以像這類對學生來說比較抽象的典型題，合理運用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規律，在學以致用方面的影響不容小覷。

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圖3

根據艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發生是先快后慢、先多后少。所以抓住關鍵期，及時復習很重要，可以趕在遺忘大量發生之前使所學加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應龍老師的融錯教育一般，課堂內外的鞏固練習也可以如此。對于一些學生常錯的典型題進行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時的錯誤，是一種反證，同時對學生、對教師無疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實踐，不斷改進。？筻

對于數學來說，正確答案固然令人欣喜，但一些錯誤的回答也有價值可尋。通過反思，我們會發現錯誤本身就是一種資源、一種折射、一種提醒。

例如：“把3塊餅平均分給5個小朋友，每個小朋友分得3塊餅的（—），是1塊餅的（—），是（ ?）塊餅?！边@是蘇教版（下同）數學五年級下學期學校數學期中調研卷中的一道填空題，側重考查的知識點是分數的意義和分數與除法的關系。錯誤率非常高，而且學生的錯誤五花八門。我們尋找學生錯誤的原因，而原因最終都指向對知識點的不完全理解。

這類典型題歷來都是五年級學生學習數學時的一個關卡。盡管一些有經驗的老師知曉學生常見的錯誤原因，會小心翼翼地處理好這部分內容的教學，可經過一段時間消化后，仍然會有不少學生踩中“地雷”，收效不盡如人意。這使得筆者開始重新審視這部分內容的學與練。

一、教后反思的深入化

回顧教材，在三年級兩次分數教學的基礎上，由五年級下冊漸進，小學生學習分數才開始逐步完善起來，形成三級臺階。第一級是建立分數的概念，理解分數的意義，例1至例3基本是完成這一級的學習。第二級是建立分數和除法的關系，用分數表示除法的商，用分數表示兩個數量之間的倍數關系，把分數化成小數，例4至例9是這一級的學習。第三級是建立分數和比的聯系，將在六年級分數除法里完成。

而上述題目橫跨第一、二級臺階，其原型可追溯至教材例6。

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圖1

在教學時，為了降低坡度，通常會增加一道準備題：“8塊、4塊、1塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？”從整數除法帶出商是分數的除法，并通過平均分一塊餅的操作得出每人分得■塊餅。

在準備題的基礎上，繼續突出例6平均分的問題用除法計算從而列出除法算式，仍然通過分餅的操作得到除法的商。

然后把3塊餅平均分給4個人的經驗推廣到把3塊餅平均分給5個人，引出分數與除法的關系。

從中可以看出，例6的教學中是用分數的意義尋找結果，教學完后則可以用分數與除法的關系解決。分餅看似簡單，由8塊、4塊到1塊，再到3塊，卻是一個由整數到分數，越來越抽象的過程。

小學生的思維特點是正以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象思維為主要形式。這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性。以圓片代替餅，讓學生經歷分、剪、拼的動手操作，數學活動經驗在“做”的過程和“思考”的過程中得到積淀，學生理解起來容易多了。這種理解的直觀性、即時性、鮮活性很強，一些學生表面上看可能會接受得較快，可稍后的作業出現眾多錯誤反彈的現象。如何來鞏固？

經驗表明，學生的智力發展很大程度上取決于由形象思維向概念思維過渡，需要多長時間和經歷怎樣的步驟。越是抽象性的東西，對形象性的依賴越大。一旦迅速遠離幾何直觀，有些學生的理解就開始變得零碎，甚至歸零。學困生尤其如此。這是沒有真正學會由具體思維過渡到抽象思維的一種表現，是形象思維和概念思維脫節的一種后果。

二、思維方式的開放化

實物（模擬物）—圖像（圖形）—表象—抽象，是比較具體的學生由形象思維過渡到抽象思維的四重奏。實物（模擬物）的動手操作由于受客觀條件的限制，不可能隨時隨地進行，需要一種能起到同樣作用的輔助手段——利用圖形描述和分析問題，借助這種幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。數學中解應用題時經常會借助于畫圖尤其是線段圖，以圖形的方式將題目中的關系表現出來。

通過畫圖，學生對所獲得的結論（知識）是確信的，這種信任是一種積極的情緒。這種積極的情緒越強烈，學生對知識越有信任感，這就是知識即信念的含義。當知識沒有變成信念，就意味著他對知識不信任，知識就是外在于他的詞語而已。而學生對知識的理解越深刻，運用越深入，知識越會成為他的信念。這就解釋了“有老師一直告訴學生如果問題沒有單位名稱要用單位1，有單位名稱就用數，而一些學生依然不能學以致用”的原因。

如果不采取這種方式，一些學習有困難的學生未必能學會解題和思考習題的條件。即便如此，他們中有的學生甚至還不會把習題的條件用圖形畫出來。因為他們不僅不會抽象地思維，而且也不會用“形式、聲音、色彩和感覺”來思維。對于這類學生，“應當先教會他們形象思維，然后再逐漸轉向抽象思維”較為明智。

比如類似的判斷題，2米的■和1米的■相等。輔以畫圖，用直條（長方形）表示，一目了然。這句話是正確的。

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圖2

圖像基礎上的表象，在心理學中，是指過去感知過的事物形象在頭腦中再現的過程。運用表象，上述畫圖解答習題的過程可以不用筆在紙上呈現，而在腦中默然完成。

為適合不同層次學生學習的“最近發展區”，根據學生自身的需要提出彈性化的要求是合理的。其中的優化，需要我們準確判斷學生的思維處于怎樣的程度，然后決定在新授或練習時，是更直觀一些，還是更抽象一些。對于學習有困難的學生，需要降低難度，更形象一些以便于理解和向抽象過渡;對優秀生，可以提高標準，更抽象一些以便于從更高層面上把握。

三、練習設計的合理化

鑒于能開放學生的思維方式，那么在設計上述題型的鞏固練習時，學生出現畫圖、文字說明、算式等多樣化的解題方式也是可以的。因為在新授后的練習伊始，與結果相比，學生的思維過程顯得更為重要。否則一模一樣的結果很容易得到，老師很難知道學生是否會了，是怎么思考的，思維處于怎樣的程度……如有的學生可能是依賴表象解決的，可學生頭腦中的表象老師看不見也摸不著，這時不妨以退為進，以圖的形式呈現。退到學生的思維起點和數學現實，進到學生的認知結構和問題實質，進到學生的思維深處和應用策略。這類題的思維過程是后續調整的參考。

同時，為避免學生出現對練習方式單一的疲勞癥，在練習時基本訓練、分組練習、對比辨析、補充條件、補充問題等形式應穿插使用。為方便說明，仍以本文開始的那道題為例，把3塊餅平均分給5個小朋友， ? ？

可以讓學生先補充問題再解答。學生可以填“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，也可以填“每個人分到幾分之幾塊餅”。如果學生填“每個人分到幾分之幾”，嚴格地講，還需要引導學生對所提問題的明確性作出進一步思考：是指“每個人分到3塊餅的幾分之幾”，還是指“每個人分到1塊餅的幾分之幾”？這是兩個不同的問題。

基本訓練，是對新知的“重復”與鞏固;分組訓練，是對最近發展區中腳手架的拆除，有利于新知的進一步內化;對比訓練消除了學生的思維定勢，培養了學生抗干擾的能力;而綜合訓練，確保學生在最近發展區的范圍內有挑戰性學習。如此，引導學生在實際應用中對比、深化，歸納出解答這類實際問題的關鍵所在，進一步拓展提升，形成認知網絡體系。

還有一點不容忽視，在練習中我們會發現，有些學生的短時記憶很好，某段時間內的正確率很高，但是過了他的記憶保質期，他的正確率就下降了。除了跟上面提到的思維過渡有關，也很有可能跟鞏固的頻率相關。所以像這類對學生來說比較抽象的典型題，合理運用艾賓浩斯遺忘曲線（如圖3）的規律，在學以致用方面的影響不容小覷。

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圖3

根據艾賓浩斯遺忘曲線，遺忘的發生是先快后慢、先多后少。所以抓住關鍵期，及時復習很重要，可以趕在遺忘大量發生之前使所學加以鞏固，事半功倍。

總之，如華應龍老師的融錯教育一般，課堂內外的鞏固練習也可以如此。對于一些學生常錯的典型題進行研究，如果我們“融化”了，就可以為一種資源。這時的錯誤，是一種反證，同時對學生、對教師無疑也是一種幫助。只是這種研究需要我們有容乃大，循著實踐，不斷改進。？筻