高中學生數學解題經驗對解題思路的影響

宗志宏

任何形式的問題解決，都離不開一定的解題經驗.當然這些解題經驗必須是相對較為熟悉的，或至少是能夠被調用起來的.特別是在考試過程中，解題，經驗對于常規問題的解決起著比數學思維能力、數學思維方法等更為重要的作用.同時，解題經驗亦會干擾甚至阻礙問題的解決，特別是解題經驗較為模糊或者是錯誤的時候，過于強化的經驗會形成思維定勢，使思維局限于某一熟悉的范圍而難以擴散.在高中數學教學的實踐中，應充分重視培養學生把問題與已有經驗相聯系的思維習慣，有意識地豐富學生的解題經驗.

一、解題經驗的含義

人在社會實踐中對于他所遇到的各種問題及所采取的處理方法、處理結果，都會形成自己的經驗.當他遇到類似的情形時，就會受其已有的與此情形有關的經驗的影響而采取與其相關經驗有關的措施.與問題有關的經驗的積累以及經驗之間的相互作用，會構成一個人解決問題的觀念、方式、方法等一系列的系統性的知識.

數學解題是一個問題解決的過程，具有鮮明的實踐性和探索性的特征，數學學習者通過解題實踐能夠促進基本知識的理解和消化，促進基本技能、基本方法的掌握和熟練，同時促進思維品質的優化.所謂解題經驗，就是基本知識、基本方法與條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗同樣能夠從反面提供有效的有序組合的啟示.

二、高中學生的數學解題經驗：構成及特征

一個人由于生活環境、自身特點及經歷的不同，因而與某事相關的知識、經驗或操作系統，均使得每個人的經驗都有區別.如對于同一個問題，每個人的相關經驗有豐富與貧乏之分.但是在一個共同體中的成員之間，經驗卻有許多相似之處.由于我國目前高中數學教育形式主要是班級授課制，所以在相同的教材、相同的教師、相同的要求及類似的生活學習環境下，高中學生的解題經驗具有高度的相似性.具體表現為，同班學生對于某種題型的熟悉程度類似，解法也基本相同，對典型條件的理解程度和應用方式方法也基本相同.包括每一個條件的使用方法，由每一個條件所能夠得出的結論；對于這種問題所采用的一般解法；甚至包括一些關鍵詞的理解，如：“恒成立”、“至少”、“存在”等；對于應用題，還包括對問題所描述的實際背景的知識，以及對數學思想方法的具體應用的經驗，對某一類問題所采用的方法的熟練程度，甚至是具體的解題技巧的熟練程度.如對于數列求和用裂項法，具體怎么用；哪一種最值問題可以用數形結合以及和哪種圖形結合等.

三、解題經驗對解題思路的影響

在問題解決過程中，解題者首先對問題進行研究分析，即波利亞解題表中所謂的弄清問題.在弄清問題之后，解題者會根據其對問題的理解制訂出解題計劃，這里的計劃也是解題思路，即對解題方法的設想、計劃.不同的解題者會有不同的解題思路，同一個解題者的解題思路也可能有多種，有正確的，當然也會有錯誤的.也有可能解題者并沒有真正理解問題，或對問題非常陌生，以至于沒有任何思路.也有的解題者即使弄清了問題也沒有明確的解題思路，而是根據條件在不知不覺中得到問題的答案.這個過程既是問題解決的過程，同時又是尋找解題思路的過程.本文中所說的常規問題的解題思路，既包括波利亞所說的解題計劃，又包括上面所說的沒有明確的解題計劃但在不知不覺中得到答案的那種思路.這里的常規問題指的是難度基本上不超出高考難度，且不屬于開放題、探索題等近幾年出現的新題型，而是傳統的題目.

不同層次的學生雖然在解題能力上有明顯區別，但是在讀完題目后最初思維卻非常類似，即在理解題意時，都是把題目所蘊涵的語義納入到其經驗中去理解，對題意進行加工，從而建構起其自己所理解的題意.并在此過程中對題目進行模式識別，尋找思路.由于個人能力不同，對題意的理解有所區別，因而會對解題思路的尋找和選擇產生影響.能力較強的學生，能夠迅速抓住題目的要害，對題目類型作出判斷，并能迅速確定解題方法，找出答案.而對于能力較差的學生，由于其理解能力和基本知識的缺陷，在理解題意時就可能產生困難，或者無法理解題意，或者曲解題意，當然也就無法找到解題思路甚至采用錯誤的解法.即使這部分學生正確理解了題意，也可能會因為對題目類型的生疏或解題思想方法的缺少而無法找到合適的解法；或者由于對題意理解的深度不夠而導致解法的繁瑣，最后陷入困境或出現失誤.比如這樣一個數學問題：“不等式x2-3>ax-a對一切3≤x≤4恒成立，則實數a的取值范圍是 .”首先需要學生理解在數學中“恒成立”的含義，如果學生沒有見過“恒成立”這一條件，就很難把握準其含義，所以解題經驗在這里對題意的理解起了關鍵作用，再者就是此種問題的處理方式、解題思路都是要有相應的解題經驗作基礎的.

顯然，造成這種差異的原因除了個人的天賦、能力等以外，主要表現在解題經驗方面的差異、解題經驗的熟練程度、近期被調用的頻率等原因上.對于不同的學生，由于其先天的生理結構及后天的生活環境、受教育的程度、思維方式的不同導致其智力結構存在差異，從而影響其解題經驗的積累速度、整理的效果、及系統性和完善程度.如對某種題型的解法要達到相同的熟練程度，不同的學生所需要練習的次數往往有所區別，對某個數學概念或某個思想方法的理解，不同學生需要揭示、體會的程度亦是有區別的.根據建構主義理論，不同的學生對知識和方法的理解不可能完全相同，這些因素都會造成學生經驗的差異，從而影響到解題能力的差異.

四、解題經驗與影響常規問題解題思路的其他因素的關系

影響常規問題解題思路的其他因素主要包括解題者對波利亞的啟發法的應用能力、對數學思想方法的掌握情況、解題者的元認知能力，以及解題者對數學的信念等方面.

1.解題經驗與元認知能力的關系

影響問題解決的重要因素不僅有數學啟發法，還有解題者對方法的選擇、對解題過程的控制、感悟及對前景的估計能力，即元認知能力.有關研究證實，專家與新手之間的元認知能力有明顯差別.對于數學領域內的問題解決來說，解題能力強的人其元認知能力也比較強，在解題過程中，能夠對常規問題的解題思路的前景迅速作出準確的判斷，因此能夠比新手更快地找到正確的常規問題解題思路.同時，元認知能力強的解題者能夠對解題的進程作出準確的分析，并作出相應的調整.所以，提高解題者的元認知能力能夠有效提高問題解決能力.需要指出，元認知能力的提高并非短期訓練的結果，而是長期的解題經驗積累的結果.通過長期的積累，解題者能夠根據問題迅速找出相關的方法，并對方法的使用非常熟悉，能夠判斷出使用某種方法可以達到目標.同時，解題者積累了一定的解題經驗后，能夠形成大量的思維模塊，幫助解題者縮短思維過程，由條件直接延伸到更多更遠的結果.比如這樣一道三角化簡問題：已知tanα=-2，求1+sin4α-cos4α1+sin4α+cos4α的值.這道題中要求值的式子比較復雜，特別是與條件差別較大，但是解題經驗較豐富、元認知能力較強的學生能夠很快看出解題思路并且對解題過程作出準確的判斷，而對于這種形式三角比化簡經驗不足的學生可能就會因采取的endprint