談高中數學習題教學的五項原則

姚海波

高中數學習題教學可以把概念變得更完善和具體，還可以對知識的記憶進行鞏固，對知識的認識進行加深，能夠完全很好的將數學學習的技巧掌握，對學生的綜合能力進行培養.因此高中數學習題教學在學生能力培養的過程中有很重要的作用.根據目前高中數學習題教學的實際情況來看，習題教學中還存在著一定的問題，導致高中數學習題教學難以達到預期的效果.因此在高中數學習題教學中需要遵守五項原則.

一、針對和目的性統一原則

利用課堂上的數學習題來對學生問題的分析和解答能力進行訓練.因此在課堂的數學習題教學中，教師應該把習題教學中的針對和目的性進行很好的結合，來提升教學的效果.學生在學習數學中，各方面的能力都是在課堂教學中漸漸累積起來的，每一次的數學課堂教學中，教師應該在之前先把對學生能力培養的方向和目標進行制定，在數學課堂中將教學的目標進一步的實現.例如：在高中數學中學習函數的時候，學生會常常的將底數和真數的約束條件給忽略掉.針對學生的這一情況，教師可以讓學生練習這樣的習題：當x為何值的時候，對數logx-1（5+4x）有意義. 因此學生先需要根據對數成立的條件，建立出不等式來得出結論.要使對數有意義，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于負四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的時候，對數是有意義的.通過這種有針對性的訓練，使學生更牢固地掌握知識點.

二、典型和示范性結合原則

高中數學習題教學中，不是一兩天就能將學生的解題思維和技巧形成，是需要經過不斷的累積而成的，對學生的邏輯思維能力的培養是一個漫長的過程.在高中數學習題教學中，教師應該選擇比較典型的例題，對習題進行講解，教師在講解過程中的示范性是很重要的，要教會學生將正確的題意理解出來，之后對習題條件和結論之間的聯系進行思考，找出規律，教學中需要將解題思路表述清楚，達到好的示范效果.讓學生在對習題進行解答的過程中，能夠將自己的思維理清，把解題的技巧掌握.利用典型的例題讓學生對教師講解的內容的掌握情況反映出來.例如在高中數學中命題一章，需要選擇示范性強的典型題，給學生留下 深刻的印象.

空間中，到一定點的距離等于定長的點的軌跡就是球，其中定點是球心，定長是球的半徑.若所給的幾何體的各個頂點到某一定點的距離都相等時，可利用球的定義來解決.

例如：如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的各頂點在同一個球面上，則該球的體積為 .

由題目的條件得出棱BC所張的∠BA′C=∠BDC=90°，聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一結論找出球心，利用球的定義來解決問題.

解：如圖1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如圖 ⑵，設E為BD的中點，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中點，半徑R=12BC=32，故球的體積為32π.

三、啟發和層次性結合原則

通過高中數學習題教學，可以將學生思維的敏捷、靈活、深刻和獨特性都得以很好的培養.在數學習題教學的過程中，需要選擇對學生有一定啟發性的例題來進行訓練，學生會在解題的過程中，受到一定的啟示和感悟.在教學中，需要重視例題和習題的層次性，在例題和習題的選擇中，難度和思維跨度需要適中不能過大也不能過小，要關注到學生的學習情況和學習技能，讓學生在原有的基礎上不斷的提高.那么，高中數學習題教學中，遵從啟發和層次性結合原則，讓學生能夠扎實的發展.例如：在數列一章的教學中，有層次的進行教學，引導學生參加教學活動，避免機械式教學.教師可以選擇這樣的習題：已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通項公式.解題思路：需要先將等差數列{an}的公差設為d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知條件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通項公式為：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.這樣的問題在解決中需要有層次的引導，對學生的思維能力培養，非常有利.

四、新穎和常規性結合原則

高中數學習題教學中，新穎的形式會給學生帶來一定的新鮮感，可以幫助激發學生學習興趣.將一些常規性的習題改編成新穎的系統，有促進教學效果的意義.常規題的求解過程中加入新穎和巧妙的解法，將數學中的魅力都展示了出來，對學生的興趣和愛好都有積極的作用.不能一味的在解決中追求新穎，高中數學習題教學中要堅持新穎和常規性的結合，防止在習題的教學中出現偏頗.可以在對學生進行復習知識點的時候，進行運用.例如：在高三復習時，教師對一道題目進行傳統的講解：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析過程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因為b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因為a=3，所以bc≤94.因此當且僅當b=c時，bc的最大值是94.很明顯上面的解題中是從已知條件入手的，這種證明題的解題技巧不僅有利于鞏固數學知識之間的聯系，還能夠培養學生創造性思維的能力.高中數學習題教學的過程中，如果教師將常規性問題的基本解題方法忽略了，沒有注重教學中的常規性和新穎性的原則，那么將無法達到教學的效果和意義.

五、全面和選擇性結合原則endprint

高中數學習題教學可以把概念變得更完善和具體，還可以對知識的記憶進行鞏固，對知識的認識進行加深，能夠完全很好的將數學學習的技巧掌握，對學生的綜合能力進行培養.因此高中數學習題教學在學生能力培養的過程中有很重要的作用.根據目前高中數學習題教學的實際情況來看，習題教學中還存在著一定的問題，導致高中數學習題教學難以達到預期的效果.因此在高中數學習題教學中需要遵守五項原則.

一、針對和目的性統一原則

利用課堂上的數學習題來對學生問題的分析和解答能力進行訓練.因此在課堂的數學習題教學中，教師應該把習題教學中的針對和目的性進行很好的結合，來提升教學的效果.學生在學習數學中，各方面的能力都是在課堂教學中漸漸累積起來的，每一次的數學課堂教學中，教師應該在之前先把對學生能力培養的方向和目標進行制定，在數學課堂中將教學的目標進一步的實現.例如：在高中數學中學習函數的時候，學生會常常的將底數和真數的約束條件給忽略掉.針對學生的這一情況，教師可以讓學生練習這樣的習題：當x為何值的時候，對數logx-1（5+4x）有意義. 因此學生先需要根據對數成立的條件，建立出不等式來得出結論.要使對數有意義，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于負四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的時候，對數是有意義的.通過這種有針對性的訓練，使學生更牢固地掌握知識點.

二、典型和示范性結合原則

高中數學習題教學中，不是一兩天就能將學生的解題思維和技巧形成，是需要經過不斷的累積而成的，對學生的邏輯思維能力的培養是一個漫長的過程.在高中數學習題教學中，教師應該選擇比較典型的例題，對習題進行講解，教師在講解過程中的示范性是很重要的，要教會學生將正確的題意理解出來，之后對習題條件和結論之間的聯系進行思考，找出規律，教學中需要將解題思路表述清楚，達到好的示范效果.讓學生在對習題進行解答的過程中，能夠將自己的思維理清，把解題的技巧掌握.利用典型的例題讓學生對教師講解的內容的掌握情況反映出來.例如在高中數學中命題一章，需要選擇示范性強的典型題，給學生留下 深刻的印象.

空間中，到一定點的距離等于定長的點的軌跡就是球，其中定點是球心，定長是球的半徑.若所給的幾何體的各個頂點到某一定點的距離都相等時，可利用球的定義來解決.

例如：如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的各頂點在同一個球面上，則該球的體積為 .

由題目的條件得出棱BC所張的∠BA′C=∠BDC=90°，聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一結論找出球心，利用球的定義來解決問題.

解：如圖1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如圖 ⑵，設E為BD的中點，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中點，半徑R=12BC=32，故球的體積為32π.

三、啟發和層次性結合原則

通過高中數學習題教學，可以將學生思維的敏捷、靈活、深刻和獨特性都得以很好的培養.在數學習題教學的過程中，需要選擇對學生有一定啟發性的例題來進行訓練，學生會在解題的過程中，受到一定的啟示和感悟.在教學中，需要重視例題和習題的層次性，在例題和習題的選擇中，難度和思維跨度需要適中不能過大也不能過小，要關注到學生的學習情況和學習技能，讓學生在原有的基礎上不斷的提高.那么，高中數學習題教學中，遵從啟發和層次性結合原則，讓學生能夠扎實的發展.例如：在數列一章的教學中，有層次的進行教學，引導學生參加教學活動，避免機械式教學.教師可以選擇這樣的習題：已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通項公式.解題思路：需要先將等差數列{an}的公差設為d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知條件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通項公式為：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.這樣的問題在解決中需要有層次的引導，對學生的思維能力培養，非常有利.

四、新穎和常規性結合原則

高中數學習題教學中，新穎的形式會給學生帶來一定的新鮮感，可以幫助激發學生學習興趣.將一些常規性的習題改編成新穎的系統，有促進教學效果的意義.常規題的求解過程中加入新穎和巧妙的解法，將數學中的魅力都展示了出來，對學生的興趣和愛好都有積極的作用.不能一味的在解決中追求新穎，高中數學習題教學中要堅持新穎和常規性的結合，防止在習題的教學中出現偏頗.可以在對學生進行復習知識點的時候，進行運用.例如：在高三復習時，教師對一道題目進行傳統的講解：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析過程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因為b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因為a=3，所以bc≤94.因此當且僅當b=c時，bc的最大值是94.很明顯上面的解題中是從已知條件入手的，這種證明題的解題技巧不僅有利于鞏固數學知識之間的聯系，還能夠培養學生創造性思維的能力.高中數學習題教學的過程中，如果教師將常規性問題的基本解題方法忽略了，沒有注重教學中的常規性和新穎性的原則，那么將無法達到教學的效果和意義.

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高中數學習題教學可以把概念變得更完善和具體，還可以對知識的記憶進行鞏固，對知識的認識進行加深，能夠完全很好的將數學學習的技巧掌握，對學生的綜合能力進行培養.因此高中數學習題教學在學生能力培養的過程中有很重要的作用.根據目前高中數學習題教學的實際情況來看，習題教學中還存在著一定的問題，導致高中數學習題教學難以達到預期的效果.因此在高中數學習題教學中需要遵守五項原則.

一、針對和目的性統一原則

利用課堂上的數學習題來對學生問題的分析和解答能力進行訓練.因此在課堂的數學習題教學中，教師應該把習題教學中的針對和目的性進行很好的結合，來提升教學的效果.學生在學習數學中，各方面的能力都是在課堂教學中漸漸累積起來的，每一次的數學課堂教學中，教師應該在之前先把對學生能力培養的方向和目標進行制定，在數學課堂中將教學的目標進一步的實現.例如：在高中數學中學習函數的時候，學生會常常的將底數和真數的約束條件給忽略掉.針對學生的這一情況，教師可以讓學生練習這樣的習題：當x為何值的時候，對數logx-1（5+4x）有意義. 因此學生先需要根據對數成立的條件，建立出不等式來得出結論.要使對數有意義，需要5+4x大于0；x-1大于0；x-1不等于1.即可得到x大于負四分之五；x大于1；x不等于2.由此可得出：在x大于1且不等于2的時候，對數是有意義的.通過這種有針對性的訓練，使學生更牢固地掌握知識點.

二、典型和示范性結合原則

高中數學習題教學中，不是一兩天就能將學生的解題思維和技巧形成，是需要經過不斷的累積而成的，對學生的邏輯思維能力的培養是一個漫長的過程.在高中數學習題教學中，教師應該選擇比較典型的例題，對習題進行講解，教師在講解過程中的示范性是很重要的，要教會學生將正確的題意理解出來，之后對習題條件和結論之間的聯系進行思考，找出規律，教學中需要將解題思路表述清楚，達到好的示范效果.讓學生在對習題進行解答的過程中，能夠將自己的思維理清，把解題的技巧掌握.利用典型的例題讓學生對教師講解的內容的掌握情況反映出來.例如在高中數學中命題一章，需要選擇示范性強的典型題，給學生留下 深刻的印象.

空間中，到一定點的距離等于定長的點的軌跡就是球，其中定點是球心，定長是球的半徑.若所給的幾何體的各個頂點到某一定點的距離都相等時，可利用球的定義來解決.

例如：如圖1，平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.將其沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的各頂點在同一個球面上，則該球的體積為 .

由題目的條件得出棱BC所張的∠BA′C=∠BDC=90°，聯想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一結論找出球心，利用球的定義來解決問題.

解：如圖1⑴，BC=3，由AB=AD=1，BD=2可知，△ABD是Rt△，如圖 ⑵，設E為BD的中點，

易知AE⊥平面BCD.在Rt△DCE中，CD=1，DE=22，

所以CE=62.又A′E=12BD=22，在Rt△A′EC中，易得A′C=2.在△A′BC中，A′B2+A′C2=3，BC2=3，所以∠BA′C=90°.由∠BA′C=∠BDC=90°知，球心是BC的中點，半徑R=12BC=32，故球的體積為32π.

三、啟發和層次性結合原則

通過高中數學習題教學，可以將學生思維的敏捷、靈活、深刻和獨特性都得以很好的培養.在數學習題教學的過程中，需要選擇對學生有一定啟發性的例題來進行訓練，學生會在解題的過程中，受到一定的啟示和感悟.在教學中，需要重視例題和習題的層次性，在例題和習題的選擇中，難度和思維跨度需要適中不能過大也不能過小，要關注到學生的學習情況和學習技能，讓學生在原有的基礎上不斷的提高.那么，高中數學習題教學中，遵從啟發和層次性結合原則，讓學生能夠扎實的發展.例如：在數列一章的教學中，有層次的進行教學，引導學生參加教學活動，避免機械式教學.教師可以選擇這樣的習題：已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3，求{an}的通項公式.解題思路：需要先將等差數列{an}的公差設為d；得出：an=a1+（n-1）d.再由已知條件a1=1，a3=-3，得知：1+2d=-3，解得d=-2.因此，通項公式為：an=1+（n-1）（-2），即an=3-2n.這樣的問題在解決中需要有層次的引導，對學生的思維能力培養，非常有利.

四、新穎和常規性結合原則

高中數學習題教學中，新穎的形式會給學生帶來一定的新鮮感，可以幫助激發學生學習興趣.將一些常規性的習題改編成新穎的系統，有促進教學效果的意義.常規題的求解過程中加入新穎和巧妙的解法，將數學中的魅力都展示了出來，對學生的興趣和愛好都有積極的作用.不能一味的在解決中追求新穎，高中數學習題教學中要堅持新穎和常規性的結合，防止在習題的教學中出現偏頗.可以在對學生進行復習知識點的時候，進行運用.例如：在高三復習時，教師對一道題目進行傳統的講解：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=13.（1）求sin2B+C2+cos2A的值；（2）若a=3，求bc的最大值.解析過程（1）sin2B+C2+cos2A等于12[1-cos（B+C）]+（2cos2A-1）；等于12（1+cosA）+（2cos2A-1）；等于12（1+13）+（29-1）=-19.（2）因為b2+c2-a22bc=cosA=13，所以23bc=b2+c2-a2≥2bc-a2；又因為a=3，所以bc≤94.因此當且僅當b=c時，bc的最大值是94.很明顯上面的解題中是從已知條件入手的，這種證明題的解題技巧不僅有利于鞏固數學知識之間的聯系，還能夠培養學生創造性思維的能力.高中數學習題教學的過程中，如果教師將常規性問題的基本解題方法忽略了，沒有注重教學中的常規性和新穎性的原則，那么將無法達到教學的效果和意義.

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