殘量分布格式初步研究與應用

石 薇，王海燕

（上海航天控制技術研究所，上海 200233）

0 引言

近年來，以ABGRALL，DECONINCK等為首的國外學者逐漸發展出一種新的數值計算空間離散格式——殘量分布格式（RD格式），該格式主要用于三角形網格和四面體網格［1－3］。殘量分布格式的優點主要有：間斷面處可得到高分辨率解；任意非結構網格中，在節點與其緊鄰的節點構成的緊湊單元上可實現穩態流場的空間二階精度；數值迎風過程能真實反映多維物理信息；對網格的敏感度較低［4－5］。殘量分布格式的優點突出，導致更多的國外研究學者聚焦于這種格式［6－7］。本文對殘量分布格式進行了研究，討論了標量方程和Euler方程殘量分布格式的窄格式（N格式）、低擴散對流格式（LDA格式）和正流恒定格式（PSI格式）三種形式的性能［5］。

1 殘量分布格式

殘量分布格式構建主要分為兩大步驟：一是由存儲在網格節點上的狀態參數計算出三角單元的殘量，二是將三角單元殘量按一定比例分配至單元所在的每個節點，更新節點參數［4］。

1.1 標量方程

在二維空間Ω?R2中，標量守恒方程

的準線性形式為

式中：uh＝ ∑iuiξi；▽uh為常數為三角單元平均平流速度，且。此處：ξi為與節點i相關的線性形狀函數。由守恒線性化變換可得

圖1 節點單元Fig.1 Dual cell around a vertex

圖2 三角形內法矢量Fig.2 Triangle with scale inward normals

將ΦT按一定的比例分配到每個節點，有

由此可得殘量分布格式的一般顯式形式為

三角形的每個節點分配三角單元殘量的過程，需遵循一定的設計原則：

a）迎風特性，若ki≤0，則（Φi）T＝0；

b）線性保留條件，（Φi）T（uh）＝Θ（h3）；

c）單調性，若（Φi）T＝ ∑jcij（ui－uj），則cij≥0。

表1 殘量計算公式與格式特性Tab.1 Design principle of residual distribution schemes

1.2 Euler方程

在二維空間Ω?R2中，Euler守恒方程

的二維準線性形式為

根據殘量分布格式的設計原則，可得Euler方程的N，LDA，PSI格式計算公式分別為

2 算例

2.1 旋轉余弦和旋轉柱體

旋轉余弦和旋轉柱體是二維線性非穩態平流方程數值測試的典型算例［8］。模擬過程是余弦斜坡和柱體在以原點為中心的圓形區域內作周期性圓周運動。

表2 旋轉余弦和旋轉柱體最大與最小解Tab.2 Min and max solutions for rotating cosine and cylinder test case

圖3 旋轉余弦數值解Fig.3 Solutions for rotating cosine hill after one revolution

2.2 縮放通道

2.3 平面葉柵

圖4 旋轉柱數值解Fig.4 Solutions for rotating cylinder after one revolution

圖5 網格與激波位置Fig.5 Mesh and position of shock wave

圖6 壁面靜壓力分布Fig.6 Distributions of pressure along curve wall

圖7 壁面馬赫數分布Fig.7 Distributions of Mach number along curve wall

圖8 葉柵計算網格Fig.8 Mesh of cascade for computation

3 結束語

圖9 靜壓等值線Fig.9 Static pressure contours

圖10 葉柵壁面靜壓力分布Fig.10 Distributions of static pressure alongxdirection

圖11 葉柵壁面馬赫數分布Fig.11 Distributions of Mach number along x direction

本文研究了一類新的數值離散格式，并與傳統中心差分、迎風格式進行了比較。結果證明：該格式有較高的精度，能反映真正的多維物理信息，較傳統擬多維迎風格式更接近物理事實，對網格的敏感度較低，在求解復雜物面條件下，比傳統迎風格式有優勢，但該格式時間消耗較傳統迎風格式大，主要因為每個節點需進行多次的矩陣求逆。本文PSI格式的構造方法簡單，但在極少數情況計算不準確。

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