一道全國高中數學聯賽試題的變式探究

摘 要：直線和圓錐曲線位置關系的相關問題是考查學生數學綜合能力的主要載體，對相關問題的變式探究也是培養學生數學基本思想方法、促進數學能力形成的重要途徑. 2013年全國高中數學聯賽的一道關于拋物線的試題是研究與直線、與拋物線位置關系有關的度量問題及軌跡問題的好素材.

關鍵詞：拋物線；變式探究；基本不等式

與直線和圓錐曲線位置關系有關的問題是各級競賽及高考的熱點問題，同時也是考查學生數學綜合能力的主要載體，對相關問題的變式、探究是培養學生數學基本思想方法、形成數學能力的重要途徑. 本文主要結合2013年全國數學聯賽的一道試題重點研究與直線和拋物線位置關系有關的度量問題及軌跡問題，其基本思想方法可以類比到直線與其他二次曲線的問題中.

引例：在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點在拋物線y2=4x上，且滿足■·■= -4，F是拋物線的焦點，則S△OFA·S△OFB=________.

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圖1

分析：借助幾何直觀，學生不難發現△OFA與△OFB同底，所以它們面積的乘積由A，B兩點的縱坐標乘積的絕對值決定.結合已知條件，可以利用向量數量積運算的坐標表示及拋物線方程進行轉化求解.

解：設A，B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則y■=4x1，y■=4x2，所以y■·y■=16x1x2. 又x1x2+y1y2=-4，所以y■y■+16y1y2+64=0，所以y1·y2=-8，所以S△OFA·S△OFB=■·OFy1y2=2.

評析：本題是2013年全國高中數學聯賽一試的一道填空題，題目內容簡潔清晰，以學生比較熟悉的拋物線及向量的數量積運算為背景，主要考查學生綜合運用坐標法和函數與方程的思想進行分析問題、解決問題的……