2012年高考四川理科第15題的解法及其一般性探究

摘 要：文章分別用代數方法和幾何方法對2012年高考四川理科第15題進行了解答，同時對其進行了一般性探究，給出了一個結論.

關鍵詞：對稱；周長；面積

題目 橢圓■+■=1的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積是____________.

解法一：將x=m代入■+■=1得：y=±■■（-2

不妨記Am，■■，

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+■=m+4+■（-2

所以L′=1-■.

所以由L′=0得2■-6m=0，解得m=1.

所以當-20；當1

所以m=1時，△FAB的周長L有最大值8，此時AB=■=3.

左焦點F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

解法二：不妨設A（2cosα，■sinα）（α∈（0，π）），

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB

=2■+2■sinα

=2■+2■sinα

=2（cosα+2）+2■sinα

=4sinα+■+4.

由△FAB的周長L有最大值8，得α=■，此時A1，■，

所以AB=■=3.

左焦點F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

解法三：設直線x=m與x軸的交點為C，F1為右焦點，直線x=1與橢圓相交于點A1，B1.

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+2AC.

當-2

L=2FA+2AC<2FA+2F1A=2FA1+2F1A1=8；

當-1

當1

綜上所述，當m=1時，△FAB的周長L有最大值8，此時A1，■，AB=■=3，左焦點F到直線x=m的距離為2c=2，所以△FAB的面積為S=■×2×3=3.

對試題進行進一步探究，有以下一般性結論：

橢圓M：■+■=1（a>b>0）的焦點F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，當△FAB的周長有最大值4a時，△FAB的面積為定值■.？搖？搖

以上結論在橢圓M：■+■=1（a>b>0）中也成立.

證法一：記F為左焦點.

將x=m代入■+■=1（a>b>0）得y= ±■■（-a

不妨記Am，■■，

由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+■■=■+■■（-a

所以L′=■-■.

所以由L′=0得2ac■-2abm=0，解得m=c.

所以當-a0；當c

所以m=c時，△FAB的周長L有最大值4a，此時AB=■=■.

焦點F到直線x=m的距離為2c，所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

證法二：記F為左焦點.

不妨設A（acosα，bsinα）（α∈（0，π）），由對稱性得△FAB的周長L=2FA+AB=2■+2bsinα=2■+2bsinα=2（ccosα+a）+2bsinα=2asin（α+φ）+2atanφ=■.

由△FAB的周長L有最大值4a時，得α=■-φ，此時Ac，■，

所以AB=■，

焦點F到直線x=m的距離為2c，

所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

證法三：記F為左焦點.設直線x=m與x軸的交點為C，F1為右焦點，直線x=c與橢圓相交于點A1，B1. 由對稱性得△FAB的周長L=2F1A+2AC.

當-a

當-c

當c

綜上所述，當m=c時，△FAB的周長L有最大值4a，此時AB=■=■，左焦點F到直線x=m的距離為2c，所以△FAB的面積為S=■×2c×■=■.

上述……