怎一個“不妨設”了的

摘 要：一種教材，一般要經得起千錘百煉，因為它是教師開展日常教學的依據，是學生學習仿照的模板. 因此，無論是教材的編寫者還是教學的設計者，都要盡量考慮從學生的角度出發，要從學生的認知基礎、認知結構去設計教學，引領學生主動地探索知識，發展其探索創新的能力與潛力.

關鍵詞：認知結構；數學思想方法；過程性教學

■問題的提出

中等職業教育國家規劃教材《數學》（基礎版）中的《8.11圓與直線的位置關系》中關于直線與圓的位置關系交點個數研究有這樣一段敘述：

點M（x，y）是直線l：Ax+By+C=0與圓x2+y2=r2的交點，？圳點M的坐標（x，y） 是方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實數解.

我們來討論方程組（1）有沒有實數解？有多少個實數解？

不妨設B≠0，從（1）的第一式得y= -■， （2）

將（2）式代入（1）的第二式，得x2+-■■=r2.

整理，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （3）

kfa60PyhRUE92tfXEnc0Ig==一元二次方程（3）的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2]. （4）

于是Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■？搖 （5）

注意圓心O（0，0） 到直線l的距離d為

d=■=■. （6）

從（5）式和（6）式，得Δ≥0？圳r≥d.？搖？搖（7）

（以下解答過程從略）

■問題的探討

很明顯，在討論方程組（1）有沒有實數解，（1）的第一式y=-■時，B作為分母就有可能出現0，但編者在此用了一句：“不妨設B≠0”顯然不妥，在一定程度上是編者裁減了學生的思考過程，削弱了學生思考問題的能力，喪失了訓練學生數學思維能力的好機會. 為此，筆者對此問題做了詳細e9EslTAACYHUJMFIkQyJUg==的研究并作了如下的改進.

■問題的改進

討論方程組Ax+By+C=0，x2+y2=r2，（1）的實數解.

由第一式，得B2y2=[-（Ax+C）]2

由第二式，得B2y2=B2（r2-x2）.

上述兩式相減， 得（A2+B2）x2+2ACx+（C2-B2r2）=0. （8）

因為A2+B2≠0，

所以一元二次方程的判別式為Δ=（2AC）2-4（A2+B2）（C2-B2r2）=4B2[（A2+B2）r2-C2].？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

當B≠0時，Δ≥0？圳（A2+B2）r2-C2≥0？圳r2≥■？圳r≥■.？搖

注意圓心O（0，0）到直線l的距離d為d=■=■.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？……