三角恒等式在單位圓中的完美展現

摘 要：本文利用單位圓給出了三角函數中一系列三角恒等式的圖形證明. 三角函數本身是數與形的完美結合，建議教學中利用三角函數滲透數形結合思想的教育，同時用好課本設置的旁白、思考、探究等內容，去嘗試改變課堂教學方式和學生的學習方式.

關鍵詞：三角恒等式；探究；圖形證明；教學建議

單位圓是指平面直角坐標系中圓心為（0，0）、半徑為1的圓. 單位圓在高等數學中有著十分廣泛的應用. 初等數學教材在單位圓中定義了三角函數線，利用單位圓推出了同角三角函數關系，三角函數的誘導公式也是根據單位圓中角的終邊的對稱性導出的，將單位圓中的三角函數線平移就得到了三角函數的圖象等等，所以單位圓在三角函數中的作用不容忽視.

本文從課本一道例題出發，在單位圓中給出三角函數中一系列恒等式的圖形證明或揭示三角恒等式的幾何意義.

■引例

蘇教版必修4“同角三角函數關系” 例4為：求證：■=■.

教材設置了探究：

探究 圖1中隱藏了一個例4的“圖形證明”，你能發現嗎？

■

與教材配套的《高中數學教學參考》提供了如下的圖形證明：

P為單位圓周上除A，B外的任意一點，連結PA，PB，則PA⊥PB，設∠POB=α，過P作PM⊥AB于M，則

PM=sinα，OM=cosα，AM=1+cosα，BM=1-cosα.？搖？搖？搖？搖？搖

因為Rt△PMA∽Rt△BMP，所以■=■，即■=■.

對上述圖形作進一步的探究可以發現很多三角恒等式的圖形證明.

■探究

1. 正切半角公式的幾何意義

如圖2，Rt△PAB中，∠PAB=■， PA交y軸于N，則OA=1，ON=tan■.

■

因為Rt△AON∽Rt△AMP，

則■=■，即■=■，tan■=■.

又Rt△AON∽Rt△PMB，則■=■，即

■=■，tan■=■，

所以tan■=■=■，

即■，■為線段ON的長.

2. 正弦、余弦降冪公式的推導

如圖3，Rt△PAB中，∠PAB=■，PB=2sin■，PA=2cos■.

■

Rt△PAB中，PB2=AB·MB，

得2sin■■=2（1-cosα），即sin2■=■；

同理Rt△PAB中，PA2=AB·AM，得……