一類三角形問題的兩種常規解法

摘 要：三角形的問題一直是高考的重點，縱觀多年的高考試卷，很多題目都是圍繞三角形的角和邊進行拓展，如何解決這一類的問題，嚴謹踏實不丟分，作者憑借多年的經驗提出精彩的闡述，與同行共享.

關鍵詞：三角形；問題；常規解法

題：△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，tanC=■，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圓直徑為1，求a2+b2的取值范圍.

這是一道高三復習三角時常選的一例，解決第一個問題時首先從條件出發求出角C大小，有如下兩種常用方法：

方法1：化角：由tanC=■得■=■，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），

所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不難得到sin（C-A）=sin（B-C）.

因為A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A=-π-（B-C），即C=■或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=■.

方法2：化邊：由tanC=■化至sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同時使用正弦、余弦定理得：c·■+c·■=a·■+b·■，經整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，進一步可化為c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？搖所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，

故有■=■=cosC. 因為c∈（0，π），所以c=■.

這是對第一問的兩種處理方案，顯然方法1較為容易. 但本文所要介紹的重點是第二個問題的處理方法.

方法1：由（1）知c=■，又外接圓直徑2R=1，所以c=2RsinC=■.

又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=■，所以ab=a2+b2-■.

又由基本不等式知ab≤■，所以a2+b2-■≤■，所以a2+b2≤■，當且僅當a=b時取等號. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=■，所以a2+b2的取值范圍是■，■. 這一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是■. 所用知識廣而不深，處理得靈活便捷.

方法2：由（1）知c=■，外接圓直徑2R=1，所以根據正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=■+■. 又A+B+C=π，C=■，B=■π-A且A∈0，■π，？搖所以原式=■+■=1-■cos2A+cos■π-2A=1-■cos2A-■cos2A-■·sin2A=1-■■cos2A-■sin2A=1+■sin2A-■.

因為A∈0，■π，所以2A-■∈-■，■，所以1+■sin2A-■∈■，■.？搖

方法2與方法1的風格截然不同，它是利用正弦定理，通過消元將目標式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k形狀，再根據角的取值范圍求出目標式取值范圍，這一做法雖沒有法1快捷，但也能把不少的三角公式——兩角和差、降冪公式、輔助角公式作了考查，也……