用導數工具求解數列問題

摘 要：本文以兩道2013年高考試題來探討如何用導數工具解決數列問題.

關鍵詞：數列；導數

？搖數列是高中數學必修的5個模塊內容之一，也是高等數學的基礎，所以數列是每年高考數學的重要考查內容. 《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）對高中數列的教學內容與要求是“了解數列是一種特殊函數；理解等差數列、等比數列的概念；探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系”. 因此，高考試題重點考查等差、等比數列的定義、性質、通項公式及前n項和公式等知識點.

數列是定義域為正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數，是一類特殊的函數. 因此，許多數列問題可以用函數思想、 觀點和性質來解決，從而基于函數思想研究和解決數列問題十分有意義. 函數思想是中學數學的一種基本的數學思想，它應用廣泛，貫穿于整個高中數學. 對比數列，函數有許多好的性質，如函數連續性、可導性等. 函數的導數，作為高中數學的新增內容之一，為解題、教學和教研注入了新的活力，更是研究函數的單調性、極值和最值等問題的有力工具. 由于數列可看作是特殊的函數，所以我們自然而然就想到要用函數導數這個新的工具來解決有關數列問題.

例1 （2013安徽卷·理20）設函數fn（x）=-1+x+■+■+…+■（x∈R，n∈N*）.

證明：（1）對每個n∈N*，存在唯一的xn∈■，1，滿足fn（xn）=0；……