如何準確判斷二面角中兩法向量的方向

摘 要：法向量是研究二面角問題的一個有效工具，在應用中，學生常困惑于二面角大小與其兩半平面法向量的夾角的關系是相等還是互補，原因在于難以準確判斷法向量的方向. 對于該問題，可以通過構造輔助向量，利用數量積與兩向量夾角的關系來準確判斷出兩法向量的方向，從而有效地解決了學生的困惑.

關鍵詞：二面角；法向量；輔助向量；方向

立體幾何中的二面角問題一直是高考的熱點，向量法是解決該問題常用的方法. 該方法簡單實用，便于掌握，但學生常在判斷二面角大小與其兩半平面法向量的夾角是相等還是互補時產生困難，原因在于難以準確判斷出法向量的方向. 教學中常采用直觀觀察的方法，這對空間想象力弱的學生來說效果并不好，也有失數學學科的嚴謹性. 筆者結合自身教學經驗探索出了一個準確判斷兩法向量方向的方法.

■法向量方向的判斷方法

教學中，在判斷二面角大小和其兩法向量夾角的關系時，常采用如下方法：

已知二面角α-l-β的大小為θ，向量n1，n2分別為半平面α，β的法向量，若法向量n1，n2均指向二面角的內部（或外部），則θ=π-〈n1，n2〉（圖1）；若法向量n1，n2一個指向二面角的內部，另一個指向二面角的外部，則θ=〈n1，n2〉（圖2）.

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在應用該方法時，對法向量方向的判斷是個難點，本文將給出如下判斷方法：

定理：已知二面角α-l-β，半平面α的法向量為n1，在棱l上任取一點O，在半平面β內任取一點A（點A不在棱l上），構造輔助向量■，當n1·■>0時，法向量n1指向二面角的內部；……