65m射電望遠(yuǎn)鏡副面調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)策略與工作空間邊界識(shí)別

竇玉超 姚建濤 侯雨雷 趙永生

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

0 引言

為實(shí)現(xiàn)65m射電望遠(yuǎn)鏡波段轉(zhuǎn)換和副面指向誤差修正，在副面與桁架之間加裝了Stewart型并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)具有一定的運(yùn)動(dòng)容錯(cuò)能力，可提高射電望遠(yuǎn)鏡的可靠性。

關(guān)于機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)容錯(cuò)方法，Monteverde等［1］提出了在并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)分支上安裝冗余電機(jī)或冗余驅(qū)動(dòng)分支的方法進(jìn)行容錯(cuò)。Yi等［2］將并聯(lián)機(jī)構(gòu)失效形式分為位置失效、轉(zhuǎn)矩失效、硬件失效，分析了3種失效對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的影響，采用工作空間冗余和運(yùn)動(dòng)學(xué)冗余的方法實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)容錯(cuò)。Notash等［3］將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的失效形式分為運(yùn)動(dòng)失效、驅(qū)動(dòng)失效、傳感器失效，分別給出了相應(yīng)的容錯(cuò)策略。Li等［4］對(duì)串聯(lián)機(jī)器人的冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)在容錯(cuò)運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡規(guī)劃問題進(jìn)行了研究。Hassan等［5］在各分支上添加冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)容錯(cuò)。通過冗余驅(qū)動(dòng)或冗余自由度實(shí)現(xiàn)串聯(lián)機(jī)器人容錯(cuò)的研究較多，但將冗余自由度用于并聯(lián)機(jī)器人容錯(cuò)研究并進(jìn)行應(yīng)用的報(bào)道較少。使用該容錯(cuò)方法得到的工作空間受故障分支長(zhǎng)度約束，將小于其正常工作空間，因此精確的工作空間計(jì)算方法和邊界識(shí)別策略是提高容錯(cuò)效果的重要手段。徐剛等［6］采用并聯(lián)機(jī)構(gòu)在36個(gè)特定方向上運(yùn)動(dòng)范圍的交集對(duì)不同機(jī)構(gòu)工作空間的大小進(jìn)行評(píng)價(jià)，忽略了姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)副干涉對(duì)工作空間的影響。李保坤等［7］將并聯(lián)機(jī)器人非奇異工作空間的內(nèi)切球作為其實(shí)際工作空間，縮小了機(jī)器人實(shí)際工作范圍。Wang等［8］采用統(tǒng)一算法對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的可達(dá)工作空間和靈活工作空間的計(jì)算方法進(jìn)行了研究。榮譽(yù)等［9］研究了六足機(jī)器人的（U＋UPR）P＋UPS型腿部結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其工作空間性能的影響。袁立鵬等［10］建立了并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)與工作空間的數(shù)學(xué)關(guān)系。劉欣等［11］進(jìn)行了欠約束、完全約束、冗余約束3種情況下的一致工作空間存在的證明并得到了求解策略。上述文獻(xiàn)研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)工作空間大小的影響，卻忽視了不規(guī)則工作空間邊界識(shí)別方法對(duì)機(jī)構(gòu)實(shí)際工作范圍的影響。

針對(duì)如何實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)容錯(cuò)和工作空間邊界識(shí)別的問題，首先分析了單分支驅(qū)動(dòng)故障對(duì)機(jī)構(gòu)自由度的影響，提出利用冗余自由度進(jìn)行容錯(cuò)的原理，對(duì)比了在L波段和S波段指向發(fā)生故障時(shí)機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)的極限工作空間，提出了工作空間不規(guī)則邊界的識(shí)別方法，實(shí)現(xiàn)了不規(guī)則工作空間邊界對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)范圍的約束。

1 副面并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)原理

1.1 并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)自由度分析

副面的Stewart型并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)如圖1所示。該并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)由固定平臺(tái)、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)及連接固定平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的6個(gè)驅(qū)動(dòng)分支組成。每個(gè)分支由胡克鉸（U副）、移動(dòng)副（P副）及球鉸（S副）依次連接而成。其中，胡克鉸Bi與固定平臺(tái)相連，球鉸bi與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相連，移動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副。分別在固定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)平面內(nèi)中心點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系oxyz、o1x1y1z1，y軸與 ∠B1oB2的角平分線重合，y1軸與 ∠b1ob2的角平分線重合，z軸、z1軸分別垂直于固定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)平面豎直向上，坐標(biāo)系o1x1y1z1相對(duì)坐標(biāo)系oxyz的位姿即為動(dòng)平臺(tái)位姿。

圖1 并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

當(dāng)分支Bibi驅(qū)動(dòng)發(fā)生故障導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)副P鎖死成為定長(zhǎng)桿時(shí)，故障分支可等效為US結(jié)構(gòu)，而其他分支均具有6個(gè)自由度，所以動(dòng)平臺(tái)的自由度取決于故障分支的自由度。為分析故障分支的自由度，建立該分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系，如圖2所示。

任意位姿下故障分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

圖2 故障分支運(yùn)動(dòng)螺旋系

式中，l為發(fā)生故障時(shí)的分支長(zhǎng)度；qs、ms、ns分別為運(yùn)動(dòng)副s軸線單位矢量的分量，s＝1，2，…，5。

由故障分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系可得其反螺旋：

＄r表示一個(gè)沿（q3，m3，n3）方向的約束力螺旋。該約束力螺旋軸線與分支桿軸線重合，由此表明該故障分支約束了動(dòng)平臺(tái)沿桿長(zhǎng)方向的瞬時(shí)移動(dòng)自由度。

1.2 基于冗余自由度的容錯(cuò)原理

假設(shè)分支Bibi發(fā)生故障時(shí)桿長(zhǎng)為l，動(dòng)平臺(tái)期望位姿為動(dòng)坐標(biāo)系o1x1y1z1相對(duì)固定坐標(biāo)系oxyz的位姿：

式中，AP、［γ β 0］分別為坐標(biāo)系o1x1y1z1相對(duì)坐標(biāo)系oxyz的位置和姿態(tài)。

以X－Y－Z歐拉角表示坐標(biāo)系o1x1y1z1相對(duì)坐標(biāo)系oxyz的旋轉(zhuǎn)變換，變換矩陣為

則球鉸bi（i＝1，2，…，6）在坐標(biāo)系oxyz下的位置矢量可表示為

式中，bi為第i個(gè)球鉸在坐標(biāo)系o1x1y1z1下的位置。

可求得分支Bibi運(yùn)動(dòng)學(xué)反解：

式中，Bi為第i個(gè)胡克鉸在坐標(biāo)系oxyz下的位置。

顯然，當(dāng)li≠l時(shí)，動(dòng)平臺(tái)無法到達(dá)期望位姿。但因動(dòng)平臺(tái)繞其軸線z1的轉(zhuǎn)動(dòng)并不影響副面指向，故可將動(dòng)平臺(tái)繞z1軸轉(zhuǎn)動(dòng)α，如圖3所示。

圖3 并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)原理圖

調(diào)整后動(dòng)平臺(tái)位姿為動(dòng)坐標(biāo)系o′1x′1y′1z′1在固定坐標(biāo)系oxyz下所表示的位姿：

將式（3）所表示的位姿代入式（2），可求得調(diào)整后分支Bibi運(yùn)動(dòng)學(xué)反解：

式中，b″i為坐標(biāo)系o′1x′1y′1z′1所示位姿下球鉸在坐標(biāo)系oxyz下的位置。

令l′i＝l，可求得轉(zhuǎn)角α與期望位姿以及桿長(zhǎng)l的函數(shù)關(guān)系：

將式（3）所表示的位姿、式（4）代入式（2），可求得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在位姿AP′下的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解：

基于冗余自由度的并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)原理可總結(jié)為：根據(jù)動(dòng)平臺(tái)期望位置AP和故障分支桿長(zhǎng)l，將動(dòng)平臺(tái)繞z1軸轉(zhuǎn)動(dòng)α，使得調(diào)整后的動(dòng)平臺(tái)位姿AP′所對(duì)應(yīng)的故障分支運(yùn)動(dòng)學(xué)反解與分支發(fā)生故障時(shí)的桿長(zhǎng)相等，并按照調(diào)整后動(dòng)平臺(tái)位姿分別計(jì)算其他分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。因動(dòng)平臺(tái)繞z1軸轉(zhuǎn)動(dòng)并不影響副面指向，故可利用式（5）進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算，為實(shí)現(xiàn)并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)的容錯(cuò)運(yùn)動(dòng)提供理論支撐。

2 容錯(cuò)情況下工作空間分析與邊界識(shí)別

2.1 容錯(cuò)情況下工作空間對(duì)比分析

容錯(cuò)情況下，并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)所能實(shí)現(xiàn)的工作空間是否滿足副面指向調(diào)整的需要，決定著能否將上述容錯(cuò)原理應(yīng)用于實(shí)際工作，因此需要進(jìn)行并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)情況下的工作空間計(jì)算。

首先根據(jù)射電望遠(yuǎn)鏡的方向圖對(duì)副面位姿進(jìn)行校正，從而獲得射電望遠(yuǎn)鏡主反射面基準(zhǔn)俯仰角（50°）及極限俯仰角（5°和90°），射電望遠(yuǎn)鏡在S波段和L波段副面的位姿如表1所示。

表1 副面位姿調(diào)整范圍

由表1可以看出，射電望遠(yuǎn)鏡工作在S波段和L波段時(shí)，主反射面俯仰角從5°至90°調(diào)整過程中，副面位置調(diào)整范圍均為：5.140mm≤x≤5.956mm，0.751mm≤y≤62.110mm，11.410mm≤z≤31.607mm。但副面姿態(tài)調(diào)整范圍并不一致，S波段：0.018 68°≤γ≤0.146 35°，－0.072 91°≤β≤－0.071 36°。L波段：3.968 68°≤γ≤4.096 35°，－0.072 91°≤β≤－0.071 36°（姿態(tài)是多個(gè)角度的耦合，就單個(gè)角度而言確實(shí)沒有變化，但對(duì)于姿態(tài)來說是不相同的）。由于副面具有軸對(duì)稱性，故繞副面軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的α角沒有發(fā)生變化。以上的副面位姿調(diào)整范圍即為保證射電望遠(yuǎn)鏡正常工作所需并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)工作空間。

為了計(jì)算容錯(cuò)情況下并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)的工作空間，以初始位姿下動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)為中心，劃定涵蓋工作空間的立方體區(qū)域，將其離散成有限個(gè)小立方體的集合。以小立方體的頂點(diǎn)作為目標(biāo)點(diǎn)，以（i，j，k）（i，j，k＝1，2，…，n）表示目標(biāo)點(diǎn)在工作空間中的位置序列。在每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)處對(duì)并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)姿態(tài)逐一進(jìn)行賦值，采用上一節(jié)提出的容錯(cuò)原理進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算，并將分支桿是否超出行程，胡克鉸、球鉸和分支桿間是否發(fā)生干涉作為判斷目標(biāo)點(diǎn)是否在工作空間內(nèi)的依據(jù)。所有可到達(dá)的小立方體頂點(diǎn)覆蓋的空間區(qū)域即為并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)在容錯(cuò)情況下的工作空間。該工作空間的搜索流程如圖4所示。

使用上述工作空間計(jì)算方法對(duì)射電望遠(yuǎn)鏡工作在S波段和L波段并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)故障后的極限工作空間進(jìn)行計(jì)算。工作在S波段時(shí)，最小、最大工作空間分別發(fā)生在2號(hào)分支長(zhǎng)度為2346.267mm和3號(hào)分支長(zhǎng)度為2417.517mm時(shí)。工作在L波段時(shí)，最小、最大工作空間分別發(fā)生在6號(hào)分支長(zhǎng)度為2318.640mm和4號(hào)分支長(zhǎng)度為2487.044mm時(shí)，將調(diào)整機(jī)構(gòu)故障后工作空間與其正常工作空間進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。可見故障情況下使用容錯(cuò)原理獲得的工作空間明顯小于正常工作空間，且均發(fā)生部分邊界超出正常工作空間的現(xiàn)象。這是由于故障情況下動(dòng)平臺(tái)為到達(dá)期望位姿繞自身軸線進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)調(diào)整，使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在該方向上運(yùn)動(dòng)范圍增大。

圖4 容錯(cuò)工作空間計(jì)算

如圖6所示，將射電望遠(yuǎn)鏡工作在S波段和L波段時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生單分支驅(qū)動(dòng)故障后可實(shí)現(xiàn)的最小工作空間與保障射電望遠(yuǎn)鏡正常工作時(shí)副面的調(diào)整范圍進(jìn)行對(duì)比分析。從圖6可以看出，L波段和S波段故障情況下的最小工作空間存在交集，且該交集完全涵蓋了保障射電望遠(yuǎn)鏡正常工作副面所需的調(diào)整范圍，即機(jī)構(gòu)在任意位姿下發(fā)生故障后，采用容錯(cuò)方法所實(shí)現(xiàn)的工作空間均能滿足副面指向調(diào)整的需要。

2.2 工作空間邊界識(shí)別

為實(shí)現(xiàn)對(duì)工作空間邊界的識(shí)別，在利用前述工作空間計(jì)算方法獲得的工作空間基礎(chǔ)上，計(jì)算目標(biāo)點(diǎn)p與工作空間中所有小立方體頂點(diǎn)（xi，yi，zi）的距離，通過判斷與點(diǎn)p 距離最近的小立方體頂點(diǎn)pijk是否位于工作空間內(nèi)，實(shí)現(xiàn)對(duì)點(diǎn)p是否位于工作空間內(nèi)的判斷。點(diǎn)p、點(diǎn)pijk、工作空間之間的相對(duì)位置關(guān)系如圖7所示。

圖5 故障情況下工作空間與正常工作空間對(duì)比

圖6 最小工作空間與副面調(diào)整范圍

圖7a中，最近點(diǎn)pijk為工作空間范圍內(nèi)相鄰8個(gè)小立方體的公共頂點(diǎn)，因點(diǎn)p與pijk之間的距離小于小立方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，因此點(diǎn)p必位于某個(gè)小立方體的內(nèi)部，即位于工作空間范圍內(nèi)。圖7b～圖7d給出了其他3種目標(biāo)點(diǎn)p、最近點(diǎn)pijk、工作空間的相對(duì)位置關(guān)系，在這3種情況下，點(diǎn)p可能在工作空間內(nèi)與點(diǎn)pijk最近，也可能在工作空間外與點(diǎn)pijk最近，分別在p0和p′0所示位置。對(duì)應(yīng)此類情況，安全起見，認(rèn)為點(diǎn)p位于工作空間范圍外。即只有最近點(diǎn)pijk為8個(gè)相鄰小立方體的公共頂點(diǎn)時(shí)，才視目標(biāo)點(diǎn)p位于工作空間范圍內(nèi)。

圖7 目標(biāo)點(diǎn)與工作空間邊界關(guān)系

使用上述方法對(duì)工作空間邊界進(jìn)行識(shí)別，其精確程度取決于在進(jìn)行工作空間計(jì)算時(shí)離散的小立方體棱長(zhǎng)，該值越小，對(duì)工作空間邊界的識(shí)別精度越高。

3 并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)容錯(cuò)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

65m射電望遠(yuǎn)鏡已于2012年10月落成并投入使用，其副面并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)如圖8所示。為驗(yàn)證本文所提出的容錯(cuò)原理的有效性，進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)?zāi)M機(jī)構(gòu)在2號(hào)分支長(zhǎng)度為2346.267mm時(shí)發(fā)生故障，要求射電望遠(yuǎn)鏡俯仰角從5°調(diào)整至90°，副面位姿從

調(diào)整到

以實(shí)現(xiàn)饋源由S波段到L波段的切換。

副面從位姿A調(diào)整到位姿B的過程中采用直線軌跡進(jìn)行過渡，使用本文提出的單分支驅(qū)動(dòng)故障容錯(cuò)原理對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行計(jì)算，實(shí)現(xiàn)副面位姿的調(diào)整。

由于并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)安裝在近70m的高空，現(xiàn)有測(cè)量設(shè)備難以實(shí)現(xiàn)對(duì)如此遠(yuǎn)距離目標(biāo)的精確測(cè)量。為了驗(yàn)證副面是否按照預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡到達(dá)指定位姿，在并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中采集各驅(qū)動(dòng)分支桿長(zhǎng)傳感器磁尺反饋的數(shù)據(jù)，如圖9所示。采用運(yùn)動(dòng)學(xué)正解對(duì)調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中副面的位置和姿態(tài)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果分別如圖10、圖11所示。

圖9 并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

從圖10、圖11所示的副面位姿調(diào)整過程可以看出，副面并未按照設(shè)計(jì)的起止位姿進(jìn)行調(diào)整，而是從位姿

調(diào)整到

圖10 副面位置調(diào)整過程

圖11 副面姿態(tài)調(diào)整過程

副面繞與自身軸線重合的z1軸從－2.284 00°轉(zhuǎn)動(dòng)至0.612 10°，其他5個(gè)自由度方向的調(diào)整與預(yù)期設(shè)計(jì)的調(diào)整過程一致。由于副面繞與自身軸線重合的z1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，副面指向并不發(fā)生改變，所以并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)按照預(yù)定軌跡實(shí)現(xiàn)了對(duì)副面位姿的調(diào)整。

4 結(jié)語

本文以確保上海65m射電望遠(yuǎn)鏡副面并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)正常運(yùn)行為目的，分析了調(diào)整機(jī)構(gòu)單分支驅(qū)動(dòng)故障對(duì)機(jī)構(gòu)自由度的影響，提出了利用冗余自由度實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)運(yùn)動(dòng)的方法，并對(duì)故障后可實(shí)現(xiàn)的容錯(cuò)運(yùn)動(dòng)范圍進(jìn)行了計(jì)算分析；實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)構(gòu)不規(guī)則工作空間邊界的識(shí)別，避免了設(shè)備超出工作空間造成的損壞；實(shí)驗(yàn)證明了所提出容錯(cuò)原理的有效性，成功實(shí)現(xiàn)副面位姿的調(diào)整，提高了射電望遠(yuǎn)鏡運(yùn)行的可靠性。

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