細菌群覓食優化算法及PID參數優化應用

陳東寧 張國峰 姚成玉 張瑞星

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島，066004

3.燕山大學河北省工業計算機控制工程重點實驗室，秦皇島，066004

0 引言

近年來，人們模擬自然界生物群體行為發展出一系列群體智能仿生算法，其中，粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）算法和細菌覓食（bacterial foraging，BF）算法已在諸多領域展現了良好的應用前景。

PSO算法具有概念簡明、實現方便、收斂速度快等優點，在很多優化問題中得到成功應用。文獻［1］將PSO算法應用于可靠性優化，并通過串－并聯、橋式系統等可靠性優化實例驗證了方法的可行性。文獻［2］將混沌粒子群優化的神經網絡應用于旋轉機械故障診斷，取得了良好效果。然而，PSO算法在求解優化問題時，容易陷入局部 最 優，引 起 早 熟 收 斂［3］。BF 算 法 是 由Passino［4］提出的一種新型仿生類算法，具有并行搜索、易跳出局部極小值等優點，在不同領域得到了廣泛應用。文獻［5］將變鄰域BF算法用于求解作業車間調度問題，為車間調度問題提供了有效方法。文獻［6］將BF算法應用于公交調度優化，實現了交通系統的優化配置，但該算法存在收斂速度慢的缺點。

近幾年有學者將PSO算法和BF算法融合，如Biswas等［7］提出了一種混合PSO細菌覓食算法——BSO算法，即在細菌趨化操作后對細菌執行了一個僅使用全局最佳粒子的趨化前進操作，該算法優于BF算法和標準PSO算法。然而，BSO算法趨化前進操作中沒有考慮個體最佳粒子這一因素。

為此，本文提出一種細菌群覓食優化（bacterial swarm foraging optimization，BSFO）算法，利用PSO算法中粒子的速度更新公式來替代BF算法位置公式中的方向向量，并通過測試函數和控制系統仿真驗證其優化效果。

1 細菌群覓食優化算法

1.1 PSO算法

PSO算法將系統初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優值，粒子在解空間追隨最優的粒子進行搜索。每一次迭代中，粒子通過跟蹤2個“極值”來進行自我調整，一個極值是粒子本身所經歷過的最優解，稱為個體最佳位置pbest，另一個極值是整個種群目前找到的最優解，稱為全局最佳位置gbest。粒子在第k代的速度和位置更新過程如下［8］：

式中，vk、xk分別為第k代更新中粒子的速度和位置；vk＋1、xk＋1分別為第k＋1代更新中粒子的速度和位置；r1、r2為［0，1］區間內的隨機數；c1、c2為加速常數，代表將每個粒子推向pbest和gbest位置的統計加速項的權重，通常取為常數2；w為慣性權重。

式（1）、式（2）中的位置和速度不同于物理學中的含義，具有相同量綱，可以直接相加，下同。

慣性權重w表征上一代的速度對當前代速度的影響程度。隨著迭代次數的增加，粒子離最優點越來越近，為了減小振蕩，希望速度越來越小。為此，通常采用如下方式來調整慣性權重w：

式中，I為當前迭代次數；Imax為最大迭代次數；wmax、wmin分別為慣性權重的最大值和最小值［9］。

1.2 BF算法

細菌群的覓食行為可以看作是不斷優化的過程，優化問題的解對應搜索空間內細菌的狀態，即優化函數適應度值。BF算法包括趨化、繁殖、驅散三個步驟。

1.2.1趨化

趨化是細菌朝含有營養的區域聚集的行為。趨化過程中，細菌運動模式包括翻轉和前進。翻轉是細菌向隨機方向移動單位步長，每當細菌完成一次翻轉后，檢查適應度值是否改善，若是，則細菌將沿同一方向繼續前進Ns步。趨化的位置更新公式為

式中，Pi（j，k，l）為第i個細菌在第j次趨化、第k次繁殖和第l次驅散中的位置；Δ（i）為隨機產生的方向向量；C（i）為細菌在任意方向被指定的步長大小。

1.2.2繁殖

所有細菌完成趨化后，進入繁殖階段。采用健康度作為評定各細菌優劣的準則，計算公式為

式中，Jh，i為第i個細菌的健康度；ji（j，k，l）為第i個細菌在第j次趨化、第k次繁殖和第l次驅散操作中的適應度值；Nc為趨化步驟的最大次數。

將全部S個細菌根據健康度進行升序排序，淘汰健康度較差的Sr（Sr＝S／2）個細菌，保留健康度較好的Sr個細菌。將存活的Sr個細菌以一分為二的方式進行繁殖，產生的子細菌具有和母細菌相同的位置和趨化步長。

1.2.3驅散

細菌在Nre次繁殖結束后，將適應度值差的細菌驅散。為確保細菌總數的不變，以概率Ped驅散相同數目的細菌到其他位置，剩余細菌的位置保持不變。細菌驅散步驟的最大次數為Ned。

1.3 BSFO算法的提出

BF算法中，一個細菌代表一個解，細菌在尋找最優解時只依靠自己，群體間不存在信息共享機制。PSO算法中，一個粒子代表一個解，粒子在尋找最優解時，不僅依靠自身，也依靠其他的信息（個體歷史最優解和全局最優解）。針對這種情況提出了BSFO算法，即通過借鑒PSO算法中粒子之間的信息共享機制，利用PSO算法中粒子的速度更新公式來代替細菌趨化中翻轉操作的位置公式中的方向向量Δ（i），使細菌在更新自身運動位置時，不斷感知周圍同伴的位置信息及細菌群體的歷史最優位置信息，進而克服PSO算法存在早熟收斂和BF算法收斂速度慢的缺陷。

將式（1）代入式（4），可得

為提高算法在優化前期的全局搜索能力和優化后期的局部搜索能力，趨化步長不再像BF算法中設為固定值，而改設為動態調整值：

式中，C（k，l）為第k次繁殖和第l次驅散的趨化步長；Lred為初始趨化步長；nk＋l－1為第k＋l－1次控制步長下降梯度的參數。

由于C（k，l）是隨繁殖操作數k和驅散操作數l增加而下降的函數，當初期的k、l較小時，步長C（k，l）較大，以便在較大的空間內搜索解。進化的過程中，隨著k、l逐漸增大，步長C（k，l）減小，使細菌在較好解的附近進一步搜索最優解，保證算法最終趨近全局最優點。

BSFO算法步驟如下：

（1）初始化細菌位置、速度。

（2）評價適應度值。

（3）三層循環。最內層步驟是趨化，其中，細菌的運動模式為翻轉，以式（6）進行細菌位置更新；前進，更新個體最優和全局最優并用式（1）更新各細菌的速度。中間層步驟是繁殖。最外層步驟是驅散。

（4）輸出最優解。

BSFO算法以BF算法為基礎，在趨化時用PSO算法中粒子的速度更新公式（式（1））來代替細菌趨化公式（式（6））中隨機產生的方向向量Δ（i）。有目的的方向操作加快了細菌的收斂，全局最優的引導作用提高了算法的精度。同時，舍去PSO算法中的式（2），直接用式（6）計算細菌位置更新歷史最優值。

1.4 BSFO算法的Benchmark函數測試

為分析所提的BSFO算法搜索性能，以BF算法、μPSO 算 法［10］和 BSO 算 法［7］作 為 對 比 算法。其中，μPSO算法的原理是通過對一般粒子和當代最優粒子設置不同的速度、位置計算公式增強粒子的搜索能力，利用排斥項避免搜索進程陷入早熟狀態，從而有效提高PSO算法的優化效率。

選擇表1所示的8個Benchmark函數對上述4種算法進行數值試驗，這些函數廣泛應用于評價優化算法的性能。評價的標準包括優化結果的平均值和標準差，平均值反映了在給定迭代次數下算法所能達到的精度，標準差反映了算法的穩定性。

分別用BF算法、μPSO算法、BSO算法和BSFO算法優化上述8個測試函數，程序重復運行30次所得函數極值的平均值和標準差見表2。從表2可以看出，與其他三種算法相比，BSFO算法對大部分測試函數更接近所求極值，標準差較小，具有較高的精度和穩定性。

表1 8個測試函數

表2 4種算法所得優化結果

這4種算法運行30次的運行時間平均值和標準差見表3。

表3 4種算法運行時間的平均值和標準差 s

從表3可以看出：基本BF算法與BSO算法在時間消耗上是差不多的，BSFO算法比上述兩種算法耗時更少，μPSO耗時最少。綜合表2、表3可以看出，BSFO算法不僅具有較高求解精度，而且耗時較少。

2 材料試驗機PID控制器參數優化

2.1 電液位置伺服系統數學建模

以材料試驗機電液位置伺服系統為研究對象，運用BSFO算法對其PID控制器參數進行優化。材料試驗機電液位置伺服系統原理如圖1所示，圖2為系統控制框圖。

圖1 材料試驗機電液位置伺服系統示意圖

圖2 電液位置伺服系統框圖

忽略外力擾動FL，得到開環傳遞函數：

式中，Uf為傳感器反饋電壓；U為控制器輸出電壓；Ka為伺服放大器增益；Ksv為伺服閥流量增益系數；Ap為液壓缸活塞有效面積；Kf為位移傳感器增益；Kce為總流量－壓力系數；K為負載彈簧剛度；ωsv為伺服閥固有頻率；ξsv為伺服閥阻尼比；ωr為慣性環節轉折頻率；ω0為綜合固有頻率；ξ0為綜合阻尼比。

將材料試驗機電液位置伺服系統實際參數代入后得到開環傳遞函數：

作出系統的開環Bode圖（圖3），其幅值裕度為56dB，相位裕度為無窮大，可見該系統閉環穩定。

計算該系統在1V指令（10mm）下閉環階躍響應，如圖4所示。可以看出，該系統在未加任何補償控制器之前，雖然系統閉環穩定，但是存在較大的靜態誤差，且響應很慢，遠不能達到該材料試驗機對準確性的要求，因此必須設計合理的控制器才能使得該系統到達一定的使用要求。

圖3 系統的開環Bode圖

圖4 閉環系統的階躍響應

2.2 數字PID控制器

數字計算需要對常規的PID算式通過采樣進行離散化，離散化后的控制器即為數字PID控制器。數字PID控制器可分為位置式和增量式，增量式算法系統工作會更安全。一旦計算機出現故障，使控制信號Δu（kT）為零時，執行機構的位置仍能保持前一步的位置u（kT），從而對系統安全不會有大的影響。因此，采用增量式數字PID控制器，表達式如下：

式中，u為控制輸出；e為誤差；Kp為比例系數；Ki為積分系數；Kd為微分系數；T為采樣周期，T＝0.001s；Ti為積分時間常數；Td為微分時間常數。

2.3 基于BSFO算法的PID控制器參數優化

細菌位置量P（式（1）中的x）編碼為［Kp，Ki，Kd］，即為PID控制器的3個調節參數。目標函數包括絕對誤差、控制器輸出平方、被控對象輸出增量和調節時間等。構造目標函數：

式中，e（t）為控制誤差；u（t）為控制器輸出；ts為調整時間；w1、w2、w3、w4為 權 值，w1＝ 0.999，w2＝ 0.001，w3＝2，w4＝100；y（t）為被控對象輸出。

BSFO－PID算法流程如圖5所示。

圖5 BSFO－PID算法流程

3 仿真結果及分析

BSFO－PID的參數設置如表4所示。最后求得PID控制器的參數和目標函數值的優化結果，如表5所示。從表5可以看出，BSFO－PID控制器的目標函數值最小。

表4 BSFO算法參數設置

表5 不同算法參數優化結果

Z－N PID、BSO－PID、μPSO－PID、BFPID和BSFO－PID幾種控制策略作用下控制器的輸出量如圖6所示。

圖6 不同控制策略下的控制器輸出

材料試驗機的電液位置伺服系統的單位階躍響應（1V，10mm）如圖7所示。

圖7 不同控制策略的階躍響應

系統動態性能指標如表6所示。

表6 階躍響應動態性能指標

仿真結果表明：運用BSFO算法優化的材料試驗機電液位置伺服系統PID控制器較其他4種算法設計的控制器在響應速度、收斂精度、超調量等方面具有更優良的綜合控制性能。

4 結論

（1）Benchmark函數測試結果表明：BSFO算法比BF算法、μPSO算法及BSO算法在收斂速度和計算精度上更為理想，克服了PSO算法早熟易陷入局部最優和BF算法收斂速度慢的缺陷。

（2）將BSFO算法應用于材料試驗機電液位置伺服系統的PID控制器參數的尋優，通過仿真可得：與Z－N整定算法、BF算法、μPSO算法和BSO算法相比，應用BSFO算法尋優后的PID控制系統具有更好的控制性能，滿足了材料試驗機的電液位置伺服系統控制性能要求。

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