死亡率免疫理論及其在長壽風險對沖中的應用

胡仕強

(浙江財經大學金融學院，浙江 杭州 310018)

一、引 言

金融機構在未來償還債務本金和支付利息時會產生一系列現金流，因此需要構造債券的投資組合以滿足其債務償還的承諾，即為免疫策略，更確切地說，是利率免疫策略。實施這一策略可以最大程度地降低利率變化對組合價值的影響，因此在資產負債管理中得到了廣泛的研究和應用，代表性的文獻有 Longstaff and Schwartz(1995)［1］和poitras and Jovanovic(2007)［2］等。同樣的，壽險及年金保單的保費及準備金作為保險公司的負債也會受到利率的影響。Redington(1952)首先研究了保單負債的利率免疫問題，給出了利力變化的一階條件:流入現金的久期應該等于流出現金的久期，即久期匹配策略［3］。之后Fisher and Weil(1971)和Shiu(1988)又拓展了Redington(1952)的免疫理論，進一步研究了單一負債和多負債免疫問題［4］［5］。這個領域較新的文獻有Courtois and Denuit(2007)和Tsai(2009)等，但其關注的仍是利率風險［6］［7］。

實際上，發行壽險和年金產品的保險公司不僅要承擔利率風險，而且面臨死亡率和長壽風險的沖擊，這對其財務狀況和償付能力都提出了更高的要求。資本市場在資金數量、流動性方面有其先天優勢，因此近年來利用資本市場轉移長壽風險作為一種可行的解決方案在理論和實務上都獲得了長足的發展，相關文獻有Hanewald(2011)［8］、Deng et al．(2012)［9］等。實務上，自2003年Swiss Re首次發行死亡率巨災債券以來，歐美發達國家已經相繼推出長壽債券、死亡率遠期(q－遠期)和長壽互換合同等長壽連接型金融創新產品。

與長壽風險的資本市場解決方案相比，一種被稱為行業自保的長壽風險應對策略受到的關注相對較少。該方案的基本原理是利用壽險保單和年金保單對長壽風險相反的風險敞口來對沖風險。如果實際死亡率相對于預期值獲得改善，壽險業務將因其死亡賠付比初始預期的延遲而獲利，而年金業務將因其支付期限長于初始預期而遭受損失，因此壽險業務將成為年金業務長壽風險的一種對沖工具。相對于資本市場解決方案，自然對沖的優勢是不需要一個流動性市場，可以避開長壽衍生產品發行、監管等法律和制度上的保障需求，也可以減少安排交易的成本。但是，自然對沖思想細化的一個重要問題是:在保險公司內部壽險業務和年金業務應該保持一種怎樣的份額比例才能有效對沖長壽風險?本文參照Wang et al(2010)［10］拓展利率免疫理論，利用死亡率免疫理論來討論保險公司內部壽險和年金產品的長壽風險對沖問題。

二、死亡率久期和凸性

保險公司的總負債是壽險業務的負債和年金業務的負債之和，即V=VL+VA，其中，VL是壽險業務的負債，VA是年金業務的負債，V是總負債。為了簡化起見，假設一個常數的死力μ，死亡率變化對負債的影響可由Taylor展開式表示如下:

其中ε為誤差項。為了達到免疫效果，當死亡率變化時，總負債不受影響，即(1)式為0，如果取一階近似，將V=VL+VA帶入并適當變形，得到:

仿照利率修正久期的定義，并考慮死亡率改善對壽險保單負債的正向關系及其對年金保單負債的反向關系，分別定義壽險負債的死亡率久期DL和年金負債的死亡率久期DA:和DA=(2)式可以變形為:

保險公司的壽險業務和年金業務的組合中，各業務保單負債在總負債中的比例只要滿足(4)式，就可以利用自身內部的壽險和年金業務進行自然對沖，使未來的總負債免受死力改善，即長壽風險的影響。這樣問題就歸結為求壽險保單和年金保單的死亡率修正久期。為了計算方便，仿照利率近似久期的計算方法推導死亡率近似修正久期的公式。假設V0L是壽險保單的初始負債，Δμ是死力變化的絕對值，V+L表示死力下降一個很小幅度時壽險業務的新負債，V－L表示死力上升一個很小幅度時壽險業務的新負債，ΔVL是負債波動的絕對值，得到:

修正久期與債券初始價格的乘積是凸狀的價格——收益率曲線在某點上的線性估計，這決定了在收益率變動不大的情況下，利用久期估計價格變化會比較準確，而在收益率變化較大的情況下，必須考慮價格——收益率曲線的凸性性質。同樣道理，在死亡率變動較大的情況下，必須考慮保險公司負債——死力曲線的凸性才能更準確地預測負債變化。因此，定義死力凸性如下:表示壽險負債的死亡率凸性，表示年金負債的死亡率凸性。應用類似于久期的近似算法，可以得到死亡率凸性的計算公式:

三、死亡率免疫策略的數值分析

(一)基本假設及死亡率改善對負債的影響

假定保險公司只出售壽險和年金兩種產品，并將涉及的保險產品各種定價因素約定如表1所示:

表1 保險產品的基本定價因素設定

為了研究年齡、性別和期限等的影響，對壽險產品將分別考慮30歲和40歲的被保險人，年金產品將分別考慮40歲和45歲的被保險人，男性、女性分別計算，計算20年、30年和終生保險，采用躉繳保費形式，利率穩定在3%，年金分別考慮15年延期和20年延期以考察影響死亡率久期的延期效應，定價生命表采用中國保險業經驗生命表2000－2003中的CL1和CL2。

為了考察死亡率改善對壽險和年金產品負債的影響，利用CL1模擬計算死力下降10%分別對30歲男性壽險和40歲男性年金產品的負債的沖擊，每種保單都考慮20年期、30年期和終生三種期限，計算結果見表2。

表2 死亡率降低10%對壽險和年金產品負債的影響

表2顯示，20年定期、30年定期和終生壽險保單負債分別下降9.85%、9.65%和2.91%，壽險保單負債與死亡率變化的方向相同，且壽險保單負債的死亡率敏感性隨著保險期限延長而降低;而20年期、30年期和終生年金的負債分別增加2.27%、3.31%和3.69%，即年金保單負債與死亡率變化方向相反，且其死亡率敏感性隨著期限的延長而提高，終生年金受死亡率改善的沖擊最大。

(二)死亡率久期和凸性的影響因素分析

與債券價格的利率敏感性受票面利率、到期時間和初始收益率三個因素的影響一樣，保單負債的死亡率敏感性也會受被保險人年齡、性別、保險期限和延期期限等因素的影響。因此分別按表1對年齡、保險期限和延期期限的設定來計算死亡率久期。

表3 死亡率久期的影響因素

表3顯示:(1)壽險保單在其他條件相同時，久期將隨期限的延長而減小、隨年齡的增加而減小;(2)年金保單在其他條件相同時，年金的給付期限、年齡和延期年限都與久期絕對值成正向關系，且相同年限的延期效應大于年齡效應;(3)其他條件相同時，女性年金的死亡率久期絕對值均小于男性的相應值，女性壽險的死亡率久期均大于男性的相應值(終生壽險除外)。這一規律性變化對實際進行自然對沖時選擇調整保單種類將具有重要的指導意義。

表3數據結合(1)式可以預測死亡率變動導致的負債變動，如對30歲男性的20年定期保險，如果僅考慮久期，則死亡率下降10%將導致負債下降9.84%，這和表2實際計算值9.85%僅相差0.01%。當然死亡率變動較大時就必須考慮死亡率凸性的影響。實際上，根據(6)式和表3，可以考察死亡率凸性的影響因素，計算結果表明死亡率凸性和死亡率久期性質相似。此外，按照表2思路可以分析凸性對保單負債變化預測的影響。如30年男性20定期保險，考慮凸性后死亡率下降10%，負債變動預測結果僅變化0.0325%。考慮到長壽風險是長期緩慢實現的，死亡率的下降不會太大，因此凸性對預測結果的影響將更小，可以忽略不計①限于篇幅，計算數據與表格分析略去。。

(三)長壽風險對沖比例

由(4)式，定義如下比例:

即當壽險負債的比例與年金負債的比例之比等于年金久期與壽險久期之比時，長壽風險得以全部對沖。

根據(7)式的最后一個等式，比例ρ可以理解成壽險業務和年金業務中達到完全的死亡率風險對沖時，兩種業務的金額應滿足的比例。以40歲男性年金保單為例，計算對沖一元該保單的長壽風險所需要的壽險保單的金額。為了比較對沖效果，分別計算所需的30歲男性、30歲女性、40歲男性、40歲女性不同期限壽險保單的金額。

表4 壽險與年金保單完全對沖的金額比例

表4值是壽險和年金負債組合可以免受長壽風險沖擊的下限，即對沖單位金額年金保單中的長壽風險所需的最小壽險保單金額。表4結果顯示，就20年期的年金而言，為了對沖年金的長壽風險，每賣出一元的年金保單，需要同時賣出0.227元的30歲男性20年定期壽險保單，或者0.232元的30歲男性30年定期壽險保單，或者0.796元的30歲男性終生壽險保單。可見，終生年金面臨的長壽風險最大，而終生壽險保單對沖長壽風險的效果最不明顯。

對于固定的年金保單，ρ比例將隨著壽險保單的年齡和期限的增加而增加，并且女性小于男性;對于固定的壽險保單，ρ比例將隨著年金保單的年齡、保險期限和延期時間而增加，同樣，女性年金保單的ρ比例小于男性。

四、結論與建議

本文拓展了利率免疫理論，給出了死亡率久期和凸性的定義、計算方法，并探討了影響保單久期和凸性的因素，結果顯示:

壽險保單的久期與被保險人年齡、保險期限成反比，且女性保單的久期大于相應男性保單的久期;年金保單的久期絕對值與被保險人年齡、保險期限、延期期限成正比，且女性保單的久期絕對值小于相應男性保單的久期絕對值;死亡率凸性具有和久期一致的特性。

對于年金保單，達到長壽風險完全自然對沖的最小ρ比例將隨著所選擇的壽險保單被保險人的年齡和保險期限的增加而增加，且女性壽險保單的比例小于相應男性壽險保單的比例;對于壽險保單，ρ比例將隨著所對沖的年金保單被保險人年齡、保險期限和延期期限的增加而增加，且女性年金保單對應的比例小于相應男性年金保單的比例。

本文雖然僅討論了單一壽險產品和單一年金產品的久期、凸性及其對沖問題，但對于不同年齡、期限和性別等的壽險產品組合和年金產品組合，其久期、凸性也較易求得。計算方法是分別對壽險組合和年金組合中的所有產品求加權平均數，其權重就是各產品的價格占組合總價值的比重。在計算出壽險和年金產品組合的久期和凸性之后，其對沖ρ比例的計算就可以按公式(7)的方法求得。

相對于發行長壽債券、長壽互換和死亡率遠期等長壽衍生產品，通過資本市場來轉移長壽風險的方案，自然對沖的優勢是避開了長壽衍生產品所需的發行、監管等法律和制度上的保障需求，大大降低了安排交易的成本，這對于深受長壽風險影響而又不具備發行長壽衍生產品條件的我國來說，更具有現實意義。同時，按照本文的思想，保險公司想要完全對沖其年金產品面臨的長壽風險，只要有意識地調整其壽險和年金產品的銷售數量和金額，獲得大于或等于最低門檻值ρ的任何一個比例都可以達到目標，這給保險公司提供了足夠的決策空間，不至于因對沖長壽風險而影響對壽險與年金業務比重的其他考量;即使保險公司兩種業務達不到最小的ρ比例，也會產生部分對沖的效果，公司仍然可以統籌考慮其他的對沖策略來補充配合，因此自然對沖作為保險公司應對長壽風險的一種思路和選擇，具有較大的靈活性和可操作性。

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