有關串并聯問題的研究

王高峰

摘 要：本文是針對一些串并聯的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結出串并聯問題的一些規律，進而運用這些規律解決一些串并聯（比如彈簧的串并聯）的問題。

關鍵詞：串并聯問題；規律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關于電阻串并聯的問題

兩個電阻R1，R2串聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯，那么R=R1+R2+…，即串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據歐姆定律得到 ，即并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和。

二、關于電容串并聯的問題

串聯時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯總電容 或 ，即串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和。

并聯時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯總電容C=C1+C2，即并聯總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結串并聯問題的規律

通過對電阻的串并聯問題的陳述和對電容串并聯問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯問題是串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯問題是串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和；電阻的并聯問題是并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和，電容的并聯問題是并聯總電容等于每個電容器電容之和，我們發現，電阻的串并聯和電容的串并聯剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數，不會發生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數，不會發生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數學問題對應的是電阻的串聯和電容器的并聯而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯問題和電容器的串聯問題亦有相同的結論。

四、運用規律解決串并聯的問題

彈簧串并聯的問題

彈簧串聯時，如上圖1所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據總結的規律得到彈簧串聯時的總勁度系數K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯總電阻以及電容的串聯總電容很相似。

彈簧并聯時，如上圖2所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據總結的規律得到彈簧并聯時的總勁度系數K=K1+K2，和電阻的串聯總電阻以及電容的并聯總電容很相似。

摘 要：本文是針對一些串并聯的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結出串并聯問題的一些規律，進而運用這些規律解決一些串并聯（比如彈簧的串并聯）的問題。

關鍵詞：串并聯問題；規律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關于電阻串并聯的問題

兩個電阻R1，R2串聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯，那么R=R1+R2+…，即串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據歐姆定律得到 ，即并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和。

二、關于電容串并聯的問題

串聯時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯總電容 或 ，即串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和。

并聯時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯總電容C=C1+C2，即并聯總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結串并聯問題的規律

通過對電阻的串并聯問題的陳述和對電容串并聯問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯問題是串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯問題是串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和；電阻的并聯問題是并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和，電容的并聯問題是并聯總電容等于每個電容器電容之和，我們發現，電阻的串并聯和電容的串并聯剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數，不會發生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數，不會發生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數學問題對應的是電阻的串聯和電容器的并聯而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯問題和電容器的串聯問題亦有相同的結論。

四、運用規律解決串并聯的問題

彈簧串并聯的問題

彈簧串聯時，如上圖1所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據總結的規律得到彈簧串聯時的總勁度系數K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯總電阻以及電容的串聯總電容很相似。

彈簧并聯時，如上圖2所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據總結的規律得到彈簧并聯時的總勁度系數K=K1+K2，和電阻的串聯總電阻以及電容的并聯總電容很相似。

摘 要：本文是針對一些串并聯的一些物理量（電阻和電容）進行研究，進而總結出串并聯問題的一些規律，進而運用這些規律解決一些串并聯（比如彈簧的串并聯）的問題。

關鍵詞：串并聯問題；規律；運用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-002-01

一、關于電阻串并聯的問題

兩個電阻R1，R2串聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是串聯的，他們兩端的總電壓U等于兩個電阻上的電壓U1，U2之和，即U=U1+U2，流過這兩個電阻的電流I是一樣的，上式兩旁同除以電流I，又有根據歐姆定律得到R=R1+R2，，不難證明，如果多個電阻串聯，那么R=R1+R2+…，即串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和。

兩個電阻R1，R2并聯起來接到電路里，作為一個整體，它相當于一個電阻，由于R1與R2是并聯的，流過它們的總電流I等于兩個電阻上的電流I1，I2之和，即I=I1+I2，兩個電阻上的電壓U上相同的。把上式兩旁同除以U，又有根據歐姆定律得到 ，即并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和。

二、關于電容串并聯的問題

串聯時，流入電容器組的電荷Q全部進入一個電容器的左板，其右板因感應而帶--Q，于是第二個電容器左板帶+Q，右板帶—Q，故串聯總電容 或 ，即串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和。

并聯時，Q等于每個電容器電荷之和：Q=Q1+Q2，故并聯總電容C=C1+C2，即并聯總電容等于每個電容器電容之和。

三、總結串并聯問題的規律

通過對電阻的串并聯問題的陳述和對電容串并聯問題的陳述，我們可以知道，電阻的串聯問題是串聯電阻的總電阻等于各部分電路電阻之和，而電容的串聯問題是串聯總電容的倒數等于每個電容的倒數之和；電阻的并聯問題是并聯電路總電阻的倒數等于各支路電阻的倒數之和，電容的并聯問題是并聯總電容等于每個電容器電容之和，我們發現，電阻的串并聯和電容的串并聯剛好相反，為什么呢？

電阻的阻值R是一個電阻的固有屬性，它不受電阻兩端的電壓U和流過電阻的電流I的影響，一個電阻一旦確定，如果不考慮溫度的影響，電阻的阻值R是一個常數，不會發生變化；同理，電容C是一個電容器的固有屬性，它不受電容器兩極板的電荷Q和兩極板間電壓U的影響，一個電容器一旦確定，電容C是一個常數，不會發生變化，我們可以這樣想，電阻的阻值R和電容C是一個常數K， 電阻兩端的電壓U和電容器兩極板的電荷Q相當于Y， 流過電阻的電流I和電容器兩極板間電壓U相當于X，于是有Y=KX，又有Y1=KIXI，Y2=K2X2；當電阻串聯時，有I=I1=I2得X=XI=X2，；有U=U1+U2得Y=Y1+Y2，所以R=U/I=（U1+U2）/I=（U1/I1）+（U2/I2）=R1+R2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電容器并聯時，有U=U1=U2，得X=X1=X2；有Q=Q1+Q2，得Y=Y1+Y2，所以C=Q/U=（Q1+Q2）/U=（Q1/U1）+（Q2/U2）=C1+C2，得K=Y/X=（YI+Y2）/X=（Y1/XI）+（Y2/X2）=K1+K2；當電阻串聯時，對于部分電路歐姆定律R=U/I，是兩個電阻的電流相同，也就是分母相同；兩個電阻兩端的電壓等于各個電阻兩端電壓之和，也就是分子相加，只是對于這種“分母相同，分子相加”的數學問題對應的是電阻的串聯和電容器的并聯而已。Y1=K1X1，Y2=K2X2，同理，對于電阻的并聯問題和電容器的串聯問題亦有相同的結論。

四、運用規律解決串并聯的問題

彈簧串并聯的問題

彈簧串聯時，如上圖1所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）串聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到下面的一個彈簧對重物的彈力F2和重物的重力G，則由平衡條件得F2=G，同理可得上面的彈簧的彈力F1也等于重物的重力G，即F1=G，所以有F1=F2=G，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為F1=F2=G即“分子相同”，根據總結的規律得到彈簧串聯時的總勁度系數K=K1K2/（K1+K2），和電阻的并聯總電阻以及電容的串聯總電容很相似。

彈簧并聯時，如上圖2所示，兩個勁度系數分別是K1，K2的輕彈簧（不考慮兩個彈簧的重力）并聯起來吊起一個質量為M的重物，重物處于平衡狀態，對重物進行受力分析，受到上面的兩個彈簧對重物的彈力F1和F2以及重物的重力G，則由平衡條件得F1+F2=G，并且上面的兩個彈簧的伸長量都一樣，即X1=X2=X，有彈簧的胡克定律F=KX，得K=F/X，K1=F1/X1，K2=F2/X2因為X1=X2=X，即“分母相同”，根據總結的規律得到彈簧并聯時的總勁度系數K=K1+K2，和電阻的串聯總電阻以及電容的并聯總電容很相似。