基于突破難點的教學改變

錢建軍

一、設(shè)計的緣由

上過五年級“小數(shù)乘法”一課的教師，都有一種很深的體會：在列豎式筆算時，學生關(guān)于數(shù)位的對位問題總是一知半解。列3.5×3的豎式，多有圖1、圖2兩種樣子，誰也無法說服誰。還有的學生實在搞不清楚，就想出了如圖3的列式。其實不難想象，出現(xiàn)這些問題，正是受到小數(shù)加減法列豎式要求數(shù)位對齊的負遷移。盡管教師多次強調(diào)小數(shù)乘法列豎式要末位對齊，但當學生堅持說圖1也沒錯時，教師也顯得有些無可奈何了。很明顯，圖4～圖6也說明，在列豎式的過程中學生很難擺脫小數(shù)的束縛，帶來的后果是，要么算錯，要么算不下去。

我們知道，整數(shù)乘法的豎式與它的橫式思考方式是一樣的，都是運用乘法分配律。例如32×14就是4個32與10個32的和，列豎式也正是這樣的過程體現(xiàn)。但是到小數(shù)就有點不一樣了。其實3.2×14也完全可以想成4個3.2與10個3.2的和（從算理上講，列豎式這樣去想也是對的，如圖5），但是真正在列豎式時我們卻把它們當作整數(shù)乘法去推算的，中間過程并不會出現(xiàn)小數(shù)。如果認可了圖5的正確，那么像圖4這樣的錯誤率就更高了。

教師引導學生把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法來算（圖7），也一起分析了算理，但學生的視覺“告訴”他，這樣做“很不和諧”：小數(shù)相乘中間過程卻是整數(shù)，到最后又是小數(shù)。所以“小數(shù)乘法”教學的真正難點是幫助學生越過這個坎。教師對此一般的做法就是“充分感受、正面強化”，筆者以往也一直都是這樣操作的。但是學生升到六年級之后再去問他們，為什么圖7豎式中間過程沒有小數(shù)？他們多是含糊其辭，最后總是以“以前老師是這樣教的”來結(jié)束問答。于是筆者大膽設(shè)想，不妨把小數(shù)乘法直接改成整數(shù)乘法（在列豎式之前），用列整數(shù)乘法豎式進行推算（如圖8），效果是不是會更好呢？

二、設(shè)計過程及前后比對

【設(shè)計第一稿】

在正式?jīng)Q定上這節(jié)課之前，筆者對本課教材進行了分析，也進行了多版本教材間的比對，發(fā)現(xiàn)了一些共同的地方：一般都在具體情境中引出小數(shù)乘法算式，用多種方法思考答案（如轉(zhuǎn)化成加法算、轉(zhuǎn)化單位算、數(shù)形結(jié)合算等），通過積的變化規(guī)律進行算理分析，最后是熟練鞏固。遵循這樣的思路，筆者設(shè)計了教學的第一稿。

（一）復習鋪墊

1.出示圖9，請學生快速口答。

2.說算法：說說速算的辦法。（小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化）

3.環(huán)節(jié)過渡：3.5×3是否也與小數(shù)點位置移動有關(guān)？

（二）新授展開

1.給算式3.5×3賦予一定的現(xiàn)實情境（市場里買東西，西紅柿3.5元/千克）。

重溫數(shù)量關(guān)系：單價×數(shù)量=總價。

2.討論交流，用學過的方法求出3.5×3的答案。（強調(diào)：已學過）學生中一般會出現(xiàn)以下幾種方法：

（1）轉(zhuǎn)換算法，用加法做——點撥小數(shù)乘法的意義。

（2）轉(zhuǎn)換單位，化元為角——化成整數(shù)算。

（3）分解小數(shù)，分步計算——運用乘法分配律。

3.嘗試用豎式計算，使過程更簡潔。一般學生中會出現(xiàn)兩種情況（見圖10）。

4.找出兩種方法的共同之處：都是將3與3、5分別相乘。引導發(fā)現(xiàn)與之相關(guān)的整數(shù)乘法算式（見圖11）。從運算角度進行算理分析。

5.及時鞏固，強調(diào)照樣子寫出思考過程（圖12：6.4×4，6.32×3）。

6.重點討論：左右兩個豎式“保留哪一個”，明白用整數(shù)乘法豎式可以解決小數(shù)乘法計算的道理。

7.即時練習兩道題，特別是兩位數(shù)乘兩位數(shù)（5.4×5，5.4×42）。

（三）練習鞏固

1.基礎(chǔ)練習：口算6道題，強化算法。

2.實踐應用：出1道關(guān)于解決問題的題目，關(guān)注小數(shù)末尾去零的問題。

3.拓展提升：同一個豎式可以解決許多小數(shù)乘法計算的思考分析。

按照這樣的教學設(shè)計經(jīng)過兩次課堂試教以后，筆者發(fā)現(xiàn)了一些問題。

問題一：在新授展開的第一步，請學生用學過的方法求出3.5×3的答案，學生似乎并不領(lǐng)會，計算這個答案似乎僅憑經(jīng)驗或直覺就可以得到（學生有太多的購物經(jīng)驗了），不需要什么方法。在筆者的一再要求下，轉(zhuǎn)換方法、轉(zhuǎn)換單位、分解小數(shù)用分配律算等方式總算都呈現(xiàn)出來了，但總體感覺是算法多樣化并沒有給學生帶來多少課堂興奮。

問題二：在新授展開的第四步，要求學生從運算的角度進行算理分析時，課堂也比較沉悶。因為前面已經(jīng)知道10.5這個答案了，為什么還要這么復雜地分析來分析去。學生大多對此表示不理解。

問題三：在新授展開的第六步，筆者意在通過分析與討論，讓學生接受用整數(shù)乘法可以推算小數(shù)乘法，因此在列豎式時直接列成整數(shù)乘法豎式就行。但筆者的良苦用心學生并沒有領(lǐng)情。到最后筆者只能強調(diào)，右邊整數(shù)乘法這個豎式其實就是我們很重要的思考過程，在計算時只要保留這一個過程即可，隨即把左邊的豎式隱去。

問題四：在新授展開的第七步出現(xiàn)了課堂生成，既是問題也是契機。學生在列5.4×42的豎式時，出現(xiàn)了兩種豎式，這說明有些學生還沒有真正接受前面的知識。列圖13的學生很快算出了答案，列圖14的學生一直在嘀咕——怎么算呀，我哪寫錯了。于是筆者進行了干預：“像圖14的算法，如果沒有列成整數(shù)乘法的豎式，大家看看，是不是出現(xiàn)問題了，這位同學算不下去了。請下面哪位同學來幫一下，稍加改動，他就會明白了?！庇谑怯袑W生上來將豎式21.6中出現(xiàn)的小數(shù)點擦去，也算出了226.8，筆者真的很無奈。

良好的設(shè)計意圖并沒有達成理想的教學效果，是需要反思的?；氐浇滩模瑢Ρ冉滩闹械氖纠ɡ?：3.5×3與例2：0.72×5）。例1主要是在具體情境下理解不同的算法（有單位支撐），例2是脫離了具體情境，運用轉(zhuǎn)化整數(shù)的方法，從積的變化規(guī)律的角度去進行分析的，并且這兩個例題所出示的具體算式是不一樣的。而筆者在自己的教學設(shè)計中，試圖將例1與例2通過同一個材料3.5×3給以集中體現(xiàn)，學生顯得有些思維疲倦。在知道答案的情況下還要進行不斷的思考分析，讓學生提不起精神。反思整個設(shè)計，總的來說學習材料缺少吸引性，思考力度缺少挑戰(zhàn)性，教師給予的多，學生體驗的少。筆者想重點體現(xiàn)的“用整數(shù)乘法（豎式）推算小數(shù)乘法結(jié)果”這一核心思想并沒有出自學生主動的發(fā)現(xiàn)與積極的感悟，多的是“被發(fā)現(xiàn)”與“被灌輸”。為破解問題，筆者進行了重新設(shè)計。endprint

【設(shè)計第二稿】

（一）復習鋪墊

口算

（設(shè)計意圖：三組題逐一先后出現(xiàn)，圖15因為數(shù)據(jù)簡單，學生可以直接算答案，也可以根據(jù)積的變化規(guī)律算，圖16迫使學生自覺地運用積的變化規(guī)律算，圖17更抽象，在54還沒給出之前是算不出來的，給出54以后，有學生會去想▲是多少，然后再進行填空計算，有的學生會沿用積的變化規(guī)律填空，這樣的學習面向的是全體學生，又伴隨著不斷地“發(fā)現(xiàn)”，他們會體驗這種“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，這是用數(shù)學本身去吸引學生。）

（二）新授展開

1.口算。

6組題逐一先后出現(xiàn)，特別在圖18、圖21、圖22、圖23處作重點展開討論。

（1）討論圖18：學生受到前面復習的遷移能很快算出3.5×3的答案10.5，教師反問：以前整數(shù)乘法里我們會運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？你能說明理由嗎？由此學生將主動尋找各種算理來說明問題。方法主要也是前面第一稿中講到的“轉(zhuǎn)換為加法”“借用或轉(zhuǎn)換單位”“分解小數(shù)用乘法分配律”等方法，但是這種學習狀態(tài)是積極的，因為他們想努力證明自己的“猜想”是正確的，是為自己找理由。這里教師重點寫出35—3.5、105—10.5這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（2）討論圖21：這里有一個數(shù)未知，你竟然也算得出答案？這樣的提問一下子將學生的地位抬高了，他們的解釋是積極的、愉快的，因為他們覺得自己“很有能耐”。

（3）討論圖22：這題上下要反著出。先出3.15×14=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？根據(jù)學生的要求，教師再給出315×14=4410，學生很快就推算出答案，并主動給出推算的過程。教師重點寫出315—3.15，4410—44.1這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（4）討論圖23：繼續(xù)圖22的方式，上下兩題反著出，先出6.42×13=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？學生提要求，但教師只給出642×13=，并不像圖22那樣直接告知整數(shù)乘法的答案，由此學生的思維與行動將合一指向642×13的豎式解答， 他們會快速算出答案8346，進而推算出小數(shù)乘法的正確答案。學生在計算答案的過程中體會到了學習的快樂。

2.小結(jié)提煉。

（1）呈現(xiàn)板書并交流。

（設(shè)計意圖：小數(shù)乘法通過整數(shù)豎式推算出來，此時已是學生積極主動的行為，無須強調(diào)，教師只需追問一下學生：你是怎么想的？進而將擴大、縮小的倍數(shù)關(guān)系補充完整，讓思維外顯出來。然后重點強調(diào)，以后這樣的小數(shù)乘法計算我們就可以通過整數(shù)乘法豎式將它推算出來，為書寫簡便，整數(shù)乘法的橫式與板書中的擴大縮小的書寫都可以省略不寫。整數(shù)乘法這個老朋友可以幫助我們解決小數(shù)乘法這一新知識，隨后與下一環(huán)節(jié)中的鞏固練習相銜接。）

（三）練習鞏固

1.基本練習，注意寫豎式過程與書寫格式。

2.算用結(jié)合，解決實際問題。

3.拓展提升，引導學生思考同一個整數(shù)乘法豎式可以解決許多小數(shù)乘法問題。

重新設(shè)計的“小數(shù)乘法”一課，經(jīng)過課堂檢驗，順利地解決了第一稿設(shè)計中存在的問題。學生在課堂中時而緊張、時而愉悅、時而興奮，專注力很高。教材中強調(diào)小數(shù)乘法的計算結(jié)果一般要舍去小數(shù)末尾的0，這作為一個知識點，在傳統(tǒng)的課堂教學設(shè)計中，教師講了多次，還是會有學生忘記。有的學生搞錯了先后順序，先去掉了末尾的0，再添小數(shù)點。而在筆者的教學設(shè)計與課堂實踐中沒有任何提及，學生很自覺地省略了，這是一個很意外的發(fā)現(xiàn)。仔細想來，因為根據(jù)整數(shù)除法的學習經(jīng)驗，一個整十，整百…數(shù)除以10，100…在心算過程中，它們末尾的0早已被自動抵消掉了。

三、寫在最后

在文中，有一問是值得我們關(guān)注的：以前整數(shù)乘法里我們在運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？筆者以為，這種規(guī)律的遷移是否合理雖然不需要證明，但需要討論，就像整數(shù)加法交換律、小數(shù)加法交換律、分數(shù)加法交換律，雖然難度很小，但教材都安排了新課，因為在學生看來，整數(shù)與小數(shù)畢竟長得不一樣。這也就是為什么全體學生并非一下子都能想到“將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法最后將答案進行推算”的最重要的原因。

多少年下來了，我們都是那樣教、那樣學的，難道“傳統(tǒng)”不對？改變教學方法，筆者無意“挑戰(zhàn)”傳統(tǒng)，只為幫助學生解開心中的那個謎團，為他們尋求“更適合學”的有效途徑。期待同行討論。

（浙江省紹興市柯橋區(qū)華舍小學 312033）endprint

【設(shè)計第二稿】

（一）復習鋪墊

口算

（設(shè)計意圖：三組題逐一先后出現(xiàn)，圖15因為數(shù)據(jù)簡單，學生可以直接算答案，也可以根據(jù)積的變化規(guī)律算，圖16迫使學生自覺地運用積的變化規(guī)律算，圖17更抽象，在54還沒給出之前是算不出來的，給出54以后，有學生會去想▲是多少，然后再進行填空計算，有的學生會沿用積的變化規(guī)律填空，這樣的學習面向的是全體學生，又伴隨著不斷地“發(fā)現(xiàn)”，他們會體驗這種“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，這是用數(shù)學本身去吸引學生。）

（二）新授展開

1.口算。

6組題逐一先后出現(xiàn)，特別在圖18、圖21、圖22、圖23處作重點展開討論。

（1）討論圖18：學生受到前面復習的遷移能很快算出3.5×3的答案10.5，教師反問：以前整數(shù)乘法里我們會運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？你能說明理由嗎？由此學生將主動尋找各種算理來說明問題。方法主要也是前面第一稿中講到的“轉(zhuǎn)換為加法”“借用或轉(zhuǎn)換單位”“分解小數(shù)用乘法分配律”等方法，但是這種學習狀態(tài)是積極的，因為他們想努力證明自己的“猜想”是正確的，是為自己找理由。這里教師重點寫出35—3.5、105—10.5這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（2）討論圖21：這里有一個數(shù)未知，你竟然也算得出答案？這樣的提問一下子將學生的地位抬高了，他們的解釋是積極的、愉快的，因為他們覺得自己“很有能耐”。

（3）討論圖22：這題上下要反著出。先出3.15×14=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？根據(jù)學生的要求，教師再給出315×14=4410，學生很快就推算出答案，并主動給出推算的過程。教師重點寫出315—3.15，4410—44.1這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（4）討論圖23：繼續(xù)圖22的方式，上下兩題反著出，先出6.42×13=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？學生提要求，但教師只給出642×13=，并不像圖22那樣直接告知整數(shù)乘法的答案，由此學生的思維與行動將合一指向642×13的豎式解答， 他們會快速算出答案8346，進而推算出小數(shù)乘法的正確答案。學生在計算答案的過程中體會到了學習的快樂。

2.小結(jié)提煉。

（1）呈現(xiàn)板書并交流。

（設(shè)計意圖：小數(shù)乘法通過整數(shù)豎式推算出來，此時已是學生積極主動的行為，無須強調(diào)，教師只需追問一下學生：你是怎么想的？進而將擴大、縮小的倍數(shù)關(guān)系補充完整，讓思維外顯出來。然后重點強調(diào)，以后這樣的小數(shù)乘法計算我們就可以通過整數(shù)乘法豎式將它推算出來，為書寫簡便，整數(shù)乘法的橫式與板書中的擴大縮小的書寫都可以省略不寫。整數(shù)乘法這個老朋友可以幫助我們解決小數(shù)乘法這一新知識，隨后與下一環(huán)節(jié)中的鞏固練習相銜接。）

（三）練習鞏固

1.基本練習，注意寫豎式過程與書寫格式。

2.算用結(jié)合，解決實際問題。

3.拓展提升，引導學生思考同一個整數(shù)乘法豎式可以解決許多小數(shù)乘法問題。

重新設(shè)計的“小數(shù)乘法”一課，經(jīng)過課堂檢驗，順利地解決了第一稿設(shè)計中存在的問題。學生在課堂中時而緊張、時而愉悅、時而興奮，專注力很高。教材中強調(diào)小數(shù)乘法的計算結(jié)果一般要舍去小數(shù)末尾的0，這作為一個知識點，在傳統(tǒng)的課堂教學設(shè)計中，教師講了多次，還是會有學生忘記。有的學生搞錯了先后順序，先去掉了末尾的0，再添小數(shù)點。而在筆者的教學設(shè)計與課堂實踐中沒有任何提及，學生很自覺地省略了，這是一個很意外的發(fā)現(xiàn)。仔細想來，因為根據(jù)整數(shù)除法的學習經(jīng)驗，一個整十，整百…數(shù)除以10，100…在心算過程中，它們末尾的0早已被自動抵消掉了。

三、寫在最后

在文中，有一問是值得我們關(guān)注的：以前整數(shù)乘法里我們在運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？筆者以為，這種規(guī)律的遷移是否合理雖然不需要證明，但需要討論，就像整數(shù)加法交換律、小數(shù)加法交換律、分數(shù)加法交換律，雖然難度很小，但教材都安排了新課，因為在學生看來，整數(shù)與小數(shù)畢竟長得不一樣。這也就是為什么全體學生并非一下子都能想到“將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法最后將答案進行推算”的最重要的原因。

多少年下來了，我們都是那樣教、那樣學的，難道“傳統(tǒng)”不對？改變教學方法，筆者無意“挑戰(zhàn)”傳統(tǒng)，只為幫助學生解開心中的那個謎團，為他們尋求“更適合學”的有效途徑。期待同行討論。

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【設(shè)計第二稿】

（一）復習鋪墊

口算

（設(shè)計意圖：三組題逐一先后出現(xiàn)，圖15因為數(shù)據(jù)簡單，學生可以直接算答案，也可以根據(jù)積的變化規(guī)律算，圖16迫使學生自覺地運用積的變化規(guī)律算，圖17更抽象，在54還沒給出之前是算不出來的，給出54以后，有學生會去想▲是多少，然后再進行填空計算，有的學生會沿用積的變化規(guī)律填空，這樣的學習面向的是全體學生，又伴隨著不斷地“發(fā)現(xiàn)”，他們會體驗這種“發(fā)現(xiàn)”的樂趣，這是用數(shù)學本身去吸引學生。）

（二）新授展開

1.口算。

6組題逐一先后出現(xiàn)，特別在圖18、圖21、圖22、圖23處作重點展開討論。

（1）討論圖18：學生受到前面復習的遷移能很快算出3.5×3的答案10.5，教師反問：以前整數(shù)乘法里我們會運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？你能說明理由嗎？由此學生將主動尋找各種算理來說明問題。方法主要也是前面第一稿中講到的“轉(zhuǎn)換為加法”“借用或轉(zhuǎn)換單位”“分解小數(shù)用乘法分配律”等方法，但是這種學習狀態(tài)是積極的，因為他們想努力證明自己的“猜想”是正確的，是為自己找理由。這里教師重點寫出35—3.5、105—10.5這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（2）討論圖21：這里有一個數(shù)未知，你竟然也算得出答案？這樣的提問一下子將學生的地位抬高了，他們的解釋是積極的、愉快的，因為他們覺得自己“很有能耐”。

（3）討論圖22：這題上下要反著出。先出3.15×14=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？根據(jù)學生的要求，教師再給出315×14=4410，學生很快就推算出答案，并主動給出推算的過程。教師重點寫出315—3.15，4410—44.1這兩個數(shù)之間的關(guān)系。

（4）討論圖23：繼續(xù)圖22的方式，上下兩題反著出，先出6.42×13=，然后提問，你想知道哪個整數(shù)乘法算式？學生提要求，但教師只給出642×13=，并不像圖22那樣直接告知整數(shù)乘法的答案，由此學生的思維與行動將合一指向642×13的豎式解答， 他們會快速算出答案8346，進而推算出小數(shù)乘法的正確答案。學生在計算答案的過程中體會到了學習的快樂。

2.小結(jié)提煉。

（1）呈現(xiàn)板書并交流。

（設(shè)計意圖：小數(shù)乘法通過整數(shù)豎式推算出來，此時已是學生積極主動的行為，無須強調(diào)，教師只需追問一下學生：你是怎么想的？進而將擴大、縮小的倍數(shù)關(guān)系補充完整，讓思維外顯出來。然后重點強調(diào)，以后這樣的小數(shù)乘法計算我們就可以通過整數(shù)乘法豎式將它推算出來，為書寫簡便，整數(shù)乘法的橫式與板書中的擴大縮小的書寫都可以省略不寫。整數(shù)乘法這個老朋友可以幫助我們解決小數(shù)乘法這一新知識，隨后與下一環(huán)節(jié)中的鞏固練習相銜接。）

（三）練習鞏固

1.基本練習，注意寫豎式過程與書寫格式。

2.算用結(jié)合，解決實際問題。

3.拓展提升，引導學生思考同一個整數(shù)乘法豎式可以解決許多小數(shù)乘法問題。

重新設(shè)計的“小數(shù)乘法”一課，經(jīng)過課堂檢驗，順利地解決了第一稿設(shè)計中存在的問題。學生在課堂中時而緊張、時而愉悅、時而興奮，專注力很高。教材中強調(diào)小數(shù)乘法的計算結(jié)果一般要舍去小數(shù)末尾的0，這作為一個知識點，在傳統(tǒng)的課堂教學設(shè)計中，教師講了多次，還是會有學生忘記。有的學生搞錯了先后順序，先去掉了末尾的0，再添小數(shù)點。而在筆者的教學設(shè)計與課堂實踐中沒有任何提及，學生很自覺地省略了，這是一個很意外的發(fā)現(xiàn)。仔細想來，因為根據(jù)整數(shù)除法的學習經(jīng)驗，一個整十，整百…數(shù)除以10，100…在心算過程中，它們末尾的0早已被自動抵消掉了。

三、寫在最后

在文中，有一問是值得我們關(guān)注的：以前整數(shù)乘法里我們在運用積的變化規(guī)律，難道小數(shù)乘法也適合用積的變化規(guī)律？筆者以為，這種規(guī)律的遷移是否合理雖然不需要證明，但需要討論，就像整數(shù)加法交換律、小數(shù)加法交換律、分數(shù)加法交換律，雖然難度很小，但教材都安排了新課，因為在學生看來，整數(shù)與小數(shù)畢竟長得不一樣。這也就是為什么全體學生并非一下子都能想到“將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法最后將答案進行推算”的最重要的原因。

多少年下來了，我們都是那樣教、那樣學的，難道“傳統(tǒng)”不對？改變教學方法，筆者無意“挑戰(zhàn)”傳統(tǒng)，只為幫助學生解開心中的那個謎團，為他們尋求“更適合學”的有效途徑。期待同行討論。

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