重點突擊 深度挖掘 橫向延伸

夏利波

小學數學教材中出現的數學概念看上去簡單，但要挖掘內涵、展示外延，讓小學生充分理解概念的本質卻有一定的難度。如人教版五年級下“分數的意義”，就是一節相對比較抽象的概念課，如果僅僅把本課的教學目標定位在對分數意義淺層次的復述和模仿層面，顯然無法滿足學生對分數本質探求的需要。在經歷多輪課堂教學實踐后，筆者發現，要想使學生對分數意義的本質屬性有充分的理解和感悟，必須進行以下幾點拓展。

一、 重點突擊——積極建構單位 “1”

1.從一個物體的“1”擴展到一群物體的“1”

對于“1”的理解，學生的認識并不是一張白紙，從一年級開始，學生就知道1個物體（1個蘋果、1個人……）可以用“1”來表示，這種固有的認識在腦海中可謂是根深蒂固。因此要將學生的思維從一個物體的“1”拓展到多個物體組成的單位“1”，并不是一件簡單的事。

而綜觀教材，對于分數的序列知識也是按照螺旋上升的梯度排列的。在人教版三年級“分數的初步認識”中，教材重點讓學生理解把一個圖形、一個物體平均分成若干份，表示這樣的1份或幾份，可以用分數來表示。而在五年級“分數的意義”中，教學重點則切換為“把多個物體組成的整體1平均分成若干份，表示這樣1份或幾份可以用分數來表示。

顯然，如果學生不能很好地理解單位“1”的含義，就會影響其對分數意義的理解，對后續的學習也會產生不利影響。基于此，筆者在設計教學環節時，將單個“1”到整體“1”的擴展作為“分數的意義”一課教學的一個重點，并將其放在第一個教學環節中，為學生真正理解分數的意義搭好橋、鋪好路。

【片段一】

師：生活中，哪些物體的數量可以用1來表示呢？

生：一支鉛筆可以用1來表示；一個人可以用1來表示。

生：一間教室也可以用1表示。

師：想一想：還有什么也能用1來表示？（學生們遲疑了一會兒）

生：一個班級也可以用1來表示。

（學生們將信將疑，看起來不是非常認同）

師：你能給大家解釋一下好嗎？

生：我們班有38個同學，是一個班級，就可以用“1”來表示。

師：說得真好，這樣的例子你還能舉嗎？

（這時學生們聽明白了，紛紛舉手想要表達）

生：一盤蘋果可以用“1”來表示。

生：一組8個同學可以用“1”來表示。

師：想一想：這時候的“1”和我們以前認識的“1”有什么不同？

生：以前的“1”表示1個物體，而現在的“1”可以由很多個物體組成。

師：一個物體、一些物體都可以看作一個整體，這個整體通常叫作單位“1”。

當有學生舉例一個班級可以用“1”來表示時，一部分學生已經有所頓悟，但是大多數學生對于這個例子仍有所質疑。但當該學生做了進一步解釋后，大多數學生也開始認識到“1”可表示多個物體，并能結合自身經驗舉出更多實例。

通過學生自己舉例、質疑、交流、解釋、頓悟，自然地引出單位“1”，并在學生頭腦中形成層次豐富的單位“1”的表象。但教學設計并未在此處停留，而是乘勢而上，繼續擴容單位“1”。筆者又借用了長度單位、質量單位的意義，將學生置身于不同的教學情境中，讓學生進一步感悟：圖形、物體、計量單位都可以是單位“1”的構成資源，讓學生對單位“1”的豐富內涵有更深刻的了解。

2. 從被動選擇單位“1”到主動選擇單位“1”

在單位“1”多層次表象建立之后，要真正實現對單位“1”意義的建構，幫助學生完成從數1到單位“1”的實質性跨越，還需要借助畫一畫、分一分的實踐操作，讓學生在主動選擇合適的單位“1”的過程中，充分暴露其所思所想，經歷碰撞與融合，從而真正觸及單位“1”的本質。

【片段二】

師：你能用圖來表示嗎？

從學生的作品中可以看出，大多數學生把一個物體、一個圖形平均分為4份，用一份表示出。也有一部分學生已經從一個物體想到了一些物體，有用4個圓形看作一個整體，平均分為4份，1個圓形用來表示；也有學生用8個蘋果平均分為4份，2個蘋果用來表示。但從作品中可以明顯地看出學生對單位“1”的認識還是有不足之處的（如圖1）。

圖1 圖2

生1：（圖1）把4個正方形平均分為4份，1個正方形就可以用來表示。（沒想到生1的回答立即招來幾個同學的質疑）

生2：1個正方形應該用“1”來表示，要表示應該把4個正方形圈起來。

師：從剛才生1畫的圖中你能看出4個正方形是單位“1”嗎？

生3：先要把4個正方形圈起來看作一個整體，再把它們平均分為4份。

（生1恍然大悟）

教師隨即畫上集合圈（圖2），這時學生已經認識到：要表示，關鍵是把一個整體看成單位“1”，再把單位“1” 平均分。此時，學生對單位“1”的理解已有所深入。

二、深度挖掘——縱向理解分數意義

什么才是分數的真正意義？學生怎樣才能從本質上理解分數的意義？事實上，學生對于分數意義的理解，除了在腦海中積極構建起單位“1”的真正含義之外，還應該借助不同的具體情境，通過操作與比較、體驗與交流等活動，從求同思考與求異比較兩個方面層層深入。

1.求同思考，凸顯分數的本質屬性

在學生創作的不同的四分之一的草圖中，通過交流各圖的基本含義后，重點引導學生抓住“分的物體不一樣，為什么都可以用來表示？”以及“分的數量不一樣，為什么都可以用來表示呢？”這樣兩個層面的問題進行求同比較。

【片段三】

生：我把4個圓看成一個整體，平均分成4份，這樣的1份就是

生：我把8個三角形看成一個整體，平均分成4份，這樣的1份就是endprint

生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創造出不同分數的自主學習環節，展開對分數意義更加深入的理解環節。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發現了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數不同，而且表示的份數也不同。

師：也就是說，平均分成的份數不同，表示的分數也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數的？你能用一句話來說說什么是分數嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數。

通過自主創造分數的教學環節引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數的本質屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數不同，所表示的分數就不同。學生在反思、質疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數的原因在于平均分的份數不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數意義的本質屬性。

三、橫向延伸——擴展分數意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯系起來，那么多半會被遺忘?！睂W生已經知道了分數的本質含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數的理解還是處于零散的狀態。要讓學生明白分數是小學認識數概念的一次重要擴展，分數和整數、小數一樣也是一種數，每個分數都能在數軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數概念，幫助學生明白分數也能表示事物的數量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續追問：數軸上1到2之間的數是不是也可以用分數來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續學習。

在學生獲得分數的意義之后，利用數軸這一載體，引導學生找到已學整數和新學分數在數軸中的不同位置，使學生認識到分數也是一個具體的數，同樣可以在數軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數延伸到了假分數，在抽象層面建構起分數的一般意義，更溝通了分數、整數和“1”之間的聯系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據教學所需，對教學內容進行了重組和建構。從學生的生活經驗和已有的認知出發，將分數的概念轉變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數意義的表象，幫助學生對分數內涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數的本質含義，橫向延伸了分數的外延，從而使學生經歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數學知識體系。

（浙江省寧波市荷花莊小學 315040）endprint

生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創造出不同分數的自主學習環節，展開對分數意義更加深入的理解環節。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發現了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數不同，而且表示的份數也不同。

師：也就是說，平均分成的份數不同，表示的分數也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數的？你能用一句話來說說什么是分數嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數。

通過自主創造分數的教學環節引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數的本質屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數不同，所表示的分數就不同。學生在反思、質疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數的原因在于平均分的份數不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數意義的本質屬性。

三、橫向延伸——擴展分數意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯系起來，那么多半會被遺忘?！睂W生已經知道了分數的本質含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數的理解還是處于零散的狀態。要讓學生明白分數是小學認識數概念的一次重要擴展，分數和整數、小數一樣也是一種數，每個分數都能在數軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數概念，幫助學生明白分數也能表示事物的數量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續追問：數軸上1到2之間的數是不是也可以用分數來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續學習。

在學生獲得分數的意義之后，利用數軸這一載體，引導學生找到已學整數和新學分數在數軸中的不同位置，使學生認識到分數也是一個具體的數，同樣可以在數軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數延伸到了假分數，在抽象層面建構起分數的一般意義，更溝通了分數、整數和“1”之間的聯系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據教學所需，對教學內容進行了重組和建構。從學生的生活經驗和已有的認知出發，將分數的概念轉變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數意義的表象，幫助學生對分數內涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數的本質含義，橫向延伸了分數的外延，從而使學生經歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數學知識體系。

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生：我把12個蘋果看成單位“1”，平均分成4份，每份就是。

師：想一想：這幾幅圖為什么都可以用來表示？

生：都把單位“1”平均分成了4份，表示這樣的1份。

這樣的教學設計意在讓學生通過對的理解，進一步深化為對分數意義的理解：要準確表示，與單位“1”中所包含的數量多少沒有關系，只是和它是否被平均分成4份，表示這樣的1份有關。在這一過程中，學生不僅理解了的意義，也為后續自主學習幾分之幾的含義做好了鋪墊。

2.求異比較，明晰概念的本質屬性

通過多層次、多角度理解的意義之后，接著教師提出“你還想研究幾分之幾？”的學習任務，引領學生進入到對8個小正方形分一分、畫一畫，創造出不同分數的自主學習環節，展開對分數意義更加深入的理解環節。

【片段四】

師：練習紙上有8個小正方形，請大家分一分，畫一畫，寫出你喜歡的分數。

生：我把8個小正方形平均分成8份，3份是。

生：我把8個小正方形平均分成8份，4份是。

生：我把8個小正方形平均分成4份，2份是。

生：我把8個小正方形平均分成2份，1份是。

師：觀察同學們剛才交流的三幅圖，你發現了什么？

（ ） （ ） （ ）

生：涂色部分都是4個正方形，表示的分數卻不相同。

生：因為它們平均分成的份數不同，而且表示的份數也不同。

師：也就是說，平均分成的份數不同，表示的分數也不同。

師：我們剛才是怎樣得到這些分數的？你能用一句話來說說什么是分數嗎？

生：把單位1平均分成幾份，表示這樣的幾份就是分數。

通過自主創造分數的教學環節引導學生進行“求異比較”：為什么同樣的8個小正方形表示的分數卻各不相同？抽象概括出單位“1”是什么不重要，關鍵是把“1”平均分成多少份，表示這樣的幾份，這才是分數的本質屬性。

因此，同樣8個小正方形，平均分的份數不同，所表示的分數就不同。學生在反思、質疑中理解：同樣的圖形，得到不同分數的原因在于平均分的份數不同。通過相同與不同的對比辨析之后，讓學生進一步明確分數意義的本質屬性。

三、橫向延伸——擴展分數意義的外延

美國著名教育家布魯納說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯系起來，那么多半會被遺忘。”學生已經知道了分數的本質含義，但如果沒有及時納入到已有的知識體系中，那么對分數的理解還是處于零散的狀態。要讓學生明白分數是小學認識數概念的一次重要擴展，分數和整數、小數一樣也是一種數，每個分數都能在數軸上找到一個對應的點，從而建構起完整的數概念，幫助學生明白分數也能表示事物的數量。

【片段五】

師：同學們，老師把剛才同學用來表示的線段變了一變，變成了下面這樣，大家在圖上看到了什么？我們以前學過的2，3在哪里呢？

0 1

師：想一想：你能指出剛才我們學過的和在哪里嗎？

生：把0～1之間看作單位1，先把這一段平均分成4份，第一個點就表示，第三個點就可以用表示。

如果本節課的教學到此戛然而止，學生可能會誤解為分數總是比1小，從而形成思維上的僵化。因此在這時教師應繼續追問：數軸上1到2之間的數是不是也可以用分數來表示呢？

師：我們把1到2之間平均分成4份，1后面的這個點你能用分數來表示嗎？

生：可以用來表示。

生：不行，1就是， 比還要小。

生：應該用來表示。

師：這個點到底用還是用來表示，我們以后還將繼續學習。

在學生獲得分數的意義之后，利用數軸這一載體，引導學生找到已學整數和新學分數在數軸中的不同位置，使學生認識到分數也是一個具體的數，同樣可以在數軸上找到相應的位置。這樣不僅將真分數延伸到了假分數，在抽象層面建構起分數的一般意義，更溝通了分數、整數和“1”之間的聯系，形成辯證的自我認知。

教學中，筆者根據教學所需，對教學內容進行了重組和建構。從學生的生活經驗和已有的認知出發，將分數的概念轉變成學生可以實際探究的具體情境，在學生思維沖突、意義重建的過程中逐步豐滿分數意義的表象，幫助學生對分數內涵的自我建構。這樣做不僅突出了單位“1”的地位，更縱向剖析了分數的本質含義，橫向延伸了分數的外延，從而使學生經歷了更為厚實、豐富、寬廣的分數意義的探索過程，建構起了屬于學生自己的數學知識體系。

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