一題多解 演繹推理 妙趣橫生

陳虎

資料來源

小學六年級數學第一單元測試題中有這樣一道題：一塊正方形麥田邊長300米，如果用射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌. 大約需要多少個這樣的裝置？

資料背景

本資料是在學生學習了義務教育課程標準實驗教科書小學數學六年上冊第一單元圓的有關知識后做的一個單元測試. 本次活動的目的主要是考查學生能否結合生活實際，通過觀察、操作等活動認識圓的特征；通過觀察、操作、想象、設計等活動，發展空間觀念；重點培養學生能結合具體的情境，體驗數學與日常箋密切聯系，能用圓的知識來解決生活中的簡單現象，解決一些簡單的實際問題.

課堂實錄記要

師出示題：一塊正方形麥田邊長300米，如果用射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌. 大約需要多少個這樣的裝置？

師：這道題測試有很多同學都解答出來了，現在有誰能把自己的解答方法說給同學們聽一聽嗎？

學生1：老師，這道題我是這樣理解的，“射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌”，這個射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌時，那個噴頭旋轉一周噴射的面積大約就是半徑10米的圓. 所以要求“大約需要多少個這樣的裝置？”就可以用正方形的面積除以圓的面積.

列式解答：

300 × 300 ÷ （3.14 × 102）

= 90000 ÷ 314

≈287（個）.

學生2：老師，我與他的方法一樣，但我的結果是286個，我認為他的結果不對.

師：為什么你認為他的結果不對，而覺得你的對呢？

學生2：因為90000 ÷ 314 ≈ 286.6（個），算的結果尾數是0.6個噴頭，不足一個，所以我認為可以把尾數舍去.

學生1：老師，他的結果不對，這里不能把尾數舍去，因為小數點后面的尾數是6，按“4舍5入法”應該入！

師：你們一個說要把尾數舍去，一個說要入，到底該怎樣呢？你們大家互相交流、討論！

學生1：我認為不可以把尾數舍去，因為多裝一個自動旋轉噴灌裝置可以更好地去澆灌田地.

學生2：我認為可以把尾數舍去，因為少裝一個自動旋轉噴灌裝置對澆灌這么大田地沒有多大的影響，何況水有流動性，只要安裝的合理，留有不到一個半徑10米圓的面積的田地是完全可以的. 再說少裝一個自動旋轉噴灌裝置還可以節約這個裝置的成本呢？

師：同學們假如要你去設計安裝你會選擇哪個數去安裝呢？你們還有其他的解決辦法嗎？

學生3：老師，我的方法與他們倆的不一樣. 這個射程是10米的自動旋轉噴灌裝置進行噴灌時，那個噴頭旋轉一周噴射的面積大約就是半徑10米的圓. 這個圓的直徑就是20米，而正方形的邊長是300米，正好在這塊田地安裝一排15個射程是10米的自動旋轉噴灌裝置，剛好15排.

列式解答：

（300 ÷ 20） × （300 ÷ 20）

= 15 × 15

= 225（個）.

師：這名同學的解決思路與他們的倆不一樣，結果也不一樣，你們更贊同哪一個方法與結果呢？你們大家互相交流、討論，想辦法研究一下.

學生4：老師，剛才我們小組通過畫圖分析研究時發現：無論是把287個或者286個，還是225個射程是10米的自動旋轉噴灌裝置安裝在邊長是300米的正方形田地里，怎樣安裝都會留有一定的空隙. 既然有空隙，我們考慮到水具有流動性，我們小組認為選擇用邊長與直徑的關系來計算的結果（225個）更佳.

學生5：我認為還可以少裝幾個這樣的自動旋轉噴灌裝置，因為像我們那里這樣大的田地間是有一些田梗和小水溝，所以我認為還可以少裝幾個這樣的自動旋轉噴灌裝置.

學生1：我認為還是應安裝287個這樣的自動旋轉噴灌裝置，因為安裝的多一些，可以更好地保證盡快把田地澆透，特別是如果遇上干旱時節還嫌少呢？

學生4：我們還是認為裝225個這樣的自動旋轉噴灌裝置劃算些，因為少裝了62個，不僅可以節約一大筆成本開支，還減少了這些自動旋轉噴灌裝置對田地空間的占有率. 假如是我來設計安裝，我會選擇225個，這樣的安裝一排一排的，又有對稱美，如果一起噴射，那可是一道亮麗的風景線. 師：經過我們剛才的學習研究，假如我們同學們自己去設計安裝，我相信你們心中一定有了一個明確的方案. 所以，我相信大家以后解決問題時，不僅會用到數學知識，還會考慮到其他方面的因素，把其他知識都聯系起來，這樣，我們一定會把問題解決得更好！

教學反思

在本次數學學習活動中，充分展現了學生的主體地位. 進行試題評講時，教師打破往常常采用的由教師分析、講解，甚至灌輸式模式，而是充分相信學生，從學生認知發展水平和已有的知識經驗出發，鼓勵學生將數學學習活動與生活廣泛聯系，綜合運用所學的知識和方法探索這道題的解決思路及方法，在整個學習過程中學生都處于一自主、自由、寬松的環境，學生始終是數學學習中的主人，教師則是一配角，學生才是主演.

數學學習不能只建立在單一、枯燥無味地接受與被接受形式上，教師給予學生的不能僅限于一個知識要點或是一個題的簡單答案，而是學習數學的、方法. 在解決這道題時，出現了諸如用“面積與長度”解題思方式路和“去尾與入尾”解題方法分歧時，教師不是簡單地肯定與否定，而是引導學生通過自主探索和小組合作交流方式進行深入研究. 在這種學習的過程中真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想和方法，從而獲得廣泛的數學活動經驗.

鼓勵學生“綜合運用所學的知識和方法解決簡單的實際問題來加深對所學知識的理解，獲得運用數學解決問題的思考方法，并嘗試與他人進行合作交流. ”是這節課的一大突破. 在教學中，教師緊緊圍繞“探索多種解決問題的方法和鼓勵學生嘗試解答這些簡單的實際問題”這一目標，注重所學內容與日常生活、自然、社會和科學技術等領域的聯系；運用了“想一想、算一算、畫一畫、辯一辯、議一議”等策略解決問題，引導學生從不同角度發現實際問題中所包含的豐富數學信息；注重培養學生體驗數學中的數據在具體情境中的決策意義，懂得數學學習在生活中起到的重要作用.

這節數學試題評講，經過近一節課的時間的學習研究，對這個問題卻沒有強加給學生一個所謂標準答案. 但在這次數學學習活動中，學生成為了真正數學學習的主人，他們不僅充分運用了數學知識，還聯系了其他學科的知識，更重要的是在解決問題的過程中還聯系到了生活實際. 我認為數學學習，不單單在于書本，不僅僅限于數學知識的框架和個別數學問題的解決辦法，更多的是培養學生學會學習數學，并能用所學數學知識、方法與技能在解決問題過程中設計多個解決問題的方案，充分考慮到其他方面的因素都聯系起來尋求更合理的解決辦法. 就這節試卷評析課，在學習過程中沒有著眼于這個問題的一個唯一標準的答案，而側重于是解決這個問題的過程. 我認為像這樣類似的問題不必要拘泥于答案的一致性（求同性）（甚至是唯一性），存異也許收獲更多，更利于培養學生的創新精神與創造能力，更利于數學教育的發展.