一類二階常系數線性微分方程的解法

常軍

【摘要】 通過變量代換，給出一類二階常系數線性微分方程的通解公式.

【關鍵詞】 二階常系數線性微分方程；通解公式

在現行的常微分教材中，求二階常系數非齊次線性微分方程通解的一般方法是求對應的齊次線性微分方程的通解與非齊次線性微分方程的一個特解，進而求得通解. 本文利用變量代換法給出一類二階常系數線性微分方程的通解公式，從而避免了一般解法中確立待定系數的繁瑣過程.

設有二階常系數線性微分方程

αy″ + βy′ + γy = f（x） （α≠0） （1）

其中α，β，γ為常數，若方程（1）的系數滿足

α + γ = |β| 則方程（1）的通解為

y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2或y=e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

解 情形1 若α + γ = β

于是方程（1）可化為

α（y′ + y）′ + γ（y′ + y） = f（x）（2）

設y′ + y = p，

于是方程（2）可化為p′ + ■p = ■f（x）.

則p = e■■■e■dx+C1e■.

即y′ + y = e■■■e■dx+C1e■ .

因此（1）式的通解為

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2

情形2 若α + γ = -β于是方程（1）可化為

α（y′ - y′）′ - γ（y′ - y） = f（x）（3）

同法可得（1）式的通解為

y = e■■e■■■e■dx+C1e■e■dx+C2.

例1 求微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解.

解 因為α = 1，β = -3，γ = 2，f（x） = 2xex.

所以α + γ = -β因此根據通解公式得

微分方程y″ - 3y′ + 2y = 2xex的通解為

y = e■■e■■2xex·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = （-x2 - 2x）ex + C1e2x + C2ex.

例2 求微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解.

解 因為α = 1，β = -2，γ = 1，f（x） = ex ln x，

所以α + γ = -β，因此根據通解公式得

微分方程y″ - 2y′ + y = ex ln x的通解為

y = e■■e■■exln x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ex■x2 ln x - ■x2 + C1x + C2.

例3 求微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解.

解 因為α = 1，β = 3，γ = 2，f（x） = e-x cos x.

所以α + γ = β，因此根據通解公式得

微分方程y″ + 3y′ + 2y = e-x cos x的通解為

y = e■■e■■e-x cos x·e■dx + C1e■e■dx + C2.

解得y = ■e-x（sin x - cos x） - C1e-2x + C2e-x .