分析建模

李娟

【摘要】 從小學到初中，應用題始終是學生學習數學的難點，難在理解題意，也難在需要從實際問題中抽象出數學模型，并運用數學模型解決實際問題. 方程、不等式、函數等是數學中的重要模型，因為比較抽象，實際問題中出現的數量關系較多，運用它們解應用題讓不少學生頭疼. 如何幫助學生分析建模？本文就列分式方程解決實際問題闡述了筆者在教學實踐中的一點思考.

【關鍵詞】 分析；建模；應用題

《數學課程標準》中描述：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑. 建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義. 這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識. ”這段話明確提出了運用方程、不等式、函數等數學模型解應用題的目標要求和教學建議.

列分式方程解應用題是初中數學教學的難點之一. 部分學生的困難是：看不清題意；不明確問題中的基本量；不會運用未知數表示與之相關的未知量；不善于抓住關鍵語句和關鍵詞，尋找問題中的等量關系，列出方程等. 為此筆者在教學實踐中，首先引導學生明確題意，在此前提下，著力引領學生進行分析：一是確定應用題的基本類型；二是明確這類應用題中的基本量及它們之間的數量關系；三是在設出未知數之后，輔以表格，尋找關鍵語句和關鍵詞，用未知數x表示其他相關量，列出等量關系，建立分式方程. 特別是第三步分析，是突破難點的關鍵給力之處，也是列方程解應用題的教學智慧所在. 下面列舉幾例分析：

【問題1】A、B兩地的距離是80公里，一輛公共汽車從A地駛出3小時后，一輛小汽車也從A地出發，它的速度是公共汽車的3倍，已知小汽車比公共汽車遲20分鐘到達B地，求兩車的速度.

分析：1. 問題的類型——行程問題；

2. 行程問題中的基本量是：路程、速度、時間；

3. 基本量的確定及等量關系，以表格的形式列出.

路程 速度 時間 題中的等量關系

公共汽車 80公里 x ■

小汽車 80公里 3x ■

解：設公共汽車速度為每小時x公里，

則■ - ■ = 3 - ■.

解分式方程、檢驗、作答的過程這里不作贅述.

【問題2】為加快西部大開發，某自治區決定新修一條公路，甲、乙兩工程隊承包此項工程. 如果甲工程隊單獨施工，則剛好如期完成；如果乙工程隊單獨施工就要超過6個月才能完成. 現在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則剛好如期完成. 問原來規定修好這條公路需多長時間？

分析：1. 問題的類型——工程問題；

2. 工程問題中的基本量是：工作總量、工作效率、工作時間；

3. 基本量的確定及等量關系，以表格的形式列出.

一般經常設所問量為未知數. 這里，設“原來規定修好這條公路需x個月”，用未知數表示其他未知量也是一個難點，由題意可得：甲獨做需要x個月，乙獨做需要（x + 6）個月，則接下來可以列出以下表格幫助分析：

工作效率 工作時間 工作總量 題中的等量關系

甲 ■ 4 ■ × 4

乙 ■ x ■× x

解：設規定修好時間為x個月，

則■ × 4 + ■ × x = 1.

【問題3】北京奧運會開幕前，某體育用品商場預測某品牌運動服能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種運動服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進第二批這種運動服，所購數量是第一批購進數量的2倍，但每套進價多了10元.

（1）該商場兩次共購進這種運動服多少套？

（2）如果這兩批運動服每套的售價相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價至少是多少元？（利潤率 = ■ × 100%）

分析 1. 問題的類型——銷售問題；

2. 銷售問題中的基本量及基本關系較多，有：進價、售價、數量、利潤等，主要的等量關系有：利潤 = 售價 - 進價，總價 = 單價 × 數量，等；

3. 題中基本量的確定及等量關系，以表格的形式列出：

考慮到問題（1）中問“兩次共購進這種運動服多少套？”可以設第一批進的數量為未知數：

進價 數量 總成本 題中的等量關系

第一批 ■ x 32000元

第二批 ■ 2x 68000元

當然，這里若不設數量為未知數，也可以就“進價”來設未知數.

進價 數量 總成本 題中的等量關系

第一批 x ■ 32000元

第二批 x +10 ■ 68000元

兩種不同的設未知數的方法，源于題中的兩個等量關系：“所購數量是第一批購進數量的2倍，但每套進價多了10元”，其中的一個等量關系用來用未知數表示其他與之相關的未知量，另一個等量關系用來列方程.

在教學過程中，針對學生掌握知識、提升能力過程中的難點，幫助學生分步分析，用合理的方式輔助，用符號呈現問題中的數量關系和變化規律，建立數學模型來解決實際問題，形成這樣的思維習慣，有助于提高學生的分析能力，初步形成模型思想，增強運用數學的意識和能力，也能提高他們學習數學的興趣，這也是我們一線數學教師在教學實踐中應該不斷研究的教學智慧.