“猜想—驗證”在小學數學教學中的運用

褚曉冬

摘 要：“猜想——驗證”不僅是學生學習數學知識的重要方法，而且是一種重要的數學思想。本文歸納了在小學數學教學中運用“猜想—驗證”的四個途徑，即在問題情境中感知（操作感知、創境感知），在觀察分析中猜想（溝通新舊知識間的聯系、個例啟發），在舉例、動手操作中驗證，在引導中歸納。

關鍵詞：小學數學；猜想；驗證

“猜想——驗證”是一種重要的數學思想方法。正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”數學猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：問題情景—觀察分析—提出猜想—驗證結論—歸納總結。

一、在問題情景中感知

心理學研究表明：學生感知越豐富，建立的表象越清晰，就越能發現事物的規律，獲得知識。因此，教學中要給學生提供充足的能揭示規律的感性材料，引導學生動手做、動腦想、動口說、動眼看，使學生在做一做、算一算、想一想、說一說、看一看中獲得豐富的感性認識，建立清晰的表象，促使學生形成初步的猜想。

1.操作感知

如在“長方形面積計算公式”教學中，讓學生拿出課前準備好的24張l平方厘米的正方形紙片，然后用這24張紙片拼成盡可能多的長方形，拼好后逐一按長、寬、面積等數據填在記錄表格中。這樣，通過拼、量、填、算、說，學生進一步初步感知了長方形的面積。至此，猜想長方形的面積已是水到渠成。

2.創境感知

在“加法交換律與結合律”教學中，教師提出問題：大猴上午吃3個桃子，下午吃4個桃子，小猴上午吃4個桃子，下午吃3個桃子。大猴小猴誰吃得多？學生發現：大猴小猴吃的桃子的總數相等，即3+4=4+3。學生觀察等式左右兩邊的特點，初步感知了加法交換律。

二、在觀察分析中猜想

波利亞曾說過：“一個孩子一旦表示出某些猜想，他就把自己與該題連在一起，會急切地想知道自己的猜想正確與否。于是，便主動地關心這道題，關心課堂上的進展。”因此，在學生大量感知且形成豐富的表象后，教師要給予學生充足的時間和空間，讓學生根據自己的感知，用自己的思維方式自由地觀察思考、分析推理，逐步從感性認識上升到理性認識，然后相互交流討論，形成合理的猜想。

1.溝通新舊知識間的聯系

在“平行四邊形面積”的教學中，引導學生觀察表格中長方形的長、寬、面積和平行四邊形底、高、面積的數據，進而思考長方形的長、寬與平行四邊形底、高有什么關系，長方形的面積和平行四邊形面積有什么關系。學生通過做比較，交流討論后，形成初步猜想。

2.個例啟發

在“乘法結合侓”教學中，學生觀察兩個算式——（3×12）×5與3×（12×5），計算得出結果一致。他們通過找出等式兩邊的相同點和不同點進行猜想，教師引導學生舉例，通過舉例，學生進一步啟發得出猜想。值得注意的是，學生猜想出現錯誤時，教師不能立即給予否定或提醒，而應適時引導學生舉例驗證，必要時教師可舉出反例，讓學生在驗證中發現猜想錯誤，調整思考方向，重新提出猜想。

三、在舉例、動手操作中驗證

驗證是用實例或邏輯推理證明結論是否正確的一種方法。沒有驗證的猜測，只是一種“懸念”。小學數學一般不要求作嚴格論證，可采用符合小學生年齡特征的舉例驗證法和動手操作驗證法。

1.舉例驗證

在“商不變性質”教學中，學生通過觀察除法算式猜測出“當被除數、除數都乘以或除以同一個數時，它們的商不變” 的結論。教師請生舉例驗證猜測的結論是否正確，生以12÷6=6÷3=4÷2=為例，說明“被除數、除數都除以同一個數，商仍然不變”。而小組在舉例驗證時發現當被除數、除數同時乘以0或除以0時，商的結果算不出來了。舉例證明時，教師要鼓勵學生不但要舉一般的例子，更要舉一些特殊的例子。同時乘以、除以0就是例證中的一個特殊例子。

2.動手操作驗證

如“三角形的內角和”的教學，在學生提出初步的猜想后，引導學生在操作中探索驗證：

（1）折一折：根據書中實驗，分別折疊三種不同三角形，得到三角形的內角和是180°。

（2）拼一拼：分別把每種三角形的三個角剪下來，拼在一起成為一個平角，得到三角形的內角和是180°。

（3）算一算：把正方形的紙片沿對角線分成兩個完全相同的三角形，由正方形4個角是90°×4=360°，推算出其中一個三角形內角和是180°。

四、在引導中歸納

驗證之后，教師要不失時機地引導學生說一說、議一議，相互交流，達成共識。在此基礎上，讓學生理一理，準確地歸納、概括出知識結論。歸納時，要引導學生深刻理解結論的普遍性和結論中的每一句話。如歸納分數的基本性質時，讓學生思考討論“相同的數”是不是什么數都可以，為什么？在學生準確概括出分數的基本性質后，再讓學生舉例說明這個性質，然后引導學生應用這個性質。這樣不但加深了學生對知識的理解，使其進一步鞏固和掌握知識，而且培養了學生解決實際問題的能力。