高中數學校本化作業設計的幾個關注點

蔡振樹

數學作業是數學學習的重要載體，是數學課堂教學的延伸，是學生獨立完成學習任務的標志性形式。本文針對教輔教材作業存在的不足，開展校本化作業研究，提出校本化作業設計的四個關注點，希望能夠起到拋磚引玉的作用。

數學作業 校本化 關注點

數學作業是數學學習的重要載體，是數學課堂教學的延伸，是學生獨立完成學習任務的標志性形式。傳統上，作業是老師在上完一節課以后，讓學生去做某種教輔資料的《一課一練》等。這類作業往往不具有針對性，不一定適合學生的學習實際，千篇一律，無法注意到學生的學習差異。特別是高中學段，高三復習階段情況更是嚴重，教師依賴教輔，學生拋開教材，大量的題海訓練，耗盡大量的學習時間，使學生背上沉重的包袱，數學作業多、難，是學生、家長普遍反映的現實。根據不同學生的學習水平設計校本化作業的研究就應運而生，本文對此話題作些探索，希起拋磚引玉作用。

一、對高中數學校本化作業的認識

所謂校本，一是為了學校，二是在學校中，三是基于學校。為了學校，是以改進學校實踐、解決學校所面臨的問題為指向；在學校中，是要根據學校自身的問題，由學校中的人也就是老師和學生來解決；基于學校就是所形成的解決問題的諸種方案要在學校中加以有效實施。

當前，特別是高中數學作業的形式，除了課本習題外，更多的是有關部門指定的教輔用書，也有相當部分的作業是老師通過剪輯而編成的校本化作業。老師使用自己編寫的作業，目的是減少重復性、機械性作業，從而減輕中小學生過重的課業負擔。校本化作業是基于老師所教學生的實際而編寫的，其精髓在于老師們的“把脈開藥”，校本化作業代表的是教師的水平。因此，開展作業的校本化研究是教師力所能及的事，是實實在在的教學研究，因而是有意義的。

高中數學校本化作業是對數學課堂教學的有益補充。數學課堂是以思維為基礎，又十分重視應用，對學生的思辨能力、分析問題和解決問題的能力都有較高的要求，僅僅依靠課堂45分鐘來實現顯然是不夠的。教材配套的習題是最基礎的學習要求，對高中生而言，尤其是對優等生來說吃不飽，中等生也吃不好，差生又吃不消。因此，數學作業的校本化，就為解決這一矛盾找到了路徑，它不僅使學生課后有了學習的延伸，并且校本化作業的針對性和有效性也可以根據學生實際學情得到有效矯正。

校本化作業是根據學校現實情況而編定的。不同類型學校的學生學習數學的能力有差異，有重點達標高中的，有普通高中的，這些學生都用同一套材料顯然是不合適的，而校本化作業對解決差異性是必要的，也是學校應該探索思考的課題。校本化作業對學生也可以起到正面引導作用，因為它是專門為學生量身定做的。

校本化作業也是對教師教研教學能力的挑戰和實踐。教師是課程的執行者和解釋者，其對教材的理解力和執行力的高低直接關系到學生的學習效果。通過對作業的校本化研究，既是檢查學生的學習情況，也是對教師執教能力的檢驗。

校本化作業對促進學生學習是有益的。通過教師對作業的內容和難度，作業的針對性和層次性的研究，通過加強作業設計內容的適用性開發，使作業貼近學生實際，切實提高學生學習興趣，減輕學生過重的學習負擔，使學生的作業多樣化，提高學生在學習上的興趣、主動性、自主性、積極性，對促進學生數學學習更有意義。

校本化作業對高中學校辦學特色化來說是基點之一。以數學作業的校本化研究為依托，在新課程變革的形勢下探尋數學作業校本化的策略和實施途徑，使數學的學習領域不斷寬泛，開發生成新的教育教學資源，以多樣化的形式來展開對數學的學習，這有利于深化學校的辦學特色。

二、高中數學校本化作業設計的四個關注點

根據《數學課程標準》的理念，高中新課程的數學作業已不再完全是課堂教學的附屬，而更是重建與提升課程意義及人生意義的重要內容。每一次數學作業都是學生成長的新生長點。學生在問題不斷生成、不斷解決的探索中成長；在知識的不斷運用中，在知識與能力的不斷互動中，在情感、態度、價值觀的不斷碰撞中成長。因此，高中數學校本化作業的設計，是一件具有創造性的工作，通過實踐的操作與反思，促發一些感想，數學校本化作業應該遵循一定的原則，下面舉例著重談談四個關注點。

1.遵循課標，以綱為綱

校本化作業是高中數學課程的有效強化和擴充，要遵循課程標準的要求，力求體現學科個性，它的開發應立足于學科特點，以學生的發展為根本出發點。這是最基本的原則，也是校本化作業設計的依據。課程標準不要求的內容我們堅決不用，或者用要求學生掌握的語言來表述，這類題目特別在許多教輔材料中經常出現，我們要堅決予以改正。如“正方體的外接球”，現行課程沒有提到這概念，我們可冠之于“正方體的所有頂點在某一球面上”等等。

2.依據課本，追本溯源

設計作業選題時我們可以從課本中找影子，對課本例題習題進行改編加以創造。畢竟教科書作為知識的呈現載體，在習題和例題的選擇上都具有其典型性和示范性，我們在平時的日常教學工作中，可以在課本習題和例題的處理上多下功夫。

例1：已知A1，A2分別為橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左右頂點，橢圓C上異于A1，A2的點P恒滿足kPA1·kPA2=-■，則橢圓的離心率C為

A.■ B.■ C.■ D.■

【設計意圖】本題源于高中課本《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1》人教A版介紹的這樣兩個問題：

第2.2節例3：如圖，設A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相交于M，且他們的斜率之積是-■，求點M的軌跡方程。

第2.3節探究：如圖，設A、B的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相交于M，且他們的斜率之積是■，試求點M的軌跡方程，并由點M軌跡方程判斷軌跡的形狀。與2.2例3比較，有什么發現？

例2：為調查某校學生喜歡數學課的人數比例，采用如下調查方法：

（1）在該校中隨機抽取100名學生，并編號為1，2，3，……100；

（2）在箱內放置兩個白球和三個紅球，讓抽取的100名學生分別從箱中隨機摸出一球，記住其顏色并放回；

（3）請下列兩類學生舉手：①摸到白球且號數為偶數的學生；②摸到紅球且不喜歡數學課的學生。

如果總共有26名學生舉手，那么用概率與統計的知識估計，該校學生中喜歡數學課的人數比例大約是：

A.88% B.90% C.92% D.94%

【設計意圖】本題源于高中課本《普通高中課程標準實驗教科書數學必修3》人教A版2.2.1閱讀材料：如何得到敏感性問題的誠實反應。

3.關注基礎，回歸定義

基本概念、基本運算等數學基礎知識，是支撐數學學科知識體系的重點內容，也是夯實雙基的重要載體，定義的掌握與否是學習的基礎，更是后續學習的基礎。因此，校本化作業的設計要特別關注基礎，回歸定義。

例3：函數的圖像與方程的曲線有著密切的聯系，如把拋物線y2=x的圖像繞原點沿逆時針方向旋轉90°就得到函數y=x2的圖像。若把雙曲線■-y2=1繞原點按逆時針方向旋轉一定角度？茲后，能得到某一個函數的圖像，則旋轉角？茲可以是

A.30° B.45° C.60° D.90°

【設計意圖】函數的定義：設A，B是兩個非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任何一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f∶A→B為集合A到集合B的一個函數。由函數的定義可知，函數是數集間的映射。作為一個映射，就必須滿足映射的條件，只能一對一或者多對一，不能一對多，所以上題中需讓雙曲線的漸近線旋轉至與y軸重合。

例4：已知二次函數y=f（x）的圖像如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為

A.■ B.■ C.■ D.■

【設計意圖】本題考察利用定積分概念意義求面積。根據圖像可得：y=f（x）=-x2+1，再由定積分的幾何意義，可求得面積為S=∫■■（-x2+1）dx=（-■x3+x）■■=■。故選B。

4.注意差異，能力創新

不同學生在學習能力等方面存在個體差異是客觀的，面對差別，對他們提出不一樣的要求，實行因材施教的教育原則，準確把握學情是科學有效地設計作業的前提。弄清學生本節課所要達到的學習目標及知識技能提升的水平，以學生潛能的發展為標準，最大限度地發揮其自身具有的潛質，創設具有層次性的數學作業，能讓不同學習水平的學生在數學學習中得到不同的發展，設計多梯級、多層次的作業，給學生留有自主選擇的空間，滿足不同學生能力發展的需要。注意差異，能力創新題目的選擇是校本化作業的精髓。

例5：將邊長為1的正三角形ABC按如圖所示的方式放置，其中頂點A與坐標原點重合。記AB邊所在直線的傾斜角為？茲，已知？茲∈[0，■]。

（Ⅰ）試用？茲表示■的坐標（要求將結果化簡為形如（cos？琢，sin？琢）的形式）；

（Ⅱ）定義：對于直角坐標平面內的任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2），稱為|x1-x2|+|y1-y2|為P、Q兩點間的“taxi距離”，并用符號‖PQ‖表示。試求‖BC‖的最大值。

【設計意圖】“taxi距離”也稱出租車幾何或曼哈頓距離（Manhattan Distance），是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學用語，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和。之所以把“曼哈頓距離”稱為距離，是因為“曼哈頓距離”滿足“距離”的定義：設X是非空集合，對于X中的任意任意兩個元素x與y，按照某一法則都對應唯一的實數？籽（x，y），并滿足以下的三條距離公理：

（1）非負性：？籽（x，y）≥0，當且僅x=y當時？籽（x，y）=0；

（2）對稱性：？籽（x，y）=？籽（y，x）；

（3）三角不等式：對于任意的x，y，z，？籽（x，y）≤？籽（x，z）+？籽（z，y）。

以曼哈頓距離的定義為背景考查新定義問題是近年高考的熱點，這種題型屬于創新題，能有效考查直線方程、絕對值、不等式等知識，考查化歸與轉化、分類與整合、數形結合的數學思想方法，以及數學探究能力、推理論證能力、問題解決能力和創新意識，這體現了新課標的教育理念。解題時，嚴格根據定義，從定義出發，以不變應萬變，這才是上上之策。不同學習層次的學生可以達到不同的學習目標，體現差異性。

例6：設f0（x）=x·ex，f1（x）=f0′（x），

f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=fn-1′（x）（n∈N*）。

（Ⅰ）請寫出fn（x）的表達式（不需證明）；

（Ⅱ）求fn（x）的極小值yn=f（xn）；

（Ⅲ）設gn（x）=-x2-2（n+1）x-8n+8，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，求a-b的最小值。

【設計意圖】本題重點考查了函數導數中的重點知識，如復合函數的導數、利用導數求解函數的單調性極值、二次函數的最值等；同時，交匯考查了合情推理、數列等核心知識點，試題的交匯自然和諧，綜合程度較高；有效覆蓋了3個能力2個意識（《考試大綱》《考試說明》要求5個能力2個意識）。如：抽象概括出函數fn（x）解析式的過程考查了抽象概括能力；由歸納推理得fn（x）的解析式、第（Ⅲ）步先猜后證的過程考查了推理論證能力；求a-b最小值的過程考查了運算求解能力；以導數為工具求fn（x）的極小值點考查了應用意識；第（Ⅲ）步解法一構造函數、解法二利用數列的單調性創造性解題考查了創新意識。同時，也考查了6種數學思想方法（《考試說明》要求7種數學思想方法），如：求函數fn（x）、gn（x）的最值中，實際上是研究函數fn（x）、gn（x）的圖像，考查了數形結合思想，以數釋形的同時也應以形助數；解題中的每一個步驟都體現了化歸與轉化思想的數學思想；用導數求fn（x）的最值、利用配方法求gn（x）的最值、以及求a-b的最小值的過程中滲透著函數的零點定理都考查了函數與方程思想；從f0（x），f1（x）…，到fn（x）的推理過程滲透著特殊與一般思想、有限與無限思想、必然與或然思想。

從本題所涉及的數學能力與數學思想方法，可以看出本題確立的是以能力立意，注重創新的指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測學生的數學素養，區分不同層次的學生數學水平，充分體現個體學習的差異性。

三、對高中數學作業校本化的幾點思考

1.關于“拿來”與“創新”的關系

在數學作業校本化的初期階段，甚至可以說絕大部分的時期，都是允許“拿來主義”的。對教輔材料要堅持少而精的原則，批判地繼承，有選擇地利用。“創新”意味著對教師提出更高的要求，但是真正有水平的教師很少是用現成的資料給學生的，他通常能根據學生的實際情況和教材的特點給學生編題，這就是創新，這樣的作業能有效地舉一反三，以一代十。當然，若能很好地處理“拿來”與“創新”的關系，通過有效的校本化作業訓練，使學生數學學習能力得到提高，就是有意義的。

2.“課后”作業，還是“課前”，“隨堂”

作業通常情況是留給學生課后完成的，課后批改，課后講評，這是傳統的做法。但是，我們也可根據不同的課型特點，精心選擇問題作為課前學習的載體，許多地方都有嘗試“先學后教”的教改實驗并取得一定的成效，因此，“課前”作業也未嘗不可。此外，對應高中數學課堂，很多時候我們也可以保證每節課留出一定的時間來進行當堂訓練，隨堂完成。“課后”、“課前”、“隨堂”，不同學習時段的作業要求顯然是不一樣的，需要我們更深入地探討，這都是“校本化”的話題。

3.作業評講與教師輔導的實效性問題

學生交上作業，教師評改后講評是常見的反饋模式。作業是教師與學生交流的主要載體，教師輔導以及評講能否及時有效是作業最關注的目標。校本化作業能否處理好這個關系是最值得研究的問題，哪些作業學生可以獨立完成，哪些作業需要教師輔導學生才能完成，哪些作業需要及時講評才能幫助學生排疑解難等，都是校本化作業必須面對的課題。

總之，作業是課堂教學的延伸，優化作業設計，可以有力地拓展學生的減負空間，發展獨特的個性。學生的學習離不開作業，數學作業的校本化就是要努力使學生不覺得學習數學是負擔，同時又讓他們有興趣，并且能夠有效地掌握知識，進而發展成為能力素養。我們應該以新課程理念為指導，校本化設計數學作業，注重基礎知識和技能的訓練，優化學生學習的過程與方法，讓學生在完成作業時情感態度價值觀得到升華，從而提高數學素養，激發學習潛能。高中數學課堂的有效創設，進行校本化作業的研究是可以值得深入實踐反思的。

參考文獻

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[2] 陳仙紅.數學作業校本化的三點嘗試.數學大世界（教師適用），2011（4）.

[3] 張忠瑞.淺析初中數學作業校本化.吉林教育，2012（4）.

【責任編輯 鄭雪凌】