三維耦合Timoshenko梁功率流主動控制研究

王有懿，趙 陽，馬文來

(哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

三維耦合梁結構廣泛應用于航天與土木建筑工程中，例如由三維耦合梁結構組成的航天器空間桁架結構因其質量輕、靈活及易拆裝等特點，將會成為未來航天器的主體承力結構。飛輪和陀螺等高速旋轉部件工作時產生的中、高頻擾動在航天器梁式結構中傳播，將會引起結構不必要的振動。由于太空中阻尼較小，這種振動一旦發生很難衰減，將會影響其支撐的高精度有效載荷的正常工作[1]。因此，對三維耦合梁結構進行振動分析與控制研究是十分迫切和必要的。

結構振動的功率流綜合了力和速度響應大小及相位關系，能夠給出結構內的局部能量分布和功率流的傳播路徑，揭示整個系統的能量分布，是研究復雜系統振動的有效工具。在低頻段，基于模態疊加的有限元法適用于振動功率流的求解，但在求解中高頻問題時，需要劃分更多的單元，考慮更多的高階模態，計算量變得十分龐大，而高階模態計算本身不準確，從而導致相應的中高頻功率流計算結果不準確。統計能量法僅僅適用于高模態密度的高頻域振動功率流的計算，且只能得到全域的平均信息，無法獲得具體位置的功率流。行波方法[2]則從振動的本質出發，完整地回答了振動傳播的根本問題，其可以精確計算結構振動的功率流。行波方法一般不受分析頻率的限制，更具有魯棒性。

自Goyder等[3]提出功率流的基本概念以來，功率流方法就被作為振動控制研究的分析工具。功率流主動控制方法克服了傳統模態控制方法和數學模型緊密相關及控制頻率受限的缺點和不足，其基本觀點是隔離結構中能量的傳遞，僅僅通過最小化功率流就可以達到減小結構整體抖動的目的。功率流模型可以用來描述結構中的振動傳播，是振動控制設計中一個很重要的控制優化特征量。Pan等[4]推導了彎曲、扭轉和縱波的功率流表達式，并研究了無限長梁結構的功率流主動控制。Schwenk等[5]提出了一種用于控制梁結構振動功率流的算法。Audrain等[6]研究了梁結構的功率流控制理論，并進行了實驗驗證。Pereira等[7]采用基于最小化結構功率流實部的控制方法，實現了梁結構整體抖動的降低。Liu等[8]采用行波方法研究了有限二維L型梁結構的功率流主動控制。朱宏平等[9]采用導納波動方法研究了建筑結構的功率流主動控制策略。宋孔杰等[10]對柔性隔振系統的功率流理論進行了深入研究。伍先俊等[11]研究了主動隔振系統中反饋控制的功率流計算方法。金全洲等[12]研究了圓柱殼結構的功率流主動控制方法。上述研究對梁結構的功率流分析與主動控制主要采用的是Euler-Bernoulli經典梁理論,這種理論在進行結構動力學分析時具有局限性，Timoshenko梁理論考慮了橫向剪切變形和轉動慣量的影響,能夠更為全面的反映梁結構的動力學特性，特別適合中高頻問題的分析，且其分析結果更接近工程實際。陳榮等[13]基于Timoshenko梁理論進行了斜置隔振系統的功率流分析，Beale等[14]考慮結構中彎曲波、縱波與扭轉波的影響，使用波散射法分析了二維與三維結構的功率流，為了精確獲得結構的中高頻特性，彎曲波的分析采用Timoshenko梁模型。上述對Timoshenko梁的研究僅限于功率流的計算，而沒有進一步研究功率流的控制問題。王有懿等[15]基于 Timoshenko梁理論研究了一維懸臂梁結構的功率流主動控制，但在此研究中僅考慮梁中彎曲波的影響。

因此，本文在文獻[14-15]研究的基礎上，基于Timoshenko梁理論，考慮三維耦合梁中彎曲波、縱波與扭轉波的共同作用，建立了三維耦合梁結構的行波動力學模型，并獲得了其結構中傳播的功率流；并以此為目標函數，進行了基于主動功率流的控制研究；進行數值仿真分析，對比Euler-Bernoulli理論與Timoshenko梁的功率流結果；并分析了三維耦合梁結構中縱波與扭轉波對結構總功率流的影響；進一步從頻域與空間域研究了功率流主動控制方法的控制效果，并分析了最優控制力偏差和誤差傳感器位置對功率流主動控制效果的影響。

1 三維耦合梁結構行波動力學模型

如圖1所示的三維耦合梁結構可以看成一維波導(結構單元)通過結點(邊界)連接而成，在每個結構單元中存在彎曲波、縱波與扭轉波，單元的動力學模型由波動方程描述。在結點處，存在彎曲波、縱波與扭轉波之間的相互轉換,所有外力和位移邊界條件作用于結點。為了獲得更為精確的結構中高頻動力學特性,考慮剪切變形和轉動慣量的Timoshenko梁模型用來進行單元彎曲運動的分析。

圖1 三維耦合Timoshenko梁模型

1.1 單元模型

梁縱向運動的波動方程為：

式中：u和N分別為縱向位移和縱向力，ρ為材料密度，A為截面積，E=ER(1+iη)為復彈性模量，η為損耗因子，ω為圓頻率。

根據行波理論，梁縱向位移的行波解[14]為：

u(x)=uleikxx+ure-ikxx

(1)

由于Timoshenko梁模型包含剪切變形和轉動慣量的影響，其彎曲運動的波動方程為：

式中：w和φ分別為橫向位移和轉角，M和V為彎矩和剪力，G為剪切模量，I為梁的慣性矩，k為剪切折算系數，且k=π2/12。

根據行波理論，梁橫向位移與轉角的行波解[14]為：

k1=-k3=

s1=ρω2/E,s2=ρω2/kG,s3=A/I

彎曲波在y方向的狀態變換方程如下所示，對z方向的彎曲運動可同樣導出類似方程。

(2)

梁扭轉運動的波動方程為：

式中,φ為扭轉角，T為扭矩，GJ為扭轉剛度，IP為梁的截面極慣性矩。

根據行波理論，梁扭轉角的行波解為[14]：

φ(x)=φleikTx+φre-ikTx

(3)

對同時存在縱向、彎曲、扭轉運動的三維耦合梁結構，由式(1)-(3)得單元狀態變換方程為：

(4)

式中：u=[uxwywzφxφyφz]T為截面位移向量，f=[NVyVzTMyMz]T為截面內力向量，wl=[ulwy1wz1φlwz2wy2]T為左行波向量，wr=[urwy3wz3φrwz4wy4]T為右行波向量，上標T為轉置符號，Yul、Yur、Yfl、Yfr為單元狀態矩陣。

單元傳遞方程表示為：

(5)

其中：t1(x2-x1)和t2(x2-x1)為單元傳遞矩陣。

1.2 結點散射模型

在結點上有外力及位移邊界條件作用，因而需要滿足位移連續及力平衡方程。

設一個結點有N個單元與之相連，在第n個單元上相對結點有入射波wni和出射波wno。由單元狀態變換式得：

(6)

式中：c′為坐標變換矩陣。

由結點處的力平衡和位移協調條件得：

U1=U2=…=UN

(7)

式中，δ為作用在結點上的位移激勵，Q為作用在結點上的外力，α,β為位移邊界條件選擇矩陣。

定義結點出射波向量為wo=[w1o,w2o,…wMo]T，結點入射波向量為wi=[w1i,w2i,…,wNi]T，將式(6)代入式(7)可得結點散射方程：

wo=Snwi+GnRn

(8)

式中Sn為結點散射矩陣，Gn為結點影響矩陣，Rn為作用在結點上的外激勵向量。

1.3 系統總體方程

針對第m個單元，令單元出射波向量為wmo=[wo2wo1]T單元入射波向量為wmi=[wi2wi1]T定義系統出射波向量和入射波向量分別為：Wo=[W1o,W2o,…WMo]T,Wi=[W1i,W2i,…,WMi]T，其中M為單元數。

類似于有限元方法中剛度陣和質量陣的疊加方式，將所有結點散射方程(8)疊加得：

Wo=SWi+GR

(9)

式中S稱為系統散射矩陣，G為系統影響矩陣，R=[R1,R2,…,RJN]T，JN為結點總數。

由單元傳遞方程(5)進行單元疊加得：

Wo=TWi

(10)

式中，T為系統傳遞矩陣。

聯立方程(9)和(10)可得：

Wi=(T-S)-1GR

(11)

給定外激勵R即可求得Wi和W0，并運用單元狀態變換方程和傳遞方程式(4)-(5)可求得任意截面處的內力與位移：即獲得了三維耦合梁結構的動力學響應。由于行波方法不受模態的限制，且在建模過程中采用Timoshenko梁理論，考慮了剪切變形與轉動慣量的影響，因而其獲得的中高頻動力學特性將更為精確。

2 三維耦合梁結構中的功率流傳播與主動控制

三維耦合梁功率流主動控制方法的基本思想是施加控制力耗散由擾動力產生的輸入功率流，從而通過耗散輸入能量來抑制結構整體的振動。其一般實現方式為：最小化誤差傳感器位置處擾動力和控制力產生的總功率流，從而獲得最優控制力的大小和相位，并將最優控制力施加于結構以此耗散擾動力產生的輸入功率流，最終通過減小結構中傳遞的功率流(綜合了力和速度響應大小與相位關系)達到減小結構整體振動量級的目的。

結構的功率流表示為結構中某一截面能量傳遞的時間平均。在三維耦合梁結構中某一x位置截面處的主動功率流可表示為[15]：

(12)

式中：um=[Yu1Yur]wm為位移向量，fm=[Yf1Yfr]wm為內力向量，*為共軛轉置符號，Re表示取實部。

圖2 三維耦合Timoshenko梁功率流主動控制圖

如圖2所示的三維耦合Timoshenko梁，作用于x0位置的擾動力F0eiωt在任意截面位置的位移向量和內力向量可以表示為：

u0(x)=ux0(x)F0,f0(x)=fx0(x)F0

(13)

式中：ux0(x)，fx0(x)為作用于x0位置的單位力產生的位移向量和內力向量。

同理：作用于xs的控制力Fseiωt在任意截面位置的位移向量和內力向量分別為：

us(x)=uxs(x)Fs,fs(x)=fxs(x)Fs

(14)

式中：uxs(x)，fxs(x)的形式和意義與ux0(x)，fx0(x)相同，僅僅是主動控制力Fseiωt作用位置處的連續條件不同。

由式(13)、(14)可得：當擾動力和控制力共同作用時，任意截面位置處的位移向量和內力向量為：

u(x)=ux0(x)F0+uxs(x)Fs

f(x)=fx0(x)F0+fxs(x)Fs

(15)

將式(15)代入式(12)得：

(fx0(x)F0+fxs(x)Fs)}

(16)

由在誤差傳感器位置x=xe，主動功率流Pxa對控制力Fs的實部和虛部偏導數為0，可得最優控制力為[15]：

(17)

式中：xe為誤差傳感器的位置，

把式(17)代入式(16)可得通過三維耦合梁x截面的最小功率流。即通過優化功率流獲得了控制力的大小與相位，通過自適應前饋控制方法施加控制力，以此實現了三維耦合梁功率流傳播的主動控制。

3 仿真算例與分析

以懸臂三維耦合Timoshenko梁為例進行數值計算分析，首先采用行波方法計算其動力學響應并與有限元法計算結果進行比較，分析行波方法計算結構動態特性的精確性；在此基礎上，基于Timoshenko梁理論獲得了結構中傳播的主動功率流，并與Euler-Bernoulli經典梁結果進行對比；進一步分析縱波與扭轉波對結構總功率流計算結果的影響；最后研究三維耦合梁結構功率流的主動控制，分別從頻域和空間域驗證功率流主動控制方法的正確性與有效性，并分析最優控制力微小偏差和誤差傳感器位置對控制效果的影響。

3.1 動力學響應仿真算例與分析

如圖2所示的懸臂三維耦合梁結構，其由三根空間梁單元相互垂直連接，三根梁的結構尺寸和材料參數相同。結構尺寸長度L=2 m，梁截面為圓形，且直徑D=0.02 m；材料參數彈性模量E=2.0×1011N/m2，密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3，阻尼因子η=0.001；擾動力F0eiωt(F0=1 N)作用于2梁x0=1 m位置；控制力Fseiωt作用于2梁xs=1.2 m位置；而誤差傳感器位于3梁xe=0.8 m位置。其仿真結果如下：

圖3給出了擾動力F0eiωt作用于2梁x0=1 m位置時，1梁中點位置處Y方向位移頻響函數的行波解及將結構分別劃分為120、180、240梁單元的有限元解。在有限元方法計算中，當分析頻率為2 000 Hz時，選取的最長單元長度Δ=L/40=0.05 m<λmin/4=0.07 m(λmin為最小波長)，滿足由頻率范圍上限來確定有限元網格劃分的細化標準，保證了有限元方法的計算精度。圖4為分別基于Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經典梁理論計算3梁中點位置處的主動功率流對比圖。圖5給出了不同位置處包含縱波和扭轉波的總功率流和僅考慮彎曲波的功率流的對比結果，以此說明縱波和扭轉波對三維耦合梁結構功率流計算結果的影響。

圖3 有限元與行波方法計算三維耦合梁結構動力學響應

圖4 Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli梁理論計算結構中的主動功率流(dB ref：10-10w)

(a) 2梁x=1.4 m (b) 1梁中點 (c) 3梁中點

從圖3中可以看出：基于模態疊加的有限元法計算結果在低頻段與行波方法計算結果很吻合。在中高頻段，隨著單元的增加，有限元法的解逐漸趨向于行波解。造成這種差別的原因在于有限元采用模態疊加方法計算結構響應，在求解過程中存在截斷誤差，且高階模態計算不準確；而行波方法不受模態的限制，因而可以精確計算結構在全頻域下的響應。

由圖4可得：兩種梁理論計算三維耦合梁結構中主動功率流的結果是不同的，Timoshenko梁理論計算的共振頻率要明顯低于Euler-Bernoulli梁理論計算的結果。其原因為：在Euler-Bernoulli梁理論中，沒有考慮結構剪切變形的影響，梁的剪切剛度是被認為是無窮大，然而，梁的實際剪切剛度是有限的。Timoshenko梁理論考慮了剪切變形和轉動慣量的影響，其不僅在高頻段，而且在中、低頻段影響了梁結構的功率流傳播，使其計算的共振頻率要低于Euler-Bernoulli理論結果，而且其結果更接近于真實梁結構的動態特性。

圖5給出了不同響應位置處總功率流與僅考慮彎曲波的功率流的對比。從圖中可以看出，隨著分析頻率的升高和響應位置與擾動位置距離的增加，兩者結果的差異變大。這是因為在三維耦合結點處存在彎曲波、縱波與扭轉波相互之間的轉換，即使橫向擾動力作用于結構，通過耦合結點也會產生縱波與扭轉波，且縱波與扭轉波的影響隨頻率升高而不斷增大。因此，在分析三維耦合梁結構中傳播的功率流時，需包含縱波與扭轉波的影響，否則在進行復雜結構分析時，將會產生較大的誤差。

3.2 功率流主動控制仿真算例

針對圖2所示的懸臂三維耦合梁結構進行功率流主動控制仿真，其初始條件同3.1節。圖6和8分別為功率流主動控制在頻域與空間域的控制效果對比圖，在圖7中給出了最優控制力微偏差的影響。圖9研究了不同誤差傳感器位置對功率流主動控制效果的影響。

圖6 3梁中點截面位置處控制前后的頻域功率流對比(dB ref：10-10w)

圖7 功率流主動控制下的最優控制力

圖6和圖8分別為三維耦合梁結構功率流主動控制在頻域和空間域的控制效果圖，圖7為功率流主動控制的最優控制力圖。從圖6中可以看出：采用功率流主動控制方法可以明顯降低三維耦合梁結構中傳播的功率流，且在全頻域中功率流平均衰減了大約70 dB，1%的最優控制力偏差對控制效果的影響甚微。由功率流優化可以得到如圖7所示的控制力，控制通過前饋自適應算法可以實現結構振動功率流傳遞的抑制。圖8給出了三維耦合梁結構在低、中、高頻域下定頻激勵結構空間域的控制效果。從圖中可以得出：通過施加最優控制力，1、2、3梁單元中傳播的主動功率流得到了有效控制；且擾動力與控制力的作用將引起結構功率流傳遞的不連續，由2梁仿真結果可以得到在控制力作用的下游位置，功率流的衰減較為明顯。綜上所述，功率流主動控制方法可以實現三維耦合梁結構全頻域整體振動的抑制。

圖8 不同頻率空間域中控制前后的功率流對比 (dB ref：10-10w)

圖9 誤差傳感器不同位置處的功率流

圖9為誤差傳感器位于控制力近場或遠場情況下功率流主動控制的控制效果。從圖中可以看出：無論誤差傳感器位于控制力的近場或遠場，功率流主動控制方法都可以很好地實現三維耦合梁結構全頻域下振動的控制[7]。

4 結 論

本文基于行波方法對三維耦合Timoshenko梁結構中的功率流傳播與主動控制進行了深入研究。其主要結論有：

(1) 行波方法可以精確計算三維耦合梁結構全頻域下的動力學響應。

(2) 通過Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經典梁理論計算結果對比可知：Timoshenko理論考慮了剪切變形和轉動慣量的影響，能更為完整地反映梁結構的動力學特性。在中高頻域其分析結果更為精確，并且更接近于工程實際。

(3) 由于三維耦合梁結構結點處存在彎曲波、縱波與扭轉波之間的相互轉換，因此在進行三維耦合梁結構的主動功率流計算時，為獲得更為真實和精確的結果，需同時考慮彎曲波、縱波與扭轉波對結構主動功率流的貢獻。

(4) 通過上述理論分析與數值計算可得：功率流主動控制可以克服傳統方法中高頻控制受限，不能有效控制中高頻擾動的缺點和不足，實現了三維耦合梁結構全頻域下整體振動的抑制，并且最優控制力的微小偏差和誤差傳感器的位置對功率流主動控制效果影響甚微。

本文基于Timoshenko梁理論給出了三維耦合梁結構的精確動力學模型與功率流主動控制方法，其研究成果可以進一步應用到復雜空間桁架結構的動力學分析與振動控制研究中。

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