一種基于小波包樣本熵和流形學習的故障特征提取模型

向 丹，葛 爽

(1.廣東技術師范學院 自動化學院，廣州 510635;2.華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州 510640)

利用振動信號對機械狀態進行監測是機械故障診斷技術中的一種有效手段，而故障特征的提取是故障診斷的關鍵，關系到故障診斷的準確性和早期預報的可能性。因此，人們從各種角度提取振動信號的特征參數，包括時域、頻域和時頻域等，取得了一定的效果［1－2］。但由于機械故障信號的非線性、非平穩特性，使得傳統的基于線性系統的特征提取方法不能有效提取故障的非線性特征。因此，人們開始探索非線性動力學參數的特征提取方法。

近年來，人們將熵的概念，包括樣本熵、能量熵、奇異熵和近似熵等，作為特征參數提取的方法引入到故障診斷領域。YAN等［3］將近似熵概念引入到軸承狀態監測上，并取得了很好的效果。Pincus［4］提出了近似熵的改進算法樣本熵，并廣泛用于生理信號處理上。趙志宏等［5］提出了一種基于經驗模態分解與樣本熵的軸承故障診斷方法。流形學習作為一種非線性的數據

維數約簡方法，能有效地挖掘高維非線性數據內在幾何分布特征，具有很好的非線性復雜信息處理能力，已被用于機械故障診斷的提取領域。粟茂林等［6］運用局部切空間排列算法對最優小波系統矩陣進行優化，有效地提取了引發故障的沖擊成分。葛爽等［7］提出一種基于擴散映射與支持向量機的能量耗損信號分析，對于能量耗損信號分析非常有效。

雖然故障診斷理論和方法的研究取得了很大的進步，但對于不確定、非線性的復雜故障診斷問題，采用傳統的統計和信號處理的特征提取方法的效果十分有限。基于此，本文提出了基于小波包樣本熵和流形學習的故障特征提取模型，并通過試驗驗證該模型的有效性。

1 小波包變換與樣本熵

1.1 小波包變換

根據多分辨率分析理論，定義小波包變換兩個函數［8］。

其中φ(t)與φ(t)分別為尺度函數與小波函數。

在正交的情況下，函數wm(t)(m=0，1，2)分別為

式中，j為尺度參數，wj，m，n為小波包原子。與小波變換不同，小波包變換將信號的高頻部分與低頻部分分別進行分解。小波包分解的結構圖如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結構圖Fig.1 3 layer wavelet packet decomposition structure diagram

圖中S(K)表示原始信號，a表示低頻，d表示高頻，末尾數表示小波包分解的層數，即尺度數。

1.2 樣本熵

設N個數據組成的時間序列為x(n)，樣本熵的計算方法如下［4］:

(1)將時間序列按序號組成一個維數為m的向量;

(2)定義向量 Xm(i)與 Xm(j)之間的距離d［Xm(i)，Xm(j)］是兩個對應元素中最大差值的絕對值，即

(3)統計Xm(i)與Xm(j)之間距離小于等于r的j(1≤j≤N －m，j≠i)的數目，記作 Bi。對于 1≤i≤N －m，定義

(4)增加維數到m+1，計算Xm+1(i)與Xm+1(j)小于等于r的距離的個數，記為Ai

定義:

(5)樣本熵定義為

從樣本熵定義可以看出，所求樣本熵與m，r的取值有關，因此，確定m，r兩個參數的選取對于樣本熵的計算很重要。根據文獻［9］的研究成果，當m=1或2，r=0.1－0.25 std(std為原始數據的標準差)時所得到的樣本熵的統計特征比較合理，因此本研究取m=2，r=0.15 std。

2 流形學習與局部切空間排列

2.1 流形學習

流形學習法是一種基于微分幾何與拓撲學的非線性高維數據處理方法，采用該方法能將高位數據在保持其主特征的基礎上降低數據維數。假定給定數據集X={Xi，i=1，…，n}，Xi∈RD為獨立同分布的，M 為嵌入在D維歐氏空間中的d維流形，定義嵌入映射f∶M?Rd→RD，其中D?d，流形學習的任務就是在給定的觀測數據X的前提下，獲取其低維流形表達式Y={Yi，i=1，…，n}∈RD，構造出從高維空間到低維空間的非線性映射 f(·)［10］。

2.2 局部切空間排列

局部切空間排列(LTSA)算法通過逼近每一樣本點的切空間來構建低維流形的局部幾何結構，觀測數據點在局部切空間的投影獲取局部低維坐標，然后通過仿射變換得到全局坐標。給定一個樣本點集{x1，x2，…，xn}，xi∈Rm，LTSA 的具體算法如下［11－13］:

第一步，尋找每個樣本點的領域，不妨設xi={xi1，xi2，…，xik］為樣本點xi包括自身在內的最近的K個鄰域點所構成的矩陣。

第二步，局部線性投影。LTSA計算一個d維的仿射子空間來逼近Xi中的點，即:

其中 Θ =［θ1，…，θk］且 Q 的列數為 d，記=xilk為鄰域矩陣 xi的中心點，Qi∑vi為中心化鄰域矩陣Xi－=的奇異值分解，即 Qi，Vi分別為對應于最大的d個奇異值的左右奇異向量所構成的矩陣。這樣很容易求出式(12)的最優解為:

從而可以得到局部坐標系統為:

第三步，將所有這些有交疊的局部坐標Θi=［θ(i)1，…)］排列起來以得到一個全局坐標系統T=［τ1，…，τN］。

LTSA能較好的恢復出流形等距的低維空間子集，而且LTSA并不要求這個低維空間子集是凸的，也就是說，LTSA方法對于帶有空洞的流形，也具有很好的適用性。

3 基于小波包樣本熵與流形學習的特征提取模型

由于利用原始信號的樣本熵只能在一個尺度域進行分析，無法準確區分機械運行狀況，利用小波包分析的多分辨率特性，將小波包分解與樣本熵結合起來在多個尺度對原始信號進行特征的提取，然后利用流形學習的非線性復雜信息處理能力進一步提取高維數據的低維特征，該模型不僅增大了故障診斷率，而且降低了特征數據的復雜度，從而增強了故障模式別的分類性能。該特征提取模型如圖2所示，具體步驟如下:

(1)信號分解:利用DB2小波對信號進行3層小波包多分辨率分解。

(2)信號重構:對經過分解得到的8個頻帶的序列進行重構，得到8個小波包重構信號，每個重構信號分別包含了原始信號各個不同頻段的信息。

(3)計算小波包樣本熵特征向量:由式(9)分別計算8個小波包樣本熵，構成一個8維的特征向量:

(4)特征值的歸一化處理。

(5)流形學習進一步特征提取:利用局部切空間排列對初提取的小波包樣本熵特征向量進行低維流形特征的提取。

4 試驗與結果分析

4.1 試驗數據采集

本文的試驗研究是在軸承振動試驗臺進行完成的，試驗對象為JZQ－250型變速箱的滾動軸承，通過人為制造一些滾動軸承微小故障(故障直徑都約為0.2 mm)來模擬真實故障進行試驗和數據的采集。圖3為滾動軸承故障診斷試驗臺。

圖2 故障特征提取模型Fig.2 Fault feature extraction model

圖3 軸承振動試驗臺Fig.3 Bearing vibration test bench

在齒輪箱滾動軸承的試驗中，電機的轉速為1 750 r/min，采用了正常滾動軸承和具有內圈故障、外圈故障和滾動體故障的滾動軸承，分別進行振動信號的采集。數據采集卡選用的是研華PCI－1711數據采集卡，5通道振動數據同步采集，采樣頻率為12 kHz。

4.2 特征提取分析

小波包特征熵特征提取方法基本思路是在某一分解尺度上將信號在不同的頻帶內分解，分別提取不同頻帶內的分解系數作為相應的特征向量。圖4為試驗軸承內圈故障信號的第3層小波包分解結果。每個頻帶的頻率范圍為750 Hz。

由圖4可知，出現故障的齒輪箱在旋轉過程中會產生周期性沖擊的激振力，同時激發不同的頻率成分，其振動信號為非平穩的復雜調制信號，細節信號中基本都出現了明顯的有規律的沖擊信號。對小波包分解重構的8個細節信號分別求出m=2時的樣本值，圖5是滾動軸承四種不同狀態信號的小波包樣本熵值的分布圖。

由圖5可以看出，滾動軸承不同狀態下小波包樣本熵值是不同的，不同頻段樣本熵值的大小反映了該頻段信號分布的確定性。表1為不同頻段小波包樣本熵的平均值，可以看出，正常滾動軸承的小波包熵值大于其他3種工作狀態的熵值，這是因為在正常狀態下，振動信號的樣本分布相對平均和不確定。當出現內圈或外圈或滾動體故障時，在相應的頻帶內會出現相應的共振頻率，此時，在這個頻帶內的樣本值將會增大，樣本分布的不確定性減少，從而使得小波包熵值減少。由于滾動體故障樣本集中更為嚴重，所以其小波包樣本值最小。

圖4 內圈故障信號及其小波包分析Fig.4 Fault signal of inner race and its wavelet packet analysis

圖5 各頻帶小波包樣本熵值分布圖Fig.5 Wavelet packet sample entropy distribution map of each band

表1 各頻帶小波包樣本熵平均值Tab.1 Average value of each band wavelet packet sample entropy

因此，可以通過小波包對振動信號進行不同頻段的分解和重構，得到包含不同的頻段信息的樣本熵，將之作為故障特征向量(此為特征提取第一階段)，再用流形學習進一步提取低維的故障特征(此為特征提取第二階段)。由于不同的流形學習法對不同數據的特征提取效果不同，作為比較，本文將用一種典型的非線性流形學習(LTSA)和一種典型的線性流形學習(PCA)對提取的小波包樣本熵進行降維。針對滾動軸承四種不同工作狀態信號，每個狀態信號取1 024個點作為一個樣本，采用db2小波包對信號進行3層次分解，分別提取第3層各節點的樣本熵作為特征向量，得到8維的列向量，再將8維的特征向量用流形學習法降到3維。圖6為LTSA和PCA降維的效果圖，鄰域參數K=7，目標維數為3。

圖6 該模型的特征提取效果圖Fig.6 Features extraction effect map of this model

由圖6可以看出，對于提取的小波包樣本熵特征數據，LTSA比PCA的特征提取效果更好，從圖6(a)可以看出，滾動軸承故障的四種狀態特征已經基本完全分開，證明了該模型具有很好的特征提取效果。為了量化分類效果，將兩個階段提取的特征用SVM進行分類。四種狀態信號先各提取10個樣本作為訓練樣本，然后再各提取10個樣本作為測試樣本。將訓練樣本輸入到SVM進行訓練，SVM算法分類設置為多分類，核函數選擇徑向基核函數，表2給出了特征提取兩個階段基于SVM的故障狀態識別結果。

表2 支持向量機識別結果Tab.2 Support vector machine recognition results

第一階段特征SVM訓練所花時間為6.3 s，第二階段中用LTSA提取的特征SVM訓練所花時間為2.02 s，而用PCA提取的特征SVM訓練所花時間為3.3 s。在第一階段，由于小波包分解頻帶中含有大量信息在特征空間中產生各種重疊，使得后面分類器(SVM)訓練時間加長，并且降低了特征的分辨率，所以其故障識別率不是很好。而第二階段提取的特征的故障識別率達到100%，訓練時間比第一階段短，對于相似故障，文獻［5］提出的特征提取方法其故障識別率只有95.33%，本文提出的特征提取方法識別效果明顯好于文獻［5］提出的方法。從而證明了該特征提取模型具有很好的故障模式分類性能。

5 結論

基于小波包、樣本熵和流形學習理論，提出了一種新的故障特征提取模型，首先選擇容錯性好的樣本熵作為特征參數，通過對振動信號進行基于db2小波的小波包分解，提取信號的小波包樣本熵作為特征向量，然后利用流形學習進一步提取低維特征。試驗結果表明，基于小波包樣本熵和流形學習的故障特征提取模型不僅提高了特征分辨率，而且簡化了特征數據，增強了故障模式識別的分類性。

［1］于德介，程軍圣，成瓊.基于復小波變換相位譜的齒輪故障診斷［J］.振動、測試與診斷，2004，24(4):275－277.YU De-jie，CHENG Jun-sheng，CHENG qiong.Gear fault diagnosis of complex wavelet transform based on phase spectrum［J］. JournalofVibration， Measurement ＆Diagnosis，2009，29(2):201 －204.

［2］鞠萍華，秦樹人，秦毅，等.多分辨EMD方法與頻域平均在齒輪早期故障診斷中的研究［J］.振動與沖擊，2009，28(5):97－101.JU Ping-hua，QIN shu-ren，QIN Yi，et al.Study of the average in the early fault diagnosis of gear multiresolution and frequency domain EMD method［J］.Journal of Vibration and Shock，2009，28(5):97 －101.

［3］Yan R Q，Gao R X.Approximate entropy as a diagnostic tool for machine health monitoring［J］.Mechancial Systems and Signal Processing，2007，21(2):824 －839.

［4］Pincus S M.Approximate entropy(ApEn)as a complexity measure［J］.Chaos，1995，5(1):110 －117.

［5］趙志宏，楊紹普.一種基于樣本熵的軸承故障診斷方法［J］.振動與沖擊，2012，31(6):136－140.ZHAO Zhi-hong，YANG Shao-pu.A bearing fault diagnosis method based on sample entropy［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(6):136 －140.

［6］粟茂林，梁霖，王孫安，等.基于連續小波系數非線性流形學習的沖擊特征提取方法［J］.振動與沖擊，2012，31(1):106－111.LI Mao-Lin，LIANG Lin，WANG Sun-an，et al.Mechanical impact feature extraction method based on nonlinear manifold learning of continuous wavelet coefficients［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(1):106 －111.

［7］葛爽，謝小鵬，黃博，等.基于能量耗損的故障診斷信號分析方法［J］.潤滑與密封，2012，37(8):7－10.GE Shuang，XIE Xiao-peng，HUANG Bo，et al.New algorithm for manifold-learning-based energy dissipation signal analysis［J］.Lubrication Engineering，2012，37(8):7 －10.

［8］Nikolaou N G，Antoniadis I A.Rolling element bearing fault diagnosis using wavelet packets［J］.NDT ＆ E International，2002，35(3):197－205.

［9］Pincus S M.Assessing serial irregularity and its implications for health［J］.Annals of the New York Academy of Sciences，2002，954:245－267.

［10］Silva V D，Tenenbaum J B.Global versus local methods in monlinear dimensionality reduction［J］.Advances in Neural Information Processing Systems，2002:705 －712.

［11］張熠卓，徐光華，梁霖，等.利用增量式非線性流形學習的狀態監測方法［J］.西安交通大學學報.2011，45(1):64－68.ZHANG Yi-zhuo，XU Guang-hua，LIANG Lin，etal.Condition monitoring method for mechanical equipments based on incremental nonlinear manifold learning［J］.Journal of Xi＇an Jiao Tong University.2011，45(1):64 －68.

［12］ZHANG Zhen-yue，ZHA Hong-yuan.Principal manifolds and nonlineardimension reduction via localtangentspace alignment［J］.SIAM Journal on Scientific Computing，2005，26(1)313－338.

［13］梁霖，徐光華，栗茂林，等.沖擊故障特征提取的非線性流形學習方法［J］.西安交通大學學報，2009，43(11):95－99.LIANG Lin，XU Guang-hua，LI Mao-lin，et al.Nonlinear manifold learning method ofmechanlcalimpulse faults extraction［J］.Journal of Xi＇an Jiao Tong University，2009，43(11):95－99.